觀念數學（1）：如何學好中學數學

　　從國小、國中，到高中、大學，不同的階段，有不同的學習方法與學習重點，
　　《如何學好中學數學》專門針對高中階段的數學學習，
　　清楚指出高中與國中的學習方法有何不同，
　　並以現行課程的實例來解說，是全方位的高中數學學習方法。

　　這本書要告訴你：學習方法正確了，不但能學好數學，更能學得輕鬆。

作者簡介

任維勇

　　台灣大學數學系畢業，師大數研所碩士。

　　有二十多年教學經驗，
　　曾為台北市教育局高中數學輔導團成員，
　　現任北一女中數學教師。

　　著有《觀念數學1－如何學好中學數學》
　　　　《觀念數學2－中學代數解題策略》。

前言

第一章  打破數學學習的迷思
迷思1. 國中數學是這樣學的，高中數學也應該這樣學。
迷思2. 國中數學都學不好，高中數學沒救了。
迷思3. 數學學不好就是因為演算題目不夠。
迷思4. 多背點公式就能解出題目了。
迷思5. 多學點特殊技巧就可以解出難題。
迷思6. 懂不懂沒關係，反正我會做題目就好。
迷思7. 我懂這是什麼，只是我說不出來。
迷思8. 數學考不好，趕快去補習就可以了。
迷思9. 數學考不好，趕快請家教就可以了。
迷思10. 數學學不好，因為我的頭腦不好。
迷思11. 多看幾遍自然就懂了。

第二章  數學的特性與學習
1. 學習數學的歷程──一張藍圖
2. 數學是理解的科目
3. 數學題目可以分成三種層級
4. 數學是絕對精確的
5. 數學需要不斷的思考
6. 數學題目非常多又非常相似
7. 數學的內容是環環相扣，累積起來的
8. 數學是有趣的
9. 只要方法正確，每個人都能學好高中數學

第三章  正確學習數學的方法
1. 新學一個定義
1-1 數學化的定義
1-2 深入了解一個定義
1-3 數學化定義也可能有很多種
1-4 直觀的定義與數學化的定義交互使用
1-5 定義有主要部分與附帶條件
1-6 類似定義的數學式
2. 新學一個公式或定理
2-1 哪些公式要背？
2-2 深入了解一個定理
2-3 實例說明
3. 如何去記一個公式或定理
3-1 多半公式不需要死背
3-2 算熟了就自然記下來
3-3 用特例去推廣公式
3-4 用性質或特例去記公式
3-5 可以互推的公式只記一個
3-6 類似公式一起背
3-7 用一個公式去推其他公式
3-8 只記公式的關鍵
3-9 用圖形記公式
4. 注意等價的關係
5. 基本的解題策略
5-1 什麼是解題策略？
5-2 條件與求解（或求證）數學化
5-3 找尋條件與求解的關係
5-4 化簡的方向
5-5 假設未知數，再列方程式解之
5-6 條件式可以用來消去變數
5-7 題目屬於哪個範疇？有什麼公式可用？
5-8 可否代換成簡單的型態？
5-9 運用解題策略
6. 熟練基本運算──百分之百的理解
7. 理解標準題──提升理解的層次
7-1 這個題目怎麼做？
7-2 為什麼這樣做是對的？
7-3 為什麼會想到要這樣做？
7-4 這一類的問題該怎麼做？
7-5 多幾個例子
7-6 學會深入思考問題
8. 學完一個段落──構築解題策略
8-1 小範圍的解題策略
8-2 解題策略實例1：餘弦定理
8-3 中範圍的解題策略
8-4 解題策略實例2：餘式定理
8-5 解題策略實例3：進一步的三角問題
8-6 大範圍的解題策略
8-7 解題策略實例4：指數問題
8-8 解題策略實例5：比大小問題
8-9 解題策略實例6：算幾不等式
8-10 要建立自己的解題策略
9. 學習解思考題
9-1 解題思考的過程
9-2 解思考題的實例
9-3 解完思考題之後
9-4 有很多不同的解法
10. 考試作答技巧
10-1 看題目時慢一點、仔細一點
10-2 做完一題後，立刻重新看一遍題目
10-3 用代入特殊數值得答案
10-4 能不能猜答案？
10-5 隨時記得驗算
10-6 作答卷寫清楚
10-7 其他該注意事項
11. 如何避免粗心錯？
11-1 純粹的粗心錯
11-2 不精確的粗心錯
11-3 不專心的粗心錯

第四章  解決數學學習的問題
1. 我的孩子在學校上數學課都聽不懂，怎麼辦？
2. 我的孩子上課都聽懂了，可是考試都不理想，怎麼辦？
3. 我的孩子小考都還不錯，可是段考就不太理想，怎麼辦？
4. 我的孩子總是容易粗心錯，怎麼辦？
5. 我的孩子記性不好，公式總是背不起來，怎麼辦？
6. 我的孩子各科都很好，只有數學差，怎麼辦？
7. 我的孩子每次打開數學課本就發呆，怎麼辦？
8. 資優生也可能會有問題

附錄  簡易邏輯──數學的規則

前言

　　執教二十多年，看過很多令人同情的學生、無助的家長，他們耗費了很多時間與金錢，卻沒有收穫。只因找不到學習方法，造成學生的痛苦，家長的無奈。學生最大的問題在於學習方法，大多數同學都沿襲不正確的方式，效果始終有限，因為他們已經養成了固有的學習習慣，不是三言兩語可以改變的。很多老師都會不斷提醒學生：「要理解，要思考，不要死背。」可是很少人能告訴學生如何理解、思考？如何學好高中數學？

　　所謂不正確的方式，就是過度使用記憶與熟練，代替應有的理解與思考。很多學生就是這樣學數學：上課專心聽講、抄筆記，回家後拿出筆記，先背公式，然後將老師教過的再看一次，或照著筆記再算一次，然後拿出參考書，努力做題目，會的就做，不會的就看解答，不懂的就記下來。

　　這樣也不能說錯，只是好像少了什麼？不錯，少了思考。高中數學最重要的是邏輯的因果關係，而計算過程是工具。模仿與熟練只適用在最基本處，真正的學習是要學到解決問題的能力。只在記憶與熟練，當然效果有限。

　　簡單說，數學學習的最後成果是解題，解題的過程需要思考。數學思考與生活思考很類似，只是需要更精確，而且先要對數學內容有充分理解，才能夠運用數學知識做思考工具。深入的理解、精確的態度與自然的思考，就能學好數學。詳細地說，就是本書的內容。

　　坊間也有不少有關數學學習的書籍，大多是翻譯國外著作。有的適用於研究者，談的是大環境、大方向；有的適用資優生，談的是解題的技術；有的只是用趣味碰觸數學，而無實際幫助。沒有一本針對高中生的數學學習。

　　我用了兩年多寫出這本書，針對高中生，詳細寫出正確的學習方法，其中範例也都取自目前國、高中的教材。同時也告訴學生為什麼要這樣做？只有先了解為何現在的學習無效，才能了解為什麼要改變自己習慣的方式，才願意試著用本書所說的方法。其中一部分的內容，也合適家長閱讀，讓家長也能了解該如何幫助孩子。

　　本書所說的方式是高標準的，如能完全做到，必能成為數學高手。開始時也許很難完全做到，只要確認學習方向做下去，一旦習慣了，不但能學好數學，更能學得輕鬆，並且享受數學的樂趣。

　　不同的階段，各有不同的學習方法，國小、國中、高中、大學的學習方法與重點，都有些不同，本書針對的正是高中階段的數學學習。有少數國中生，已經能以本書所談的方式學數學，這些學生多半也是能夠輕鬆又快樂學好數學的學生。不過，限於國中生的心智成熟度與課程需要，也不用強求，以免揠苗助長，大約在國三時逐漸改變即可。至於高中生，就必須用本書的方式學習了。將來上大學後，學習必須更深入，思考必須更精確。

　　本書共分四章。

　　第一章為打破數學學習的迷思，我列出11項似是而非、不完全正確、卻是很多人的直覺想法。我深入說明或加以修正，希望破除這些迷思。建議家長與學生一起閱讀，也可以一起討論，當你們也能體會出，只靠記憶與熟練無法學好數學，才能真心願意去改變學習習慣。

　　第二章為數學的特性與學習，這裡要重建學生對數學的正確認識，也說明正確的學習態度。我要強調，學習數學所需要的思考，與我們日常的思考差別不大，只要運用自己的智慧，將它用在數學上。

　　第三章為正確學習數學的方法，也是本書最重要的一章，內容即在詳細解說學習數學的細節與數學思考的方法。請學生仔細閱讀，並且想一想是否這才是理解數學的方法？盡量照著做，最好還能經常翻閱本章，並檢視自己的學習。剛開始沒辦法完全做到，也沒關係，先至少做到一部分，就會對數學有全新的感受，覺得有效了，再更全面地去做。

　　第四章為解決數學學習的問題，這一章我將學生的問題細分成多種類型，直接針對各種類型，提供最可能的原因與改進的方法。家長和學生可以一起想想問題出在哪裡，再做相應的改正。

　　附錄是簡易邏輯，如要精確的學習數學，了解數學的邏輯是必要的，學生若還不清楚，就必須學習。我盡量用淺顯的方式說出重點，並將學生最容易犯的錯誤列出來。

　　能夠完成這本書，要感謝所有教過我與被我教過的人，是你們讓我對數學學習有這麼深的感受。尤其是老婆在我寫書期間對我的包容，以及北一女中溫、良兩班寶貝給我的鼓勵，其中蘇意涵、林妏霙同學更給我很多寶貴意見。

　　如何使用本書──家長

　　首先，致上個人真摯的敬意。會閱讀本書的家長，不僅是關心孩子課業，而且是會去尋求適當方法的家長。

　　教育孩子真的是門學問，也是挑戰，是一種甜蜜的辛苦。對父母而言，孩子的成長只有一次，失敗就很難重來。我也是孩子的爸，常常覺得教育的資訊不易取得，就書籍而言，只有學齡前教育比較充足，上國中以後，幾乎就只看得到參考書，明知道那是填鴨，可是有別的選擇嗎？

　　上高中以後，很少家長有辦法自己幫助孩子，我遇過不少父母是博士、教授，可是術業有專攻，他們也無法樣樣顧到。像我是高中數學老師，我也只懂數學，孩子的英文我就一竅不通了。

　　有人以為只有成績不好的學生家長才會覺得困擾，實際上，關心孩子的家長多半都戰戰兢兢的看著孩子成長，不管是生活還是課業，成績不好會令人擔心，成績好的希望他更好，有時看到家長的焦慮甚至超過孩子。

　　這裡順便提醒各位家長：去尋求更好的方法幫助孩子，而不是一味的要求孩子。還有，不要讓孩子看見自己的焦慮；父母的焦慮有時也會變成孩子沉重的壓力。

　　即使各位家長完全不懂數學，那也無妨，請先仔細閱讀本書第一、二章，去了解數學的特性與學習的方式。這兩章與數學內容無關，每個人都可以看懂，也可以和孩子一起看，一起討論。了解數學的特性，才有辦法幫助孩子，而不只是一再要求孩子努力得高分而已；同時，也可以知道孩子面對的困難是什麼，該怎樣去循著正確的方法學數學。然後再看第四章，針對孩子的問題，提醒孩子改正習慣。

　　如何使用本書──國中畢業生

　　首先，恭喜你進入學生生涯的新階段，既期待又怕受傷害；也恭喜你閱讀本書，踏出了正確的第一步！過去很多優秀的國中畢業生，到了高中就受到嚴重的傷害，於是很多人盡量提早學習高中教材的內容，但其實，更重要的是要學習高中該有的學習態度與方法。

　　曾聽過一個建中資深老師說，他遇過一個學生，從高二開始，數學通常只有兩種成績：0分和5分，0分是正常的，5分是因為題目有錯而送分。能考上建中，當然基測的數學成績一定很高，怎會有如此下場？不能適應高中數學，最後由挫敗到排斥變成放棄，令人惋惜。

　　我必須提醒，高中數學與國中數學真的很不同，難度與廣度加大是必然的，學習的方法也勢必需要大幅的改變。回想從小學到國中階段，就有不少人被數學打敗了。通常不是不用功，而是學習方法無法隨階段改變，事實上，求學（或人生）的每一個階段，都有不同的方法和方向，不能順應變化而調整，勢必被淘汰。

　　請先仔細閱讀第一、二章，先了解高中數學的難度，做好心理準備。再仔細閱讀第三章，完全不懂的例子可以跳過，等學到時再翻閱比較。要隨時拿出本書檢驗自己的學習方法是否正確。記著，本書提醒的是方法，照正確方法做下去才會有效果。
祝你們上高中後都有順利的起步。

　　如何使用本書──高中生

　　如果你已經讀完了高一數學，一定能體會高中數學變化多端，難以捉摸。閱讀本書後，一定會有很深的感觸。

　　不論你現在的數學成績如何，請先仔細閱讀第一、二章，想一想書中所說的是否有道理。再仔細閱讀第三章，比較一下自己的學習。對於定義、定理的理解夠深入嗎？解難題時有自己思考嗎？改變學習的方式是很困難的，了解自己是改變的第一步。

　　如果你正為數學苦惱，改變數學學習方法是唯一的路。改變永遠不遲，初期可能不適應，甚至因為破壞既有的節奏而痛苦。努力照著本書去做，做不徹底也無妨，先要求走對方向。首先掌握第三章第5節的「基本解題策略」，再配合深入的學習，試著自己去解題，很快就能對數學有新的感覺。

　　如果你對於學習數學已有心得，你應該已經有了正確的方向，請你仔細研讀第三章第8節的「構築解題策略」，相信你一定會發現更多好方法，你也一定願意用更多的思考。本書會讓你再突破，讓你的數學百尺竿頭更進一步。

　　祝你們都能在數學中找到樂趣。