啟發每個人的數學小書：愛因斯坦愉悅推薦，經典長銷70年

名人推薦：

哈佛大學校聘教授貝利‧馬祖爾　專序推薦

台灣師範大學數學系前教授洪萬生　專文導讀

小野、台大科學教育發展中心主任陳竹亭、北一女中校長張碧娟、親子作家番紅花　一致好評

跨時代的好評

‧這是本可愛的小書，文字精練、引人入勝，我十分享受。儘管它吸引人的原因是那麼樣地難以分析，也許是它的幽默，也許是它的親切，也許是它關於人類智慧的根本信念；又或者，三者皆是。　──《紐約時報》

‧我帶著愉悅的心情讀李伯的這本書，優美的例子和深具啟發的內容，相信這原創性十足的嘗試，必定贏得人們激賞。　──愛因斯坦（1879～1955）

‧非數學家的一般人，更需要讀這本書。　──數學家 E. T.貝爾（1883～1960）

‧這本小書所帶來的興奮感，剛好和它的大小成反比。這本書的重量，比如說，相較於當代微積分教科書（有時候，我很好奇搬著它們到處跑的學生，為什麼沒有額外的體育課學分），真是有相當大的對比。　──數學家、哈佛校聘教授 貝利‧馬祖爾

‧這一本年齡即將邁入七十歲的阿嬤級讀物，既是數學普及書寫的一絕，也是數學知識永恆性的一個見證。因此，我們非常樂意中譯並推介給中文讀者，特別是中學師生閱讀。　──師大數學系前教授 洪萬生

‧我很喜歡這種科普書！本來也以為自己的數學不好，後來在大學考微積分考到全班最高後，發現數學不是我們想的那樣。學校畢業後，我還當了一年國中的數學老師。　──小野

‧在超過半紀前寫的書，現在讀來仍只有一句話可以形容：實在太棒啦！希望所有中學以上的人都能一讀。　──科普作家 竹內薰

‧李伯寫了一本巧妙、有趣，又充滿啟發的書。　──《週六文學評論》



【推薦序1】

讓人不禁愛上的數學小書

哈佛大學校聘教授 貝利‧馬祖爾*

進入這本書的世界，就有如發現一個充滿希望的地方，裡面的想法──純粹的想法──正在被雨水閃耀地沖刷。而且，它們就像向日葵一樣，很快就會將自己的嶄新花瓣展現給你，充滿了各種可能、令人喜悅以及有用之處。作者們有那個天分，可以真正寫出一本給所有人看的數學書。他們就是能夠選出對的想法來說明，以致於他們的書包含了讓數學真正成為數學的本質內涵。他們將它以如此令人信服的方法寫出來，以致於我們不管在電車上或隱蔽處都可以閱讀它。而且，他們也運用如此簡約的方法將它寫出來，以致於它最初的美國大兵版，可以塞到一包軍隊口糧裡面。

邂逅李伯（本書作者與插畫者是一對夫婦）一家是讓人興奮的，因為他們所做的數學非常精彩。他們為赤道綁皮帶、以及稍微鬆綁它（第三章）的令人瞠目的簡單問題，可以在我們還未察覺到發生什麼事之前，神奇地讓你、我和MITS先生，以數量化的方式來思考（並且是深入思考）。李伯一家邀請我們參加代數和幾何的婚宴（第九章）。他們以面無表情的方式，述說一個迷人、但卻無法成立的歐式幾何證明，其說服力必須仰賴一個他們所畫圖形裡的一個玄妙、錯誤的假設（第十三章）。一旦他們協助揭發那個使人誤解的圖解，一個寓意──如同你能想像的──就隨之而來。他們也提供讀者一丁點微積分（第十章），其中就我看來，是讓你可以感覺到這主題的奧妙所唯一需要知道的東西。他們讓我們嚐嚐有限幾何（第十五章，標題為「傲慢與偏見」），其中幾何公理的模型概念如此輕巧地流動，以致於他們幾乎沒有必要說明這些更加抽象的概念：你就是看得懂！他們也在有限算術上運用同樣的手法（第十六章）。他們說明──真正在說明──四維空間（第十八節）。他們也說明相對論。所有這些說明都有附加一個寓意（教訓）、對希特勒的批判，以及全書所洋溢的和煦長者之風。

這本著作於1942年的書籍，反映了二戰時局情勢的嚴酷和險惡，但是，那個時代也炫於理念可以造就更美好的未來之強烈信仰。本書的美國大兵版標題為「給海外軍隊的版本」，而且大小也只有3+3/4吋×5+3/8吋而已。戰時書籍評議會非常幸運，可以提供給他們的部隊如此具有教育價值的書，裡面充滿了T. C. MITS（街上名人）的明亮插畫，而他──無視（或許不以為意）當時的戰爭毀滅洪流──常常帶著一頂雙曲面的帽子，並且快活地思考他在某種數學頂層的廣大背景的地位。

正如你待會會見到的，你手中的這本書是非常有趣的。同時，它有時候也是會讓人惱怒的。我在讀這本書的時候，它對我的第一個影響，就是把我帶回十二歲，而作者們就像是我慈愛的阿姨和伯伯一樣。他們將我丟到腳鈎不到地面的椅子上，並且將一大杯的巧克力牛奶和自家烤的餅乾塞給我，準備要傾注給我豐富的課程（關於生命、數學、這個世界……等等），每個故事都有伴隨著別有用心的寓意。

但是，這本小書所帶來的興奮感，剛好和它的大小成反比。這本書的重量，比如說，相較於當代微積分教科書（有時候，我很好奇搬著它們到處跑的學生，為什麼沒有額外的體育課學分），真是有相當大的對比。不知道是出自懶惰還是有一般的躁動靈魂，當我還是青少年的時候，我很喜歡那些袪除噱頭，旨在寫出主題本質的並帶點叛逆性的輕薄小書。在這方面，我和去找希勒祭司學習所有教義，並且在學習的時候，獨腳站立的那個傳說中的懷疑家，是同一陣線的，而這個樂於助人的祭司，也用絕對的規則來教導他。因此，我會愛上李伯一家的書也是理所當然的。因為在這裡的──極熟練、極輕巧（不管有沒有巧克力牛奶和餅乾）──正是一個數學感性的真正本質。全部都是你真正需要知道的。

*「哈佛大學校聘教授」是哈佛賜予教學人員的最高級位，幾可與諾貝爾獎、普立茲獎、國家元首等榮譽相提並論，至今僅有24位教授獲此殊榮，經營策略大師麥可‧波特亦是其中之一。貝利‧馬祖爾於1998年受封，在數學界具有相當大的影響力，並致力於科普寫作。



【推薦序2】

數學是一種思維方式，更是一種生活方式

台灣師範大學數學系前教授 洪萬生

當你翻開本書目錄時，先猜想一下本書第九、十章標題何以分別稱之為「締結良緣」與「貴子早生」？哈佛大學傑出數學家貝利‧馬祖爾說：「這是李伯一家邀請我們參加代數和幾何的婚宴」。事實上，這一對在十七世紀所組成的數學新家庭，就叫作「解析幾何」，至於他們早生的貴子，當然就是第X章的主題「微積分」了。

上述這個充滿數學史洞識的比喻，可以見證本書作者李伯一家人的博雅素養，以及非常樂觀的自由主義思想，儘管當時二戰正酣，時局嚴酷與險惡。馬祖爾指出：

進入這本書的世界，就有如發現一個充滿希望的地方，裡面的想法──純粹的想法──正在被雨水閃耀地沖刷。而且，它們就像向日葵一樣，很快就會將自己的嶄新花瓣展現給你，充滿了各種可能、令人喜悅以及有用之處。

當然，這是因為「作者們有那個天分，可以真正寫出一本給所有人看的數學書。」事實上，本書是數學家莉莉安‧李伯教授於1944年，為二戰出征的美國大兵所寫的一本數學休閒小書。全書才大約三萬字，為了方便閱讀，還採用一行一詞句的方式書寫，再加上作者先生休‧李伯的俏皮貼切插畫，使得本書洋溢著極大的啟發性。無怪乎馬祖爾教授還特別強調：

這本小書所帶來的興奮感，剛好和它的大小成反比。這本書的重量，比如說，相較於當代微積分教科書（有時候，我很好奇搬著它們到處跑的學生，為什麼沒有額外的體育課學分），真是有相當大的對比。不知道是出自懶惰還是有一般的躁動靈魂，當我還是青少年的時候，我很喜歡那些去除噱頭，旨在寫出主題本質的並帶點叛逆性的輕薄小書。

可見，本書之所以受到馬祖爾的青睞，完全是因為這一位傑出數學家的十二歲年代，受到它直指核心且「帶點叛逆性」的風格所吸引。而這種「現代性」，當然也見證了美國數學家養成教育制度的逐漸成熟，以及許多美國在二十世紀早期本土培養的數學博士，如何地以數學教育與普及為職志。

根據約瑟夫‧雅伯的說明，莉莉安是生於俄羅斯的猶太人家庭，後來隨家人移民美國。她先後取得紐約的Barnard學院學士、哥倫比亞大學碩士，1914年，她從Clark大學榮獲博士學位。1934年，當她應聘到紐約長島大學數學系任教時，與當時的系主任休‧李伯結為連理。1945年，當修‧李伯轉任該校藝術系主任時，莉莉安繼任數學系主任，直到1954年退休為止。

顯然基於數學普及的崇高理想（她的科普系列書籍至少有十本之多），莉莉安希望利用科普書寫，讓年輕人理解數學與科學在政治與倫理等方面的蘊涵。另一方面，她也注意到一般學生直到大學階段，才有機會接觸源自十九世紀的現代數學。因此，為了讓學生體會數學知識活動的令人興奮，她認為有必要引進伽羅瓦群、非歐幾何、四維空間乃至於現代邏輯等等那些革命性的風貌。而所有這些，都在本書中有了相當具體的實現。

本書除了〈前言〉〈關於主角T. C. MITS〉，以及書末的〈寓意〉之外，共有二十章，其中所介紹數學主題，涵蓋了歐氏幾何、非歐幾何、有限幾何、有限代數、解析幾何、微積分、第四維空間以及相對論等等，並及於方法論之省思，以及現代數學vs.現代藝術的抽象性之對比。各章篇幅精簡、內容強悍，但是，呈現手法卻十分輕鬆俏皮，尤其是各章標題，更是時有佳作，除了前述的第九章〈締結良緣〉、第十章〈貴子早生〉之外，還有分別介紹非歐幾何的第十四章〈自由與特許〉，以及有限幾何的第十五章的〈傲慢與偏見〉。所有這些，都是由於莉莉安認為所謂的SAM（science, art and mathematics）表現了人類文化的真、善、美，從而對年輕讀者娓娓道來，說明現代數學的理論、啟示，及其令人震懾的興奮效果，是現代教育，乃至於數學普及著述必須承擔的時代使命。

儘管如此，李伯夫婦非常「到位」的科普素養，足以在本書一開始，就能讓年輕讀者愛不釋手。譬如說吧，在第一章中，作者就提醒我們「五千萬人也可能是錯的」，他們經由一個簡單的計算題，告訴我們「別成為倉促做決定的人」。

其次，在第二章中，作者提出加倍疊紙巾（每張厚度0.003吋）的問題，然後要讀者猜測疊到第32次時，總共疊成的紙巾大約有多高？作者利用這個例子，說明很多時候我們依賴直覺解決問題固然無可或非，然而，直覺的東西在被檢查和複檢之前，「並不會成為值得尊敬的科學和數學」，儘管她十分仰慕法拉第緣起於直覺的許多貢獻。

至於在第三章中，作者則拋出另一個問題：已知有一條鋼環緊緊的環繞著地球的赤道。現在你將它移走，並在一處將它切開，然後接合一段額外10呎長的部分。在這鋼環和地球之間究竟產生多大的空間呢？針對它那令人出乎意料的解答，作者提醒我們：沒有理論或計畫，光是機械式的操作，這個問題裡面的數字，並不因為你使用算術，就會讓它變得有意義！

以上所提及問題都常見於數學普及書籍。作者在此「老生常談」，其目的就是希望我們都能運用數學來效化心靈。為此，當我們學習數學時，就必須強調一般化、抽象化以及精確定義的重要性，進而位於作者所謂的五層「圖騰柱」頂層的純數學思維，當然就至為重要了。作者以收音機為例，說明這個發明如何先後受惠於義大利馬可尼的無線電設備、德國赫茲的電磁波實驗、英國馬克斯威爾的電磁學理論，乃至於最後，牛頓微積分如何被應用到電磁的微分方程式上。因此，要是沒有純粹的數學理論，哪來科技上的重要發明？

當然，從本書的說明，我們也可以看到數學不只是給工程師，或是需要數學公式的人使用而已，「數學是一種思維方式、一種生活方式」，才是作者所念茲在茲的理念。因此，在第十一章「PART的總結」最後，作者特別指出：

大部分數學課程都沒有留下時間讓你考慮上面那些事情。時間都用來學習演算技術。我們必須停下來，然後從技術的操弄中，看出可以從中得到哪些一般觀念。而這些一般觀念是對我們所有人都管用的。

作者這種針對比較結構主義式進路的「新式教育」之呼籲，在本書後半部提供了一個教育現代數學的藍圖。至於其具體內容，則是基於隨意定奪的假設、但卻邏輯相容的公設數學如非歐幾何、有限幾何、有限代數、第四維空間等等。如此一來，受過這種現代數學訓練的公民，「對於自由終止於何處，以及特許始於何處，有一個非常清楚的體認：他非常瞭解到他不能在一個系統中引進任何事物，使得矛盾發生，而摧毀這個系統本身。」因此，基於這樣的自由主義之倫理蘊含，「即使在一個民主制度中，允許民主的敵人使用言論自由去摧毀民主，是不合乎邏輯的。同理，自由企業也必須因著民主的其它設準而有所規範。」

上述作者所關心的這種自由vs.特許的張力，在現代藝術與音樂等等的創造上，倒是沒有什麼禁忌，因為它的奇特性正是現代主義的一個特徵。所以，讀者「將不會驚訝地發現到現代藝術比起過氣的時尚藝術，擁有還要無限多的品類，就好比今日數學擁有比過去一直有的還要無限多的品類」。

無論作者基於現代數學精神的自由主義倫理主張是否具有說服力，本書的精緻內容與圖文並茂的表現形式，都值得我們細心品味。總之，這一本年齡即將邁入七十歲的阿嬤級讀物，既是數學普及書寫的一絕，也是數學知識永恆性的一個見證。因此，我們非常樂意中譯並推介給中文讀者，特別是中學師生閱讀。