愛上幾何─義大利爺爺的生活實用數學課

●非關童話
數學教授退休的爺爺和九歲的孫子菲洛在床邊。

「菲洛啊，你還是趕快睡覺吧，明天就開學了而你還不習慣早起，故事我明天再講給你聽。」

「爺爺，你不要這麼嚴肅好嗎！不聽你講故事我會睡不著覺。」

「好吧，來看看我會不會想到什麼故事好講喔。從前從前……從前從前……唉！我實在是沒什麼想像力了，那些什麼王子、公主、龍啊太空船的都不在我腦袋裡了！」

「加油啊爺爺，別氣餒啊！你也常常跟我說：再想一想，點子就會來。」

「好，我再想想。從前從前……從前從前……有個正方形！」

「不！爺爺，你就只會說這個嗎？還講數學啊？我真是可憐，怎麼我就是沒有一個冒險家的爺爺，或是個拍《星際大戰》的爺爺？請原諒我爺爺，我不是故意要讓你生氣的。我很喜歡你，也喜歡數學，但我是個小孩啊，一個快要長大的小孩，但還只是個小孩啊。」

「你說的對，我的快要長大的寶貝孩子，但是這關於正方形的故事也是可以很精彩的，我保證一定會說個很棒的冒險故事，我敢確定你會喜歡的。因為，你知道嗎？一個正方形就像是一艘太空船。是的，你沒聽錯，一艘太空船！對古代人來說，想像一個正方形就跟想像一艘外星人的太空船一樣。他們從來沒有看過一個形狀這麼特別的圖形，那時在他們的四周沒有任何的建築物，自然界裡也不存在正方形這種形狀。從前，正方形是不存在的！其實，認真說起來，古代人只能看到圓形，像是月亮的形狀、石頭丟到水裡時引發的一圈圈漣漪、小雛菊的花冠或是彩虹，或是蝸牛殼上的螺旋形，但肯定是沒看過正方形。事實上，住山洞的時代過後，古代人所建的第一個家正是圓的，一個屋頂用動物皮做成的圓形小屋。正方形對他來說是個未來的東西，要想像一個正方形，設計它，更進一步的把它的做出來，可是需要很高的智慧！」

「我都沒想過耶，爺爺，再說現在到處都看的到正方形。可憐的古代人，連數獨都沒辦法玩。」

「不過，當正方形一出現，他可就像第一男主角一樣重要。希臘的歷史學家希羅多德說，四千多年前，埃及法老塞索斯特利將尼羅河岸邊土地仔細地劃分成大小一模一樣的正方形，分配給他的人民來耕種，當然人們每年都要繳交稅收給法老王。」

「對，我知道那裡的土壤都很肥沃，因為尼羅河的氾濫就是在幫那些土地澆水。」

「是灌溉兼施肥，但同時也沖壞了地上的界線，有時甚至還會帶走一部分的土壤。所以土地少了一塊的人就去跟法老王說：他覺得不應該收跟以前一樣多的稅。因此法老王就派了官員去測量他的土地比以前小了多少，依土地的面積來計算新的稅收。」

「我覺得這樣做是對的。」

「你知道後來希羅多德怎麼說嗎？他說：『我相信幾何學也就這樣因應而生。』總之，為了在土地上劃分跟重新分配這些正方形，幾何學就這麼誕生了。菲洛，你知道嗎？幾何學(geometria)這個字，就是測量土地、測量耕地的意思。法老王的官員們就帶著繩索跟小木樁，把小木樁插在正方形的四個角，然後兩兩用線綁起來，拉緊的線就像是正方形的長跟寬，用來標示耕地的邊界，做這項工作的人被叫做『拉繩者』，甚至我們口語說的畫線tirare una linea(拉一條線)也是這麼來的。同樣的，線(Linea)這個字是由製作繩子的材料亞麻(Lino)演變過來的。」
「這故事真棒！我很喜歡那些埃及人，不過為什麼法老王是把土地分成正方形呢？他不喜歡長方形嗎？」

「親愛的菲洛，想當法老王是要有一點小聰明的，選擇用正方形而不是用長方形，這就是法老王精明的地方了！看看我有沒有辦法跟你解釋清楚，假如你是一位農夫，人家給你一條200公尺長的繩子讓你劃分出一塊屬於你的土地，你會選擇一塊長方形還是正方形的土地？相同的200公尺周長，哪種形狀對你比較有利？」

「可是，長方形或是正方形兩種我都喜歡啊。不過，我確實會希望土地是越大越好，這樣我可以種生菜、番茄、馬鈴薯，我最喜歡吃上面淋一點番茄醬的炸馬鈴薯了，還要種黃瓜，還可以再蓋一間雞舍。」

「好的，好的，我懂了，所以你想要你土地的面積是最大的，那這樣你應該要選擇正方形。因為各種不同的四方形，或是比較長窄的，或是比較矮寬的，或是長寬一樣的，都有一樣的周長，來比較誰的面積比較大。

來算算看吧！如果底是10公尺，高是90公尺，面積就是10X90=900；如果底是80公尺，高是20公尺，面積就是80X20=1600。而底是50公尺，高也是50公尺時，面積就是最大的50X50=2500平方公尺。在各式各樣的四方形裡，選擇正方形就可以最小周長得到最大面積，也可以節省柵欄的費用喔！這樣你懂了嗎？」

「嗯，我懂了，在一個正方形的地裡蓋一間美麗的家。」

「沒錯！如果你是一位農夫的話，也是需要一個家的。同樣的，如果你節省築牆費的話，你就要選擇以四方形為基底的家，這樣在相同面積的條件下，會有最小周長。」

「沒錯，爺爺你真是個節省大王。」

「現在該睡囉，菲洛！在夢裡當個快快樂樂的農夫吧！」


●輪子企業集團
「我登山自行車的輪胎超堅固的，我騎在滿是樹根和碎石的山坡路上，結果輪胎連一點刮痕都沒有！爺爺，以前你年輕的時候，在腳踏車還沒有變速功能的時候，都是怎麼爬坡的啊？」

「親愛的菲洛，爺爺的腿很有力的！你看，腳踏車的變速器就是使用齒輪裝置，雖然不是齒輪之間不是直接接觸而是用鏈條來帶動，不過原理是相同的。」

「那你可以跟我解釋一下到底要怎麼變速嗎？因為我還是搞不太懂耶！上次跟馬克一起騎腳踏車出去玩的時候，我跟他說：『我教你怎麼變速，之前我爺爺有跟我講過怎麼變。』然後他就聽我的，在上坡的時候他也用了跟我一樣的方法變速，可是後來他很想要修理我。」

「我現在就跟你解釋齒輪裝置的結構，你馬上就知道腳踏車的變速器是怎麼作用的，這樣之後你跟馬克出去玩就不用擔心了。你看一下這兩個齒輪，分別是20跟40齒的，如果我們用把柄轉動比較大的那個齒輪，就會因為鑲嵌在一起的齒輪而帶動另一個較小的齒輪，不過因為大的轉一圈是40齒，所以小的就要轉兩圈，這樣懂嗎？」

「懂，所以小的會跑得比大的快！」

「沒錯！速度會是大的齒輪的兩倍。現在仔細聽囉，如果那個小的齒輪換成更小的，譬如說換成10齒的，就又會跑得更快了，對吧？」

「對！這樣速度就變成四倍！」

「也就是說，小齒輪轉動的速度就是要以它跟帶動它的那齒輪之間的齒輪數目來決定。就我剛才舉的例子來看的話，它們之間的倍率分別為40/20和40/10

現在我們來看腳踏車的，踩腳踏板所轉動的齒輪會透過鍊條來帶動連接在後車輪那個較小的齒輪，這樣後車輪所轉動的圈數就會跟小齒輪所轉動的圈數一樣。所以有加裝變速器的腳踏車就不只有一個齒輪，有時甚至會有6到7個，這樣只要轉換不同大小的齒輪，就會有不一樣的轉動速度。就拿我的腳踏車來舉例，連著腳踏板的那個齒輪有42齒，而後面分別有13、15、18、21、23和26齒的6種不同小齒輪，如果在平地上想要跑快一點，就選用42/13的搭配方式，但如果是上坡的話，就要選用42/26的搭配方式，雖然速度會比較慢，但爬坡時會比較輕鬆，其他的搭配方式就是用在介於這兩種情況中間的時候，這樣你清楚了嗎？」

「非常清楚，爺爺！而我的腳踏車因為是登山用的，所以它不只是後面有7個小齒輪，連前面也有3個，這樣我有3乘以7，總共21種方式可以變速，所以不管是爬坡或是下坡我總是跑第一個！」

「好啦，你有沒有發現我們說了很多種輪子的用法啊？」

「有，可是我覺得如果我們在多想一下的話，一定會發現更多地方有使用到輪子，讓我想想喔，有了，我想到了，還有飛機跟直升機的螺旋槳！爺爺，我們都忘了最美麗的輪子了，那就是命運之輪和遊樂園裡的摩天輪！」


●畢氏史努比
「爺爺，別跟我說你睡著囉！看來你真的不喜歡這個卡通節目。」

「嗯…… 對不起，我有一點分心了。」

「你講正方形的故事的時候我就不會分心，正方形不是每次都贏，有時候長方形贏，有時三角形贏。三角形跟正方形甚至還可以兜在一起，就是你跟我講過的畢氏定理！」

「對，你說的沒錯。大家都知道有名的畢達哥拉斯定理，又稱畢氏定理：一個直角三角形，兩股做出的正方形面積相加就等於斜邊做出的正方形面積。這就表示…… 」

「表示如果那些正方形是巧克力的話，我可以吃最大的那個，你吃比較小的兩個，我們就吃的是一樣多，不會吵架！」

「你知道一件更奇妙的事嗎？就算把那些正方形以其他的圖形代替，譬如說……史奴比的房子好了，這定理還是會成立喔！更重要的是，這三個圖形會是相似圖形，每一個都是另一個放大或縮小，就像是用相機的升縮鏡頭一樣。」

「好神奇喔！」

「所以如果你想要幫這三個小房子上顏色的話，幫兩個比較小的房子塗顏色所需要的顏料，會跟塗滿最大的那個房子所用的顏料一樣多。懂了嗎？」

「史奴比的房子我要塗成黃色的，屋頂是紅色的。可是啊爺爺，畢達哥拉斯之前就知道這件事嗎？因為如果他知道的話，就可以把這個定理用的可愛一點，像是畫一些比較漂亮的圖形來代替硬梆梆的正方形！他不曾去埃及旅遊嗎？不然他就可以畫成金字塔或是人面獅身像，或是法老王啊，你不覺得嗎？」

「我不知道耶！不過畢達哥拉斯可不像我們一樣愛開玩笑，他是很嚴肅的人。這個理論他是要用來解釋如何在蓋建築物時做出直角，因為在蓋四方形的房子或是廟宇的時候，地基的四角可是要很精準的90度直角才可以。」

「我記得要怎麼做，你之前教過我了，拿一條繩子，在上面打結，每個結的間隔距離都要一樣，總共打12個，再用三個小棍子就可以做出直角三角形。」

「好棒喔！你記的真清楚。這樣你就可以確定在最長的那個邊對面的角就是直角。也只有直角三角形的兩股做出的正方形面積和，才會等於斜邊的正方形面積。用繩子做出來的三角形就正好是這樣。
3×3+4×4=5×5

數學家都喜歡寫成比較短的式子：
3(2次方)+4(2次方)=5(2次方)

「這個我知道，是次方乘法，葛拉茲老師有教過我們。很簡單，其實就是乘法的重複，上面小小的數字就叫做指數。爺爺，我知道為什麼畢達哥拉斯要用正方形了，連小朋友們都會算正方形的面積，只要把邊長乘上它自己就好了。不管怎樣，我還是覺得這個畢達哥拉斯也紅的太誇張了，因為只要用我們在學校時畫畫用的尺，一下子就可以畫出直角了。我覺得他有點太自負了，竟然因為想出了這個理論，太過高興就殺了100頭牛，也太蠻橫了吧，爺爺，你不覺得嗎？」

「喔不，親愛的，畢達哥拉斯並不自負！而且你知道嗎？沒有他的理論的話，你連屋頂都沒辦法蓋喔！因為，不用畢氏定理的話，你該怎麼知道梁柱要用多長呢？如果說我們要蓋一個屋頂，閣樓的高度是6公尺，房子的寬度是16公尺，那屋頂上的梁木要多長？

這就是這個定理特別的地方啦！你只知道兩個邊的長，只要稍微計算一下，你就可以知道第三邊的長。在我們的例子裡，三角形裡較短的兩邊分別長為6跟8公尺，這兩個邊所形成的正方形面積和為6(2次方)+8(2次方)=36+64=100

這樣你就知道最大的正方形的面積為100平方公尺，現在只要面積為100平方公尺的正方形，邊長會是多少啊？」

「爺爺，這個我知道，很簡單啊，是10公尺。不過要數字更大的話，老師就讓我們用計算機。」

「這老師真棒！讓你們算平方根，次方乘法的逆向操作就叫開根號。根號的符號雖然看起來像凌亂的字跡，但它代表的意涵卻是很簡單的。舉例來說，100的平方根是這寫的：√100

也就是哪個數的二次方是100的意思，也就是你說的10，因為 就等於100。好啦！現在你是不是覺得畢氏定理很棒啊！我認為畢氏定理是全世界最有名也最常被使用的定理，因為從2500多年前開始，每一個時代都一直持續的使用畢氏定理喔！也許不是用計算機算，不過都跟那算法有關。打個比方來說，有個像羅賓漢那樣的人，想要用梯子爬上他敵人約翰國王的城堡時，會沒用到畢氏定理嗎？」

「拜託，爺爺，你也太誇張了吧！」

「不，不，一點也不誇張。你看這邊，那城堡高12公尺，在周圍有寬5公尺的護城河，這時我們的英雄需要多長梯子才可以到達城堡的頂端呢？」

「你說的對，這樣會形成一個直角三角形，讓我想想喔！羅賓漢需要…… 給我計算機！…… 算好了，梯子要有13公尺長。如果我是羅賓漢的話，我會晚上的時候才去，趁守衛睡著的時候把他們都抓起來，把國王關起來，奪回城堡，再跟瑪麗安結婚，你知道他們兩人互相喜歡，對吧？我越來越喜歡畢達哥拉斯了……」
「對，他是很討人喜歡的，雖然他非常的嚴格，在頭兩年裡，他克羅頓學校裡的學生都不准發言。」

「你說什麼？你說的是真的嗎？馬克會憋死，除非把他的嘴塞住才能讓他閉嘴！」

「他唯一准許學生做的消遣活動就只有有形數。你知道什麼是有形數嗎？」

「不知道。」

「有形數就是將數字形象化，譬如說：用小石頭當作數字的1，如果在這個小石頭旁邊再放上三個小石頭，這樣有一個用四個小石頭排成的正方形；如果再放五個小石頭，就有一個用九個小石頭排成的正方形。」

「等一下，接下來換我說，如果再加七個小石頭的話，就有用十六個小石頭排成的正方形。

可是爺爺，這樣永遠都講不完啊！因為只要把奇數的小石頭一直往上加就好啦！」

「真聰明！你也發現了畢達哥拉斯的學生們發現的事情：從1開始，只要把加上連續的奇數，就有所有的平方數了。我可愛的孫子啊，我得叫你畢氏數學家了。」

●非關童話數學教授退休的爺爺和九歲的孫子菲洛在床邊。「菲洛啊，你還是趕快睡覺吧，明天就開學了而你還不習慣早起，故事我明天再講給你聽。」「爺爺，你不要這麼嚴肅好嗎！不聽你講故事我會睡不著覺。」「好吧，來看看我會不會想到什麼故事好講喔。從前從前……從前從前……唉！我實在是沒什麼想像力了，那些什麼王子、公主、龍啊太空船的都不在我腦袋裡了！」「加油啊爺爺，別氣餒啊！你也常常跟我說：再想一想，點子就會來。」「好，我再想想。從前從前……從前從前……有個正方形！」「不！爺爺，你就只會說這個嗎？還講數學啊？我真...