序
有效思考讓你變得更好
我思故我在。──笛卡兒（Rene Descartes）
一切事物──包括從學術、經營企業、領導、人際關係和所有事情──的成功都源自思考，不管是偽裝成直覺、好的價值觀、決策、解決問題的方案或創造力的思考，它們全都是思考。
因此不足為奇的是，更有效的思考就是學生、專業人士、企業領袖、藝術家、作家、政治人物，以及所有人每天生活的成功關鍵。想把任何事做好都需要有效的思考──換句話說，就是能想出更富於想像力的點子，面對複雜的問題，找出解決它們的新方法，更能了解隱藏的可能性，然後採取行動。
令人驚奇的是，不管是在生活的哪一個領域──在學校、企業、藝術、個人生活、運動以及所有的事情─更清楚、更有創意、更有效的思考方法基本上沒有什麼不同。另一個驚奇之處是，這些有效的思考方法可以被描述、教導和學習。它們不是少數特殊人士與生俱來的天分。它們沒有那麼深奧，以至於只有天才才能掌握其訣竅。我們所有人都能學會並使用它們，而這正是本書的內容。
身為本書作者的我們，並非跨入職業生涯時就懷抱著發掘有效思考方法的目標。我們的職涯剛開始是教導數學的抽象觀念，然而多年下來，我們發現人們只要在每日的生活當中善用幾種思考習慣，就能得到大不相同的成果，而且這些思考方法與數學沒有關係。本書提供富於啟發性的刺激思考方法，這些策略曾激勵過生活各領域的許多人變得更成功，而我們希望你也能藉由有效的思考來創造成功。
前言
有效思考、學習與創造的元素
我很確定知道自己沒有特殊才能。
好奇、偏執和堅持不懈，加上自我批判，
讓我能夠想出點子。──愛因斯坦（Albert Einstein）
有一種極為浪漫的觀念是，聰明的學生天生就很聰明，而聰明的思想家能像變魔法般想出聰明的點子：A+，明星學生輕輕鬆鬆就能在考試中拿高分；變！愛迪生就發明出燈泡；飛！萊特兄弟從此翱翔在天空；阿布拉卡達布拉（abracadabra，咒語），羅琳（J. K. Rowling）就變出《哈利波特》；沒錯，美國的開國元老們想出了「人權法案」（Bill of Rights）；看！羅蘭（Ralph Lauren）霎時讓人把目光集中在時裝伸展台上；有了！愛因斯坦抓抓頭髮，相對論便掉了出來。我們可以對這些天才的神奇表現感到讚嘆，但不能誤以為天才真的是與生俱來的。聰明的學生和聰明的發明家之所以成功，都是藉由練習思考習慣而帶領他們一步步邁向偉大。這其中並不牽涉神奇之處，只要幾項思考的基本方法就能帶來有效的學習、了解和創新。更重要的是，你自己就能熟練並應用這些方法。本書提出實用且經過驗證的有效思考和創造的方法，能帶領你在生活中達致最終的成功。
身為本書作者的我們是教師。我們曾教導過成千上萬的學生和成人如何更有效地思考。我們曾無數次碰到有潛力的個人，並看著他們人生的轉變展開──或者未展開。安妮和亞當深入研究概念、了解基本原則、從錯誤中學習、提出問題，因此一帆風順。菲奧娜和法蘭克擁有同樣的天分、從相同的地方出發，但他們只知強記而不求甚解、害怕錯誤、逃避不確定，因此未能成功。本書將探究是什麼原因造成這種差異。
教育並不停止於正式學校的結束。即使你正式就學的日子早已過去，你還是個學生，而且很可能永遠都是。你可以選擇學習良好的思考習慣，協助你克服不斷出現的人生挑戰──來自於個人、職業和社會各方面的挑戰。
想像居禮夫人（Marie Curie）、愛因斯坦和莎士比亞都是學生。今日我們知道他們是著名的天才，但當他們還在學校時，他們並未別著一枚「未來天才」的胸章四處遊走。他們只是透過不同的思考習慣，以不同的方式看世界，因而能發現和創造深入的新點子。儘管我們欽佩著名的天才，並受到他們非凡的故事所激勵，但本書的主角卻是你──一個有著優點和弱點、真實的人──而非神話中的英雄。看看你自己─如果你也沒看到一枚「未來天才」的胸章，那麼你也一樣有創新的潛力。創造力與神奇的靈感無關。本書討論的思考習慣將自動讓你定期產生新知識與洞見。請記住：非凡者只是以不同方式思考的平凡人──而那可能就是你。
平凡的學生可以達到非凡的水準。馬克是我們數學課的學生，他在學期開始時的表現真的令人失望。他漫無頭緒到所寫的家庭作業毫無對錯可言──因為完全不知所云。他只是重複在課堂討論中記下的數學符號，完全不知道它們的意思。那像是他用一種連自己都不了解的語言來寫詩。雖然馬克真的很用功，但他似乎是注定失敗的典型例子。
不過，到了學期末，馬克已轉變成不同的人──一個懂得用聰明和富於想像力的方法來思考數學的人。當學期即將結束時，他針對一則班上一直沒有人能解開的困難題目，想出一個有創意、而且正確的解題方法。在學期中某個時候，馬克突然領悟到數學是有意義的事，而且他可以了解它。
他重新溫習這個學科的大部分基本原理──這些原理是他多年來從未真正理解的。在他還把學習視為強記技巧與背誦字句時，他老是出差錯。而當他開始設法了解深入的基本原理後，很快便能得心應手。有了這種新心態後，徹底了解這門學科變得容易多了，他在課堂上的成功也就很理所當然。
了解未知以及尋找創意與洞見的原則，改變了馬克的生活，而這些原則是可以教導、學習，並廣泛運用在各種學科與職業上。我們曾見過原本平凡的人運用這些思考方法後，改變成創造力十足的領袖、作家、藝術家、金融大師、教師、製片家、科學家，還讓其中的許多人變成了百萬富翁。
教育就是學過之後被遺忘了卻又存活下來的東西。──史金納（B. F. Skinner）
由於身為作者的我們是教授，本書中許多故事發生在課堂上也就不足為奇了。不過，我們也教過成千上萬名的終身學習者。因此當我們提供學校經驗的例子時，你可以把它們看成你真正置身於教室中（不管是當學生或教師），也可以延伸到你置身常春藤牆外的環境中。當伊索（Aesop）寫〈龜兔賽跑〉時，他並非只瞄準烏龜市場。在整個人生中，我們經常面對類似考試、得高分和了解教材的挑戰，或者我們並非參加正式考試，而是碰上來自於雇主、甚至是親戚朋友所提出的艱難問題；我們並非得拿高分不可，卻不免在職場與社會情境中被評分；我們不是要了解教材，而是必須不斷學會新技術和吸收新知識，以跟上世界快速變遷的腳步。所有我們敘述的故事，都直接與你和你的生活有關。
思考與學習的五大元素
有一個令人驚訝的事實是，只要學會幾個思考方法，就可以讓你在教室、董事會和起居室裡更有效率。你可以透過採用五種可學習的習慣而變得更成功，而我們在本書中不但會詳細解釋這些習慣，也會舉出具體和實用的例子。以下就是這些重要習慣的簡單介紹。
深入了解：
別硬碰硬思考複雜的問題；先深入了解簡單的概念。清理雜亂的理路，掌握真正的重點。但對你知道和不知道的部分要絕對誠實。然後檢討少了哪些東西，辨識差距，然後填補差距。拋棄成見、偏頗和先入為主的想法。了解有各種不同的程度（這並非是或不是的問題），而你永遠可以加深你的了解。扎實的了解就是成功的基礎。
犯錯：
未能成功。故意犯錯以便最後能夠做得更正確。錯誤是絕佳的老師──它們凸顯未預見的機會，讓你了解其中的漏洞。它們也告訴你，下一個轉彎處在哪裡，並且點燃你的想像力。
提出問題：
不斷提出問題，以釐清和擴展你的了解。真正的問題是什麼？努力解決錯誤的問題，可能浪費一生的時間。點子飄在空中──正確的問題能讓它們浮現，並幫助你看出原本看不見的關聯。
追隨創意的流動：
回顧創意的起源，然後往前眺望這些創意可能帶領你到何處。一個新點子是一個開端，而不是就此結束。創意很稀罕──好好利用它們。追隨小創意的結果，可以獲得大大的回報。
這四塊積木是有效思考的基本元素，我們設計一套簡單的方法，好讓你能記住它們。你只需要回想被認為是所有自然界與物質基本成分的古典元素，這些元素可回溯到蘇格拉底和文藝復興時代的文化與思想，也就是土、火、風與水。為了幫助你刺激記憶以便運用這些技巧，我們把每一種古典元素連結到一項我們的有效思考、學習與創造的策略：
土<-->深入了解
火<-->犯錯
風<-->提出問題
水<-->追隨創意的流動
藉由熟練這些策略，你可以、而且一定會有所改變。大自然的古典元素包括一個特別的第五元素─精華元素（quintessential element）─打造天堂所使用的永恆不變的物質。諷刺的是，在我們的思考和學習中，精華元素就是改變本身。
精華元素<-->改變
改變：
永恆不變的元素是改變─藉由熟練前述的四大元素，你可以改變思考與學習的方法。你可以永遠進步、成長，從你的教育、你自己以及你生活的方式萃取出更多東西。改變是共通的常數，讓你從生活與學習中發揮最大效用。
媒體學者告訴我們，在任何電影、戲劇或文學作品裡如何判斷誰是故事真正的主角─就是到最後改變最多的個人。你的人生是一段刺激的旅程。當你擁抱改變時，你是藉由有意識地決定人生的戲碼如何開展，而把自己放在舞台的前面和中央。當你這麼做時，你會變成自己人生冒險故事裡的英雄。
後面的章節將詳細說明前述內容，更充分解釋我們的五種有效思考元素。每一章的練習、行動項目、例子和故事，都把這些元素轉變成實際的方法，可以用來大幅改善個人和組織。
這些元素和練習將提供你思考的導航，幫助你在人生中航行。我們見過無數令人振奮的例子，他們獲得的成功遠遠超過預期。這些故事鼓勵我們樂觀地堅信，我們都有能力過更成功的生活。我們的希望是，學生將發現這些元素帶來改變的力量；教師將可利用這些課程讓他們的教學更豐富；社會上的領袖，不管在企業、科學、政治或藝術等領域，都可善用這些策略，以變得更具創意；終身學習者將應用這些原則，以改善生活，成為這個世界不斷進步的學生。
共 
數學是利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間等概念的一門學科，從某種角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 
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