數學女孩秘密筆記：機率篇

第1章 機率 之謎
「把硬幣投擲出去1次，會出現正面還是反面呢？」
1.1 由梨的疑問
由梨：「呀呵，哥哥，來玩吧！」
我：「妳總是這麼有精神耶。」
由梨：「哼哼──」
我是高中生，由梨則是我就讀國中的表妹。我們從小就玩在一起，她習慣稱呼我為「哥哥」。
每到假日，她就會來我家串門子。
由梨：「前幾天看電視的時候，我遇到了一個讓我想不通的地方。」
我：「想不通的地方？」
由梨：「那個，我在電視上聽到：
因為發生機率為1％，所以每100次就會發生1次！
……這樣的說法。」
我：「這是在說什麼發生的機率？」
由梨：「不太記得了，好像是在討論什麼事故吧。」
我：「討論事故？」
由梨：「我無法理解『因為機率為1％，所以每100次會發生1次』這個說法！」
我：「妳是哪個地方不懂呢？」
我拋出問題後，由梨便積極地講了起來。
由梨：「如果說『因為機率為1％，所以每100次會發生1次』，不就表示『投擲硬幣2次，一定會擲出正面』嗎！」
我：「Stop，話題跳太快了。投擲硬幣是……？」
由梨：「投擲硬幣擲出正面的機率不是 嗎？」
我：「唉，沒錯。投擲硬幣擲出正面的機率是 ，或者說成是0.5、50％。」
由梨：「這不就表示『投擲硬幣2次會擲出1次正面』？但這不是很奇怪嗎？」
我：「原來如此。妳能再敘述得詳細一點嗎？感覺會很有趣。」
由梨：「即便投擲硬幣2次，也不(・)一(・)定(・)會擲出1次正面！」
我：「是的。投擲2次也未(・)必(・)會擲出1次正面。」
由梨：「對吧？投擲2次也未必擲出1次正面。明明如此，卻說『因為機率為 ，所以每2次會擲出1次正面』，這很奇怪吧。」
我：「我瞭解妳的感受。投擲硬幣2次後，可能擲出0次正面、1次正面或者2次正面嘛。」
由梨：「但是，我愈想愈不明白。畢竟投擲硬幣後，不能確定會擲出正面還是反面，沒辦法直接判斷，也無法斷言結果。為什麼明明無法斷言，卻可以肯定地說『機率為 』呢？」
我：「妳無法理解『機率 是什麼意思』？」
由梨：「沒錯！」
我：「不先弄明白機率 是什麼意思，就無法瞭解『投擲硬幣擲出正面的機率為 』的意義，也沒辦法得知換成『每2次會擲出1次正面』的說法正不正確。」
由梨：「就是這麼回事！」
我：「雖然我不知道有沒有辦法解釋清楚，但我們一起來討論看看吧。」
由梨：「放馬過來！」

1.2 機率 是什麼意思？
我：「從最基本的地方說起，也就是討論投擲1枚硬幣1次的情況。首先，假設投擲1枚硬幣1次時，結果為正面或者反面。」
・結果為正面或者反面。
由梨：「這不是理所當然嗎？」
我：「『結果為正面或者反面』代表不會發生兩者以外的情況，例如硬幣直立不翻轉──假設不會發生這種情況。」
由梨：「OK。」
我：「然後，假設投擲1枚硬幣1次時，不會同時擲出正面和反面。」
・不會同時擲出正面和反面。
由梨：「啊哈哈！當然啊，不存在同時擲出正面和反面的硬幣嘛！」
我：「別急。然後還有一個假設：投擲1枚硬幣1次時，正面和反面同樣容易出現。」
・正面和反面同樣容易出現。
由梨：「……」
我：「這是假設不會特別容易擲出正面，也不會特別容易擲出反面喔。」
由梨：「嗯……」
我：「在這三個假設的前提下，投擲1枚硬幣1次時，『擲出正面的機率』會這樣定義。」
投擲硬幣1次「擲出正面的機率」的定義
投擲1枚硬幣1次時，如下假設：
・結果為正面或者反面。
・不會同時擲出正面和反面。
・正面和反面同樣容易出現。
此時，定義擲出正面的機率為

・ 分母的2是「所有的情況數」。
・ 分子的1是「擲出正面的情況數」。
由梨：「等一下，質疑！這感覺怪怪的，哥哥。」
我：「想不通嗎？哪邊覺得奇怪？」
由梨：「……」
由梨闔上嘴巴陷入了深思，她的一頭栗色頭髮閃閃發亮。
我靜靜等待她回答。

第1章 機率 之謎
「把硬幣投擲出去1次，會出現正面還是反面呢？」
1.1 由梨的疑問
由梨：「呀呵，哥哥，來玩吧！」
我：「妳總是這麼有精神耶。」
由梨：「哼哼──」
我是高中生，由梨則是我就讀國中的表妹。我們從小就玩在一起，她習慣稱呼我為「哥哥」。
每到假日，她就會來我家串門子。
由梨：「前幾天看電視的時候，我遇到了一個讓我想不通的地方。」
我：「想不通的地方？」
由梨：「那個，我在電視上聽到：
因為發生機率為1％，所以每100次就會發生1次！
……這樣的說法。」
我：「這是在說什麼發生的機率？」
由梨...

序章

我總是佇立在道路的盡頭。
──高村光太郎《道程》

不知道未來會如何，
我不知道未來會如何，
更不曉得會發生什麼事情。

我每天都會抽張牌。
雖然不曉得會抽出什麼牌，
但我仍然堅持著抽出卡牌，
抽出名為「今天」的牌。

即便前方沒有道路，我仍然會邁步向前。
正因為充滿未知，所以更要勇往直前，
這樣才值得稱作冒險。
朝著未知的冒險出發吧！

序章

我總是佇立在道路的盡頭。
──高村光太郎《道程》

不知道未來會如何，
我不知道未來會如何，
更不曉得會發生什麼事情。

我每天都會抽張牌。
雖然不曉得會抽出什麼牌，
但我仍然堅持著抽出卡牌，
抽出名為「今天」的牌。

即便前方沒有道路，我仍然會邁步向前。
正因為充滿未知，所以更要勇往直前，
這樣才值得稱作冒險。
朝著未知的冒險出發吧！

獻給您 2
序章 6
第1章機率1/2之謎 7
1.1 由梨的疑問 7
1.2 機率1/2是什麼意思？ 9
1.3 想不通的由梨 11
1.4 機率與容易發生的程度 12
1.5 機率的定義 14
1.6 投擲骰子的例子 16
1.7 還是想不通的由梨 17
1.8 兩種硬幣 19
1.9 計數結果來確認 19
1.10 投擲硬幣2次的時候 21
1.11 投擲硬幣3次的時候 22
1.12 投擲硬幣4次的時候 22
1.13 計算組合數 23
1.14 有幾種組合？ 26
1.15 相對次數的定義 28
1.16 擲出正面10次後，容易出現反面嗎？ 31
1.17 每2次發生1次的情況 34
第1章的問題 35
第2章整體中佔多少比例？ 37
2.1 撲克牌遊戲 37
2.2 抽出黑桃Jack的機率 38
2.3 抽出黑桃的機率 39
2.4 抽出Jack的機率 40
2.5 長度與面積 42
2.6 給予提示的機率 44
2.7 使用乘法運算 46
2.8 抽出黑色和紅色彈珠的機率 47
2.9 機械故障 50
2.10 無法得知因果關係 52
2.11 故障的計算 53
第2章的問題 55
第3章條件機率 56
3.1 不擅長機率 56
3.2 相同的可能性 57
3.3 機率與情況數 58
3.4 試驗與事件 59
3.5 投擲硬幣1次 63
3.6 投擲硬幣2次 64
3.7 將什麼當作試驗？ 65
3.8 機率與機率分布 66
3.9 投擲硬幣2次的機率分布 68
3.10 交集與聯集 69
3.11 互斥 70
3.12 全集與補集 71
3.13 加法定理 73
3.14 乘法定理 75
3.15 骰子遊戲 78
3.16 獲得提示 82
3.17 獨立 83
第3章的問題 87
第4章攸關性命的機率 89
4.1 圖書室 90
4.2 疾病的檢查 91
4.3檢查正確的意思 93
4.4 90％的意思 95
4.5 以1000人來討論 97
4.6 製作表格 98
4.7 錯得很離譜 100
4.8 以表格討論 101
4.9 偽陽性與偽陰性 103
4.10 條件機率 104
4.11 米爾迦 108
4.12 兩個條件機率 109
第4章的問題 112
第5章未分勝負的比賽 114
5.1 「未分勝負的比賽」 114
5.2 不同的分配方法 116
5.3 一般化「未分勝負的比賽」 121
5.4 從小的數嘗試P(1,1) 124
5.5 從小的數嘗試P(2,1) 125
5.6 從小的數嘗試的目的 127
5.7 圖形與式子的對應 129
5.8 蒂蒂注意到的地方 131
5.9 擴張來討論 132
5.10 函數P的性質 133
5.11 計算P(2,2)的值 135
5.12 計算P(3,3)的途中 137
5.13 一般化P(3,3) 138
5.14 米爾迦 140
5.15 計算P(3,2)的值 141
5.16 進一步擴張討論 142
5.17 在座標平面上討論 143
第5章的問題 151
終章 151
解答 159
獻給想要深入思考的您 190
後記 193
參考文獻與書籍推薦 195
索引 198

獻給您 2
序章 6
第1章機率1/2之謎 7
1.1 由梨的疑問 7
1.2 機率1/2是什麼意思？ 9
1.3 想不通的由梨 11
1.4 機率與容易發生的程度 12
1.5 機率的定義 14
1.6 投擲骰子的例子 16
1.7 還是想不通的由梨 17
1.8 兩種硬幣 19
1.9 計數結果來確認 19
1.10 投擲硬幣2次的時候 21
1.11 投擲硬幣3次的時候 22
1.12 投擲硬幣4次的時候 22
1.13 計算組合數 23
1.14 有幾種組合？ 26
1.15 相對次數的定義 28
1.16 擲出正面10次後，容易出現反面嗎？ 31
1.17 每2次發生1次的情況 34
第1章的問題 35
第2章整體中佔多少比例？ 37
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