應用群論

　　數學為科學之母，大凡科學與技術都必須建立在數學的基礎之上建立學說。所以科學與技術的理解、發展、與創新都無可避免的必須回歸到「解方程式」的基本數學過程，而群論是最重要的工具之ㄧ。

　　群論是抽象代數或近代代數的範疇，源自於一元五次方程式的解析問題，包含了許多抽象的概念，本書內容設定在傳達群論的應用於所有科學領域的群論研究。以晶體特性而言，von Neumann原理(von Neumann principle)點出了對稱性的關鍵地位；而Curie’s原理(Curie’s Principle)點出了物質與外場交互作用的對稱性。這兩個重要的原理已經非常成功的應用於晶體材料、元件、系統的分析，然而因為已經有愈來愈多的分析結果顯示生物組織的功能、各式複雜的生物機轉、機制甚至病毒細菌的傳播…都無法脫離大自然對稱的規律，所以對稱原理將可用於分析諸如：生物、醫學領域「開放式複雜系統」的問題。

　　本書在「群論初步」的基礎上增加更完整的表，更清楚的示意圖，附上習題並有詳細的解答，習題與解答可視為本文的延伸。

作者簡介

倪澤恩

　　現任：長庚大學電子工程學系教授

　　E-mail：neete@mail.cgu.edu.tw

　　學歷：
　　國立中央大學光電科學研究所博士
　　國立中央大學光電科學研究所碩士
　　國立中央大學電機工程學系學士

第一章　基礎對稱群理論
1.1.緒言
1.2.對稱的角色
1.3.群論的對稱概念
1.3.1.對稱操作與對稱元素
1.3.2.對稱元素的基本型態
1.3.3.群的定義
1.3.4.一個對稱群的範例
1.4.有關群的幾個基本定義
1.4.1.群的階
1.4.2.子群
1.4.3.陪集
1.4.4.相似轉換、共軛元素與類
1.4.5.類的乘法
1.4.6.同構群和同態群
第一章　習題

第二章　基礎群表示論
2.1.群的表示
2.2.對稱操作的主動與被動的解釋
2.3.旋轉操作和反射操作之矩陣表示
2.3.1.旋轉操作與反射操作
2.3.2基函數轉換與座標轉換的關係
2.4.基底不同之矩陣表示
2.5.正規表示
2.6.可約表示與不可約表示
2.7.可約表示的分解
第二章習題

第三章　晶體對稱群不可約表示的特性
3.1.不可約表示的特徵值
3.2.不可約表示的維度
3.3.廣義正交理論
3.4.不可約表示和可約表示的關係
3.5.32點群的特徵值表
第三章習題

第四章　晶體的對稱
4.1.前言
4.2.晶體結構
4.3.單位晶胞和Bravais晶格的平移群
4.4.晶格的對稱特性
4.5.32個晶體點群
4.6.空間群
第四章習題

第五章　三維旋轉群
5.1.基礎旋轉群表示理論
5.2.旋轉群的特徵值
5.3.雙群表示

第六章　群論在固態物理的應用
6.1.前言
6.2.晶體場分裂
6.2.1.低對稱場導致的分裂
6.2.2.自旋引入的分裂
6.3.晶體中電子狀態的對稱特性
6.3.1.Bloch理論
6.3.2.小群及小表示
6.3.3.體心立方晶體的電子狀態之對稱
6.3.4.對稱操作的Jones符號
6.3.5.相容表
6.4.晶體振動光譜的對稱
6.4.1.紅外線和Raman躍遷過程的對稱原則
6.5.能帶結構計算中特徵行列式的分解
6.5.1.基本原則
6.5.2.能帶結構的膺勢法
6.5.3.鑽石結構，閃鋅結構能帶的對稱特性
6.5.4.建構對角矩陣的方法和特徵行列式的分解
第六章習題

習題解答
參考文獻
索引

序

　　「群者，對稱性之抽象，今代數之本也。」群論在歷史上源自於數論、代數方程理論和幾何學。許多代數結構都是在群的基礎上加上運算來構成的，它通常可以顯示某些結構的內部對稱性，它也被應用在許多醫學、化學、物理、電子等領域，如晶體結構的建模等。群論的研究結果也曾於20世紀下半葉在數學界綻放過光芒。