誰都可能呼攏你，但是數學不會：super教師引路，讓人生開外掛的38則思考筆記

【文章試閱一】
既然不會用到的數學，為什麼還要學？

我很喜歡問同學一個問題：不包含幼兒園和研究所，你們從國小到高中，至少學了 12 年的數學，有沒有曾經懷疑，不知道為什麼需要學這麼久的數學？

當然，會有不少同學抱怨：「我只要簡單的加減乘除就夠了，為什麼還需要學到三角函數、微積分？日常生活根本用不到這些數學原理！」

我坦承：「對，不會用到，應該不會。」聽到這個答案，同學就更疑惑了：「既然不會用到， 那為什麼需要學這麼久的數學？」

關於這個疑問，我都會告訴同學一個祕密：事實上，數學是一個解決問題的「大絕招」！

我聽過一個很棒的類比：「學習數學，就像你在做重量訓練」。像「舉重」這個動作，目的不是為了「哪一天可能被 100多公斤的重物壓到，讓人能把重物舉起來」，而是在不斷強化訓練的過程中，讓肌肉變得更強壯，如此一來，進行其他的運動時就不容易受傷，也可以更輕鬆的做出想要的動作。

同樣的，學習數學是為了「鍛鍊邏輯思考能力」，讓人可以更輕鬆解決其他學科或日常生活遇到的問題；數學要教給我們的，絕不只是加減乘除的運算能力，而是一種「思考解決問題的方式、態度與能力」，其中最重要的就是「邏輯」。

在這裡，我先來說一個小故事：在現代科學之父伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）的年代，大家直覺性的相信，「重的東西掉落的速度比輕的東西快」；也就是「愈重，掉落的速度愈快」。

假設你是伽利略，想要說服大家相信「重的東西跟輕的東西掉落的速度其實一樣快」，除了真正操作一個嚴謹的實驗來證明，還有沒有其他方法？

伽利略是這樣說明的：我們現在想像兩個東西，一個重、一個輕 ，中間用一條很輕、很輕的繩子綁在一起（也就是這條繩子的重量相形下可被忽視掉），當兩個東西一起墜落，如果重的掉落速度比輕的快，那麼重的就會把輕的東西往下拉，然而輕的東西會拖延重的掉落時間，所以兩個東西掉落的速度應該介於原本輕的和重的掉落速度之間。

但再換個角度、只看重量而言，兩個東西綁在一起就變得比原來的個體更重了，無論如何，都應該比任何單一物件掉落的速度還要快才合理，然而這就和前面的想像產生了矛盾；所以只有假設掉落速度一樣快，矛盾才會合理消失。

這真是一個無比優雅的抽象思考證明方式，不用任何實驗操作，只有邏輯推理；所以我們常說，「數學力」就是你的「表達力」，更是你的「超能力」！
既然聊到了表達力，我們也常說「數據會說話」，但如何讓它說得好、說得讓人印象深刻，就需要活用數學力來表達；簡單來講，即便是最簡單的數字，也可以透過表達方式不同，讓同一組數據產生完全不同的感受。

舉例而言：如果有一間公司的營業額逐年下滑，如何在報表中讓公司有「蒸蒸日上」的感覺？方法就是將每年下滑的「次數分配長條圖」改成「累計次數長條圖」，這樣就會產生「節節高升」的觀感了。

再舉個例子：如果你想跟別人說明「臺灣的牙醫診所非常多」，假設原本是這樣描述：「你知道嗎？臺灣的牙醫診所竟然高達 6,600間。」老實講，一般人其實沒有什麼感覺。

若想讓對方聽了很有感，你需要讓數據跟他的生活經驗產生聯結才可以。所以你能試著這樣描述：「你知道嗎？全臺灣的7- ELEVEN總共有5,336間， 而全臺灣牙醫診所超過了6,600間。」這時聽眾感覺到牙醫診所比 7-Eleven 至少多出1,300 間，大腦就會自動理解到「臺灣牙醫診所非常多」的具體事實。

我們都清楚知道，不是數學不好理解，是我們理解不好數學，所以才會學得艱難、用得茫然。但數學是你解決問題時，在思維上不可或缺的輔助，這才是需要學數學這麼久的原因。如果只把它當作「考試科目」、「拿分數的工具」，就好像拿了頂級配備的智慧型手機，最後卻只用來打電話，真的太可惜了。

電影《那些年，我們一起追的女孩》中，男主角跟女主角說：「妳相不相信多年以後，當我完全忘記這些三角函數，我的人生仍然可以過得很好！」

沒錯，我相信沒有數學思維，人生仍然可以過得很好，但我更相信──如果有數學思維，人生一定會過得更好！

【文章試閱二】
感謝願意傻乎乎努力的自己

有一次遠距離教學，我看著螢幕上的同學帳號，問：「我想問大家，期末要不要考試對於自己上課的專注度，有沒有直接影響？請大家自我評估，用 1 到 5 的數字來表示影響程度，數字愈大，影響愈大。」

接著看到同學們普遍輸入 4 或 5，我就再請他們自我評估一下，現在對數學的努力和投入的時間跟之前沒停課時相比，從-5 到 5，數字愈大代表現在愈認真。果然，同學們幾乎都是回答-4和-5。後來我又追問細節，確定大部分的同學是受到了上課方式和心態影響的關係。於是我花了點時間，和他們分享了一個親身故事。

我 23歲時曾有過一次溺水經驗，那是在山澗瀑布區發生的意外；當時我頭下腳上、眼睜睜看著亮亮的湖面，心想著：糟糕了，人生要結束了！所以雖然我會換氣游泳，在泳池裡也游得還不錯，但那次經驗之後，我只要一到腳無法踏地的地方，就會全身緊張、四肢僵硬。
可是我始終非常想要完成一次人生的鐵人三項（游泳 1.5 公里+單車 40 公里+跑步 10 公里），一心想把自己丟出舒適圈，試試看可以做到什麼程度。所以在好友的鼓勵下，終於勇敢的報名了安平鐵人三項。

然而愈接近比賽的日子，我愈感到焦慮，找不到適合的時間及地點讓我能好好練習游泳。在那段日子裡，我持續專注的訓練大腿與核心肌肉，幾乎每天都會跑一次 10公里，但也憂慮的想到：如果第一關游泳就闖不過去，後面根本沒有機會參賽。可是我只能不斷的努力訓練自己，心情才會穩定一些。

即使每天練習完已經晚上 10點多，即使天氣炎熱，即使整個人非常勞累，我也從來沒這麼有自信過；那是我每天藉由練習累積下來的自信。

就這樣到了比賽當天，我帶著魚雷浮標出發，果然沒多久就吃水了。所以游泳那一關幾乎是整場抱著浮標拚命的打水。還記得救生艇一直跟在旁邊關心詢問：「先生，你還可以嗎？」而我一直反問：「時間到了嗎？」然後反覆得到同樣的答案：「還有時間啦！」

印象中我好像是最後一個上岸的，慶幸當時還沒到截止時間。但整個平衡感還沒調整回陸地狀態，我就趕快衝向腳踏車，一牽到車馬上衝出去。當我騎完 40公里回到停車處，時間還有 70 分鐘，而那個當下我鬆了一口氣⸺我做到了！

特別是跑最後 10公里的時候，我心裡有好多感謝，尤其感謝那一個不知道怎麼辦，卻願意傻乎乎努力的自己。因為自己持之以恆的練習，讓我的身體充滿自信的加油打氣：「可以的、可以的，我一定可以的！」

說到這裡，不知道大家曉得不曉得，每天多付出一點（1%）的努力，一年後，自己付出的努力累積起來會變成現在的 37 倍。這句話是有實證根據的，因為這是利用1.01的365次方等於 37.78 ……計算出來的結果。

可是這個公式中最困難的不是多付出一點的努力，而是「持續不斷」多付出一點努力。假設今天你累了、想放鬆，決定比平常還要少 5 成的努力，想著明天可以彌補回來，只要比平常多 6 成努力就好，而且你可能直覺認為這樣還多了1成，應該就沒問題吧！

但數學告訴你 0.5×1.6=0.8，這兩天下來，你反而退步了 20%。如果偷懶了一天、隔天要加倍努力以求回到正常水準，其實你需要的是200%的努力，因為 0.5×2=1。

所以當你今天想要選擇放鬆的時候，記得告訴自己，你是在借高利貸啊！借 50%要還 100%，重點是 50%的放鬆很容易，200%的努力有多困難啊！
一個人選擇不努力，並不是「過錯」，而是會「錯過」。就像遠距離教學另一端的人，其實可以選擇關掉鏡頭、開小差，也可以選擇跟之前一樣努力，甚至比之前更努力。或許近期內不一定看得出差異與成效，但絕對不會後悔。

我也相信，選擇跟之前一樣努力的人，將來一定也會體驗到「感謝傻乎乎的努力的自己」的那一刻。

#Math Hashtag#
為什麼要講鐵人三項的故事呢？不是要炫耀我完成了挑戰，相反的，鐵人三項在很多人眼中是輕而易舉的小事。

我想要表達的是，如果有一種投資，保證穩賺不賠但不能短期操作，投資愈多、愈久，報酬愈豐厚，請問有誰會不想跟進？對，我想每個人都一定瘋狂跟進。

不過有人也可能會懷疑，哪有這麼好的投資呢？有的，那就是「投資你自己」；愈是不確定的時候，愈要肯定的投資自己，讓自己增生更多的能量，讓自己的人生有更多的選擇。

【文章試閱一】
既然不會用到的數學，為什麼還要學？

我很喜歡問同學一個問題：不包含幼兒園和研究所，你們從國小到高中，至少學了 12 年的數學，有沒有曾經懷疑，不知道為什麼需要學這麼久的數學？

當然，會有不少同學抱怨：「我只要簡單的加減乘除就夠了，為什麼還需要學到三角函數、微積分？日常生活根本用不到這些數學原理！」

我坦承：「對，不會用到，應該不會。」聽到這個答案，同學就更疑惑了：「既然不會用到， 那為什麼需要學這麼久的數學？」

關於這個疑問，我都會告訴同學一個祕密：事實上，數學是一個解決問題的...

【推薦序】
推薦序
原來我們都誤解數學了，它是人生最好的導師！

作者／歐陽立中（暢銷作家、Podcast「Life不下課」主持人）

我們從小到大背過很多格言，像是「失敗為成功之母」、「機會是留給準備好的人」、「忍一時風平浪靜，退一步海闊天空。」會有這些格言，不外乎就是提供給我們一個立身行事的準則。

但有趣的是，我常在演講時，告訴大家：「格言不是真理，不要活在格言的陰影裡。」是我天性叛逆嗎？還真不是。因為我發現，格言只是看世界的一種角度，但並不是世界的全部。而且，人很有趣，會將格言用來合理化自己的行為。

比方小華每次失敗都不思改進，一錯再錯，還理直氣壯的告訴你：「失敗為成功之母啊！」又比方小美明明有不錯的寫作能力，你要她去投稿試試，她總是回：「機會是留給準備好的人，我還沒準備好。」

問題來了，既然格言不是真理，那什麼才是真理？

我的答案是：數學！

數學每個公式和定理，經過無數的數學家推敲證明，經過無數的學者挑戰質疑，最終屹立不搖橫亙在我們眼前。沒有心靈雞湯的羼水，也沒有心靈耳光的毒辣，全憑數字說話，指引方向。我一直在想，坊間用故事說道理的勵志書很多，要是有一本用數學講道理的勵志書，該有多好啊！

可惜我數學不好寫不出來，但我知道總有一天，會有一位數學好的作家，為我們打開人生的另一扇門。終於讓我等到了，這個人就是本書的作者光文老師！

當我在讀這本書時，你可以想見我有多震撼！那些曾折磨我們青春的數學定理，在光文的生花妙筆下，穿插富饒趣味的故事，數學竟然不再是當年只為拿高分、考取好學校的手段，反而成為指引我們人生方向的明燈，而且一生受用！

當你認真讀書，成果不如預期，讓你萬念俱灰，想要放棄時，光文用數學告訴你：「每天多付出1%的努力，一年後， 你付出的努力累積起來會變成現在的 37 倍。因為1.01的365次方大約是37.78啊！」沒人記住你努力的身影，但數字記住了。

當你鬼迷心竅，看見別人一夕成功，想要貪快走捷徑。光文會用數學拉住你，讓你看看「非線性函數」是怎麼說的：「不是自己不行，而是自己太想一次就行。雖然改變的弧度不大，可是當習慣和態度養成，接下來改變的速度愈來愈快，最後就能抵達目標。」

我們已經聽太多無法考證的故事，這一回，就讓光文用有憑有據的數學，為我們人生洗禮吧！

【自序】
作者序
努力，從來不會讓人失望!

「我叫黃光文，是一個高中數學老師」⸺每次別人聽到這段自我介紹，最常見的反應就是連忙回說：「我以前數學很差。」「數學是我最害怕的科目！」「除了考試，數學還有什麼用？」甚至有人直言：「我數學不好，但人生依然過得很好呀！」

我的想法是：如果理解數學，人生就會像開外掛一樣，過得更好！畢竟有時候數學不好，反而會讓我們對這個世界產生錯誤的認知。

譬如，很多人都認同「一分耕耘，一分收穫」，所以今天多一分的努力，應該就會有一分的回饋。這種想法超符合我們看待這個世界的直覺，然而現實是：絕大多數是「十分耕耘，一分收穫」。除非、假設我們踩動了正向回饋的飛輪，按照指數型曲線判斷，那就可以「一分耕耘，十分收穫」。

還有，如果我們每天多一點點（1+1%）的努力，過了365天後，就會變成原本的37.8倍左右，因為1.01365=37.78⋯⋯；而如果每天少一點點（1-1%）的努力，過了365天後，就會變成大約0.0255倍，因為0.99365=0.0255⋯⋯。不過，大家曉得嗎？若是將這兩個數字相乘，結果是小於1的。換句話說，倘若現在鬆懈下來，未來是要付出利息的，並非今天少一點點、明天多一點點就能直接彌補回來。

常常有人會問：「光文，你為什麼想要用魔術、桌遊融入教學，讓數學遊戲化？」關於這個問題的答案，讓我想起一些故事，而所有的故事都有一個起點……

我教書第二年時，遇到了一個學生。她永遠採取側坐姿態，一副不想聽課的樣子。剛開始我跟自己說：「沒關係，我照顧好班上其他同學就好。」可是我無法欺騙自己，只要一上課，我的眼睛就會忍不住去瞄一下那個側坐的身影。所以我開始熱切的進修，翻遍書籍，想盡辦法把所有可能刺激學習動機、提升學習興趣的遊戲元素融入課堂。當時一心想著：我偏要把教學內容變得很有趣，讓這位同學認為不聽課是一件奇怪的事！儘管那位同學沒有因此產生太多變化，反倒是周遭同學上課的眼神開始變了⸺我一看到那些閃閃發光的眼神，當下我就知道自己的教學風格跟方式再也回不去了！

接續，我很幸運的收到一些學校的邀請，讓我有機會跟許多人分享教學心得。我趁此機會走出去交流，才能認識「數學咖啡館」（又稱「數咖」）夥伴，沉浸在更多的激盪跟交流之中，讓教學再精進。後來，還嘗試將大家普遍頭痛的「指對數」和「三角函數」概念延伸製作成桌遊，希望讓大家感覺數學親近、有趣。而同學們也很捧場，從收到的回饋中，反映「喜愛及有幫助」的程度達8分以上（滿分為10分）。

2017年，我在數咖夥伴的鼓勵下參加了「親子天下創新100」評選，再一次幸運的受到肯定。印象中當年一起得獎的都是我心目中的神人，我還為此感到惶恐。朋友說：「光文，如果你覺得能得獎是源自太多幸運，那就努力去做一個對得起這份幸運的老師吧！」此後，我便一直用這句話時時刻刻提醒自己。

我相信這世界的運作法則是「愈努力，愈幸運」：2019年我獲得了「未來教育100」的認同，2021年獲得了「臺南市Super教師」首獎，接續還肩負起第一屆數咖年會召集人、夢N國中數學召集人……這些努力的最終目的，對我而言依舊不變，那就是「成為一個對得起這份幸運的老師；回到自己的教室裡，教會自己的孩子」。

我也相信「體驗生活，生活體驗」，是認識數學最好的方式；唯有和同學們一起進入生活情境，透過親身經歷，對數學會更有感，並且從中發現、進而相信⸺原來自己能做到的事情比想像的多。所以這次我特別設計了一個LINE小遊戲，連結的QR Code放在本文最後。在翻閱這本書之前，建議你可以先掃描QR Code，試試看這個遊戲，結果可能令你驚訝（是下巴會掉下來的那一種）。而小遊戲中的關卡解釋和延伸探討，你都可以在這本書中得到解答。

另外，我更相信「青春就要壯遊，還要服務」，人生有些課題必須走出教室。所以我和同學們一起到偏鄉服務學習，和當地人交流。譬如：某一次我們騎單車出發，第一天騎了100公里抵達A國小，當晚投宿禮堂後，第二天上午和A國小的同學們進行科學闖關遊戲，下午再騎50公里到B國小，晚上一樣借住禮堂，並在第三天上午和B國小的同學們完成科學闖關遊戲，下午續騎50公里至C國小……就這樣，完成了一共3天、200公里、3所學校的服務壯遊之旅，也辦了3場科學闖關活動。猶記行前不少朋友紛紛勸阻，說：「光文，這些孩子不是你，他們做不到的！」結果，我們都辦到了。因為我們篤信：阻礙自己前進的，不是事情的難度，而是對難度的想像。

像這樣令人感動的畫面很多。今日的學生，明日的老師；同學們的無數回饋總能觸動我，讓我深入思考數學、生活、教育間的關聯。我想留下這些畫面，所以開始記錄下每一則故事。

因為個人興趣，我保持著大量閱讀、大量寫作的習慣，也其實我的人生願望清單其中一項，就是「文章有朝一日可以被刊登在報章雜誌上」。但過往在臉書上發表的文章，平均10 篇之中大概僅1 篇能獲得少數回響。直到有一次我去資優班帶數學營，看見同學們害怕出錯的心思，不禁有感而發的在臉書上寫下了〈我一定是失心瘋了〉這篇文章。沒想到，很幸運的被臺大電機工程系的葉丙成教授轉發，讓我第一次感受到什麼是「流量」。然而人生真是神奇，接續，《天下》雜誌的編輯看到了也分享了這篇文章，就這樣幫我達成了願望。

原本能有一篇文章被刊登，我就心滿意足得不得了，但是命運賜予的饋贈比我期待的多更多。先前，我鼓起勇氣請益超級暢銷作家歐陽立中老師，想知道自己該做哪些事情，才能把文章集結出版，分享給更多人？立中老師熱情的說：「光文，我來推你一把！」於是他分享了我的臉書文章，並標注了5 個出版社編輯的臉書帳號，後來有3 位和我聯絡上。

我永遠記得《親子天下》編輯跟我說：「光文老師，你的臉書文章看下來，應該可以集結成好幾本的分量吧！」因為這一份鼓勵，讓我加倍相信「點滴可以匯流成河」這句話，也讓我想起常跟同學分享的：「只有『期待收到立即的回饋』，才會讓自己失望；而努力，從來不會讓自己失望！」

我很希望《誰都可能呼攏你，但是數學不會》，可以帶年輕世代親近數學，藉此拋磚引玉，繼續激盪出年輕世代更多的想法和自信。
在最後的最後，謹以本書，向期待我成為陽「光」「文」藝青年而幫我取名「光文」的可愛老爸致敬！

【推薦序】
推薦序
原來我們都誤解數學了，它是人生最好的導師！

作者／歐陽立中（暢銷作家、Podcast「Life不下課」主持人）

我們從小到大背過很多格言，像是「失敗為成功之母」、「機會是留給準備好的人」、「忍一時風平浪靜，退一步海闊天空。」會有這些格言，不外乎就是提供給我們一個立身行事的準則。

但有趣的是，我常在演講時，告訴大家：「格言不是真理，不要活在格言的陰影裡。」是我天性叛逆嗎？還真不是。因為我發現，格言只是看世界的一種角度，但並不是世界的全部。而且，人很有趣，會將格言用來合理化自己的行為...

推薦序
原來我們都誤解數學了，它是人生最好的導師！
作者序
努力，從來不會讓人失望！

數學人生相談
人生一切困擾，數學給你答案
最重要的是「方向」和「順序」
不會用到的數學，為什麼還要學？
數學是思考降噪的AirPods
力量更大的是系統性邏輯思維
數學很難，因為你沒讀懂「潛臺詞」
用生活來理解數學的語言
數學說，想要更強大，就一定要有挑戰者
真的框住自己的，是自己的思維
眼見，一定為憑嗎？
再多相信自己一點
如果那裡什麼都有呢？

數學開外掛
函數　 為什麼這麼多人要假裝努力？
非線性函數　不是自己不行，而是自己太想一次就行
波利亞罐　 增加運氣的運氣
大數法則　 預測人生的水逆
轉移矩陣　 打破宿命論，從改變習慣與思維開始
馬可夫矩陣　你可以改變看待世界的角度
每個人都是一個矩陣
四象限法則　不可能既要Ａ，又要Ｂ跟Ｃ
夾擠定理　 選擇了什麼，並不是那麼重要
機率　 不必先發，也能制敵
黎曼幾何　 大家深信不疑，請你也要持續懷疑
1.01的365次方=37.78……　感謝願意傻乎乎努力的自己

數學生活式
比讀書更重要的事
永遠都可以選擇讓自己變得更好
能力愈強，責任愈大
你是在提高額度還是刷爆額度？
厲害的代工者？優秀的創造者！
成功的可能，從正視失敗開始
成功常常要帶一點「運氣」
一個成功的失敗故事，看見幸運的機率
永遠都有可能，只要機率不是0
如果這是最後一堂數學課
未來誰會是孩子最好的老師？
揉成紙球的數學考卷，願你永遠記得隱藏的人生紋路

【隱藏彩蛋】數學力，就是你的超能力！
https://lin.ee/vMi81Kl
翻開本書前，
歡迎掃描作者序裡的QR Code闖關挑戰，
所有答案和解釋，都在本書之中！

推薦序
原來我們都誤解數學了，它是人生最好的導師！
作者序
努力，從來不會讓人失望！

數學人生相談
人生一切困擾，數學給你答案
最重要的是「方向」和「順序」
不會用到的數學，為什麼還要學？
數學是思考降噪的AirPods
力量更大的是系統性邏輯思維
數學很難，因為你沒讀懂「潛臺詞」
用生活來理解數學的語言
數學說，想要更強大，就一定要有挑戰者
真的框住自己的，是自己的思維
眼見，一定為憑嗎？
再多相信自己一點
如果那裡什麼都有呢？

數學開外掛
函數　 為什麼這麼多人要假裝努力？
非...