怎樣解題

英文版初版序
初版第七刷序
第二版序
「怎樣解題」提示表
序　康威（John H. Conway）
前言

第一部：在教室裡
目的
第1節： 幫助學生
第2節： 提問、建議、心智活動
第3節： 普遍性第4節 常識
第5節：老師與學生、模仿與練習
主要步驟及主要提問
第6節： 四個階段
第7節： 了解問題
第8節： 例子
第9節： 擬定計畫
第10節： 例子
第11節： 執行計畫
第12節： 例子第
第13節 驗算與回顧
第14節： 例子
第15節： 不同的做法
第16節： 老師提問的方法
第17節： 好的提問與壞的提問
更多的例子
第18節： 作圖題
第19節： 證明題
第20節： 速率問題

第二部：怎樣解題 一段對話
認識問題
進一步了解問題
尋找有用的好想法
執行計畫回顧

第三部　啟發法小辭典
類比／輔助元素／輔助問題／波爾察諾／靈感／
你能驗算結果嗎？／你能用不同的方法導出這個結果嗎？／
你能運用這個結果嗎？／執行計畫／條件／矛盾／系理／
你能從已知數中找到什麼線索？／你可以把問題重述一遍嗎？／
分解與重組／定義／笛卡兒／決心、希望與成功／診斷／
你是否使用了所有的已知數？／你知道什麼相關的問題嗎？／
畫個圖／檢查你的猜測／圖形／一般化／你以前見過它嗎？／
這裡有個已經解決過的相關問題／啟發法／啟發式推理／
如果不能解決眼前的問題／歸納與數學歸納法／發明者的悖論／
這個解能否滿足所給的條件？／萊布尼茲／引理／仔細看未知數／
現代啟發法／符號與記法／帕普斯／拘泥與精通／實際的問題／
求解題與證明題／進展與成就／字謎／歸謬法與間接證法／多餘的／
例行性的問題／發現的法則／表達風格的守則／教學的守則／
把條件的各個部分分開／列方程式／進度的象徵／特殊化／潛意識的工作／
對稱／解題的術語／量綱檢驗法／未來的數學家／聰明的解題高手／
聰明的讀者／傳統的數學教授／改變問題／未知數是什麼？／
為什麼要證明？／諺語的智慧／倒推法

第四部：問題、提示、解答

序

　　《怎樣解題》是很棒的書！早在多年前，當我還是個學生，第一次讀這本書的時候，我就已經知道它是本好書了，但是，我卻花了很久的時間，才真正體會這本書有多麼棒！為什麼會這樣？部分的理由，是因為這本書很特別。在我做學生與當老師的這些年裡，我從來沒有讀過另外一本書，像波利亞這本書的書名所說的，教你怎麼樣解題。荀菲爾德（A. H. Schoenfeld）1987年在美國數學協會（MAA）的期刊發表的文章〈波利亞、解題與教育〉中，正確地描述出這本書的重要性：「在數學教育以及解題的世界裡，本書為兩個時期清楚地畫下了一條界線：波利亞之前的解題活動，與波利亞之後的解題活動。」

　　《怎樣解題》是有史以來最成功的數學書。從1945年首次出版以來，銷售已經超過百萬冊，並譯成十七種語言（編注：根據英文版出版社的資料，已經不只十七種了）。波利亞稍後還寫了兩本關於做數學研究這門藝術的書：《數學與猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）（1954）與《數學的發現》（Mathematical Discovery）（共兩卷，1962與1965）。

　　這本書的書名，讓它看起來好像只是一本為學生所寫的書，但是事實上，它寫給老師的內容，並沒有比較少。誠如波利亞自己在「前言」裡所說的，本書的第一部，大部分是站在老師的觀點來寫的。

　　不過，每個人都因此而獲益。如果是學生來讀這本書，將會「偷聽到」波利亞對書中那位事實上並不存在的老師所給的一些建議，彷彿身旁好像真的有這麼位好老師一樣。這就是我自己讀這本書的感覺，而且很自然地，在我幾年後開始教書時，我發現自己也不斷使用那些我認為重要的建議或意見。

　　然而一直到不久前，我有機會重讀此書，而且在讀完之後，我忽然了解到，這本書的價值比我以前所想像的還高！我自己是學生時，波利亞所給的許多意見，感覺並不太有幫助，然而，這些意見現在卻讓我變成一位比較好的老師，知道怎麼去幫助和我遭遇不一樣問題的人。

　　顯然，波利亞教過的學生比我多，而他也一直很努力地在思考，在數學的學習上，怎麼樣才能對學生最有幫助。也許，他最重要的觀點是：學習必須是「主動的」。誠如他在某一堂課裡提到的：「數學，不是一門讓人用來觀賞的活動。所謂的『了解』數學，意思是要有能力去『做』數學。什麼叫作（有能力）『做』數學呢？它的第一個意義就是：有能力去解決一個數學問題。」

　　我們常說，若要教好某個科目，教的人懂得的「至少得跟他的學生一樣多」。對教數學來說，有一個很弔詭的事實就是：老師還得知道學生可能會產生什麼樣的誤解！如果老師講述的內容，可以用兩種以上的方式來解讀，那麼必然會導致有些學生理解到其中一種，另外的學生各有體會，極好或極糟的情形皆有。

　　李特伍德（J. E. Littlewood）舉了兩個有趣的例子，說明我們可能不自覺地就對假設產生誤解。首先，他提到在藍姆（Lamb）的《力學》這本書裡，對座標軸的描述（「因為Ox與Oy是二維平面，所以Oz是垂直的」）是錯誤的，因為藍姆總是蹺著腳坐在椅子上工作！其次，藍姆要求他的讀者畫一條封閉曲線，讓它完全位於某條切線的一側，然後他說，總共只有四種主要不同的可能性（垂直切線的左方或右方，水平切線的上方或下方），而且在沒有圖形解說的情形下，他假定這條封閉曲線位於它的垂直切線的右方，而不知不覺地忽略了另外三種可能性。

　　因應這類假定的方法，我想不出有什麼建議比波利亞的更好：在試著解題之前，學生應該要能清楚、明確地展示出自己對問題的理解；最好是有位真實的老師在眼前，否則，也要自己想像有位老師在身旁。有經驗的數學家多半知道，數學研究最難的部分，往往就是不容易很明確地了解問題究竟在說些什麼。碰到這種狀況，他們通常也都遵循波利亞的建議：「如果你不能解決眼前的問題，試著從簡單一點的問題著手：把這個問題找出來。」

　　各位除了可以從這本書的內容學到東西之外，應該也會從作者波利亞的生平事蹟，得到很多啟示。

　　喬治‧波利亞（George Polya）於1887年12月13日生於匈牙利的布達佩斯。他出生時所取的名字是György Pólya，稍後才略去這些抑音符號。父親是Jakab Pólya，母親是Anna Deutsch。由於Jakab、Anna和他們的三個小孩（Jenő、Ilona和Flóra）於前一年放棄猶太教而改信天主教，所以喬治一出生就受洗為天主教徒。他們家的第五個小孩（László）則在四年後出生。

　　父親Jakab在喬治出生的五年前，把姓氏從Pollák改成聽起來比較像匈牙利文的Pólya，因為他認為，這樣有助於他在大學裡找到工作。他也的確謀得大學裡的教職，但他不幸於1897年突然逝世，所以只在大學裡服務了一段很短的時間。
小波利亞在中學時期，除了匈牙利文之外，還選讀了希臘文、拉丁文與德文。有點意外的是，他當時對數學並不特別感興趣，與他在文學、地理與其他科目的「傑出」表現相比，他在幾何學方面的表現只能算是「及格」而已。在文學之外，生物學則是他最喜歡的科目。

　　他於1905年就讀於布達佩斯大學（University of Budapest）法律系，不過，因為覺得很無聊，所以他很快就轉系了。之後，他取得了教師證書，可以在高中教授拉丁文與匈牙利文；雖然他從來沒有使用過這張教師證書，但這卻是他一直引以為傲的一件事。他之所以最後會學習數學，是因為他的指導教授亞歷桑德（Bernát Alexander）建議他，他應該選讀一些數學與物理的課程，以幫助他在哲學上的學習。後來他曾自嘲說：「我的物理不行，哲學又太好──數學剛好在它們中間。」

　　波利亞在布達佩斯大學的物理老師是厄特沃什（Eötvös），數學老師是費耶（Fejér）。1910至1911學年度，他前往維也納大學，受沃廷格（Wirtinger）和梅藤斯（Mertens）兩位老師指導，隨後回到布達佩斯，取得博士學位。隨後的兩年，他大都留在哥廷根；在那裡，他結識了許多數學家，例如：克萊因（Klein）、卡拉泰奧多里（Caratheodory）、希爾伯特（Hilbert）、龍格（Runge）、蘭道（Landau）、魏爾（Weyl）、庫朗（Courant）和托普利茨（Toeplitz）。

　　接下來的1914年，他到巴黎訪問研究，並與皮卡（Picard）與阿達瑪（Hadamard）逐漸熟識，並得悉胡維茲（Adolf Hurwitz）幫他在蘇黎士安排了一個工作機會。他接受了這個工作機會，並在稍後寫到：「我之所以會到蘇黎士，是為了能與胡維茲就近一起工作。從我於1914年抵達蘇黎士，一直到他辭世〔1919年〕之前，有六年的時間，我們有緊密的合作關係。我對他印象非常深刻，並編輯他的許多作品。」

　　當然，就在此時發生了第一次世界大戰。起初，這對波利亞沒有很大的影響，因為早期的足球運動傷害，他已經申請免除從軍，但是後來戰情吃緊，需要更多的新兵加入戰場，匈牙利政府曾要求他回國從軍，為國而戰。由於他強烈的和平主義觀點，因此拒絕了政府的要求，結果導致他有一段很長的時間被禁止回國；事實上，他一直到1976年才再次回到匈牙利，距離他離開祖國，已經54年了。

　　在這段期間，他入了瑞士國籍，並在1918年和瑞士女孩韋伯（Stella Vera Weber）小姐結婚。在1918和1919這兩年裡，他發表了許多篇的數學論文，涵蓋了許多不同的領域，例如：級數、數論、組合數學、投票表決系統、天文學，以及機率學等。他於1920年，升等為蘇黎士的瑞士聯邦理工學院（ETH）副教授。稍後幾年，他與澤果（Gábor Szegó）共同出版了《分析中的問題與定理》（Problems and Theorems in Analysis），在亞歷山德森（G. L. Alexanderson）和藍格（L. H. Lange）悼念波利亞而寫的傳記中，把此書描述為「確立他們大師級地位的數學傑作」。

　　這本書於1925年問世。之後，波利亞得到洛克斐勒獎學金（Rockefeller Fellowship）並轉往英國工作，在那裡，他與哈地（G. H. Hardy）和李特伍德（J. E. Littlewood）共同合作，成果就是稍後出版的《不等式》（Inequalities，劍橋大學出版社1936年出版）。他利用第二次的洛克斐勒獎學金，於1933年前往普林斯頓大學訪問，當他還在美國的時候，應布利區費爾德（H. F. Blichfeldt）之邀，也到史丹福大學訪問；他非常喜愛史丹福，而史丹福最後也成了他的家。從1943年起，他獲聘為史丹福大學的教授，一直到1953年退休為止，但他繼續授課到1978年，開的最後一門課是組合數學。他於1985年9月7日逝世，享年97歲。

　　有些讀者可能會希望知道波利亞在數學上的貢獻。他大部分的貢獻都與分析學有關，但都是非常專門的數學研究，不在數學領域裡的社會大眾，可能難以理解，不過，有些貢獻還是值得在此一提。

　　在機率理論裡，現在已經是公定用語的「中央極限定理」（Central Limit Theorem），就是波利亞的貢獻。此外，他也證明出機率測度的傅立葉變換是一個特徵函數，以及證明了在整數晶格中隨機漫步（random walk）的機率接近1，若且唯若其維度的最大值為2。

　　在幾何學上，波利亞獨立地再次列舉出17個平面結晶體群（crystallographic groups）；首次完成這項工作的人是費多羅夫（E. S. Fedorov），但他的研究工作已經失傳。波利亞還與尼格利（P. Niggli）合作，發展出這些結晶體群的記法。

　　在組合數學裡，波利亞的計數定理（Enumeration Theorem）現在已經成為根據對稱性來計數構形的標準方法。里德（R. C. Read）曾把這個方法描述成「一篇非凡論文中的一個非凡定理，也是組合分析（combinatorial analysis）歷史上的重要里程碑」。

　　《怎樣解題》是波利亞還在蘇黎士的最後一年（1940年），以德文寫成的。稍後，由於歐洲的情況，他被迫遷往美國。雖然事後證明這本書非常成功，但是在普林斯頓大學出版社於1945年出版它的英文版之前，曾遭到四家出版社的拒絕。透過普林斯頓大學出版社，《怎樣解題》迅速且持續地成為有史以來最成功的數學書籍。
 
英文版初版序

　　大發現解決大問題，然而，並不是只有大發現才有存在的價值；每一個問題的解答，都需要有某個「發現」才行。你所面臨的也許只是個小問題，但是如果它能引起你的好奇心，引發你的創造力，而且，如果你是用自己的方法來解決這個問題的，那麼，你一樣會經歷到發現過程中的緊張情緒，以及享受到最後那份「勝利」的喜悅與興奮。這一類的經驗，也許會讓年輕人培養出智性上的品味，甚至烙印在心裡，成為陪伴終生的一種性格。

　　因此，數學老師也就掌握了大好良機。如果他（她）在教學過程中總是讓學生不斷做些機械性的計算，那無異於扼殺了學生的興趣，阻礙了學生的智能發展，同時浪費了大好良機。但是，如果他（她）能夠掌握良機，刺激學生的好奇心，能夠因材「出題」，刺激學生思考，協助他們解決問題，如此一來，也許就能夠讓學生培養出獨立思考的愛好，也學會獨立思考的方法。

　　如果大專院校的學生選修的學科還包括數學的話，可以說他們掌握了一個獨特的機會。然而，學生如果將數學單純視為修滿畢業學分所需的一門學科，只要通過期末測驗就可以立刻把所學拋到腦後、忘得乾乾淨淨的話，那當然可說是坐失良機了。就算學生在數理上頗具天分，機會還是可能從指尖溜走，因為這些天賦異稟的學生也跟其他人一樣，必須花點功夫探索自己的天分，培養自己的興趣。想想看，如果沒嚐過覆盆子派，哪裡會知道自己喜不喜歡呢？

　　然而，學生最後可能還是會發現，數學問題也許就像填字遊戲一樣好玩，他們還可能發現解數學題時的心智活動，也可以像一場勢均力敵的網球賽一樣讓人嚮往。學生一旦嚐過了數學的愉悅之處，就很難再忘記，而這樣一來，數學就有機會在他們的生命中占有一席之地，成為他們的嗜好、未來從事專業工作時必需的工具、成為他們的專業，或幻化成他們的抱負。

　　筆者還記得自己的學生時代稱得上是一個有理想、有抱負的有為青年，對於數學與物理相關知識，有強烈的求知慾。他上課聽講、也多方閱讀，試圖廣納老師所教以及書本上的知識，但是有個問題卻一再困擾著他。「嗯，沒錯，這樣解題似乎行得通，看起來是正確的答案，看起來也像是事實；但是這樣的解或事實是怎麼發現的？我要怎麼樣才能夠創造這些？就算不能創造，至少能夠自己發現這些解法？」

　　多年後的今天，筆者於大學任教，專門教授數學；他也希望自己的眾多學生中，能有一些積極進取的學生提出雷同的問題，而他則盡量滿足他們的好奇心。他不僅試圖了解各種各樣問題的解答，還希望能了解這些解答背後的動機和過程；他還試著解釋這些動機和過程讓他人了解，而這也是促成他完成這本書的原因。他希望本書能夠為每一位想要培養學生自行解決問題能力的老師，提供一些實用的知識，也為那些想要發展自我解題能力的學生，提供實際的幫助。

　　儘管筆者主要是以數學系師生的需求為本書的關注點，但實際上對於每一個關心發明及發現方法的人，這本書應該都能挑起大家閱讀的興趣。而這樣的人數量之多，可能完全出乎我們的意料，我們實在不應該未經思索就草率假設。填字遊戲和各種猜謎遊戲常見於報紙或雜誌上，這情形似乎顯示了人們也挺喜愛解答一些與日常生活不直接相關、不能帶來任何物質利益的問題。如果深究這種解題的欲望，我們也許能夠推測：人們內心深處應該是有更深切的好奇心，也急於了解問題解答的方法、動機及解題過程。

　　後面各章節可說刻意寫得十分精確，但是盡量用淺顯易懂的方式來寫，儘管寫得簡單，仍然根據了長期而嚴謹的解題方法研究為基礎。有些作者把這樣的研究稱為「啟發法」（heuristic），這種研究現今已經不再流行，但是由來已久，也許未來還會再領風騷呢。

　　在研究解題方法的過程中，我們察覺到數學的另一面。是的，數學有兩面，它不僅是嚴謹的歐幾里得學，還具有其他面向。以歐幾里得的方式所呈現的數學，看起來像是一門有系統的演繹科學；然而，發展中的數學，又像是一門實驗的歸納科學。這兩個觀點，其實都跟數學本身的歷史一樣久遠，不過，從某個角度來說，第二個觀點顯得比較新鮮一些，因為這種「創造數學的過程」，從來沒有這樣子呈現給學生、老師或社會大眾。

　　「啟發法」所涵蓋的範圍，可說是五花八門；數學家、邏輯學家、心理學家、教育學家，甚至哲學家，都能在其中找到屬於他們的專精領域。筆者相當了解可能來自相反立場的批評，也很願意承認自己所知有限，在此只想說明一件事：他自己有一些解題的經驗，也有許多不同程度的數學授課經驗。

　　筆者也正致力於另外一本書，希望能對啟發法這門學問，作更進一步的探討。
第二版序

　　除了一些小修正之外，這一版主要新增了第四部「問題、提示與解答」。

　　就在本版即將付梓之際，一份由美國教育測驗服務社（ETS）所做的研究適切地指出一些現象（參考1956年6月18日的《時代》雜誌）：「……數學很『光榮地』成為學校課程中，最不受歡迎的一個科目……未來的老師在小學裡，學會怎麼討厭數學……長大之後，他們回到學校去，教導下一代該怎麼討厭數學。」對圈內人來說，這也許不是什麼新鮮事，但的確是該讓社會大眾知道的時候了。

　　我希望本書的這一版，能夠更為普及，也可以讓某些讀者了解到，學習數學，除了是為將來從事工程工作或學習科學知識預作準備之外，也可以是有趣的，還可以開啟高階心智活動的大門。