幹嘛學數學？（2019新版）

第6章　事情不一定是這樣的

不曉得招誰惹誰了，數學這領域居然匯集了很多錯誤的迷思和傳聞。這可能有兩個原因：首先，每個人幾乎每天都必須和一點點數學接觸；其次，大部分數學已經脫離我們的日常生活，停留在特殊符號與不可思議的領域之中。我們對一件事瞭解得愈少，就愈不容易發掘真相；特別是當我們對某件事的信仰基礎薄弱時，往往更加堅持己見，好像我們愈相信它，它就愈會是真的。

這一章將要來挖掘一些這類的數學迷思和誤傳，探討真相。

數學才能與遺傳基因有關？

「數學才能與基因有關」這個想法風行全世界，尤其在美國最流行。我從未看到任何事證支持這個想法。至於為什麼有些人數學學得比別人好，我反而可以提出一些解釋：因為他們有效率地運用時間，進行有組織的學習。一個正常的人若關掉電視，多注意課業細節並持之以恆，一定能學好數學。

我說的數學是指現存的這一類數學，而不是創造新數學。我之所以會有上述的結論，是因為我教過數千名大學生，並在各級學校長期擔任導師。每個人的身高、體重、髮色、種族、性別或國籍，都和學數學無關。這項觀察從幼稚園到博士生一律適用，甚至還可以延伸到踏入社會以後。

當然，有些數學家的小孩長大後也成為數學家，但這和所謂的遺傳基因無關。有些馬戲團的特技演員，兒子長大後也成為特技演員，可沒有人認為有什麼特技演員的遺傳基因。

數學裡沒什麼新鮮事，全是一些死東西？

很多人認為，所有的數學在幾世紀之前已經創造出來，並發揚光大了，現在學校裡教的只是這些老東西。 整數的十進制系統大約是西元600年由印度數學家發明的，1202年才由義大利數學家費布納西（Leonardo Fibonacci, 1170-1250）引入歐洲。至於我們現在用的十進制數字，即0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9這些符號，則是阿拉伯數學家在西元1000年左右發明的，大約在1600年傳入歐洲。

幾乎所有高中的幾何學，都出現在西元前300年左右、歐幾里得（Euclid, 約西元前330-260）所寫的書裡。而三角學大約是一千八百年前，由希臘的天文學家發展出來的。 負數與使用英文字母代表數字，則應回溯到十七世紀。甚至使用前面幾個英文字母a、b、c代表已知常數，而使用末幾個英文字母x、y、z代表未知數，大約也可以回溯到這麼久遠。

學生看到的絕大部分數學，從幼稚園的算術到高中以上的微積分，都是三百年以上的古董。但這並不意味它們已經陳舊無用了。相反的，它們都是進入數學殿堂的大門。教導或學習這些即使已發明了六百年的數學，沒什麼不妥，它仍然是大多數人需要的數學。我們常用的某些英文字是直接由拉丁文引用來的，例如item（項目）、exit（出口）、agenda（議程）、credit（信用），使用這些產生在二千年前的字，並沒有讓我們覺得有什麼不妥呀！

頂著桂冠的數學儘管歷史悠久，從文藝復興以來卻未曾間斷發展，迄今仍在持續成長中。事實上，目前仍算是數學的黃金歲月。為了讓大家瞭解數學研究的活力，我要引用幾個數字。每個月在學術期刊《數學評論》（Mathematical Reviews）上，大約有600頁的論文，而這些只是最新的純數學與應用數學研究論文的摘要而已。在一年裡，約有50,000件數學研究工作在默默進行。

雖然這些研究成果大部分都是短暫的，很少成為數學的永久部分，但有一定比例的研究工作會持續下去。要預測這些新研究有哪些會延續下來，哪些會消失無蹤，是不可能的。但有時候，以無比的睿智解決了一道有名的難題，或者重建了重要領域的基礎，或是在數學領域之外找到很有價值的應用，這些成就都不會很快被遺忘。還有些研究起初沒引起多大興趣，忽然成為新發現的基礎，立刻會鹹魚翻身變成大熱門。

數學家在30歲以後就走下坡了？

很多人認為數學家最重大的成就大多是在30歲以前完成的，過了30歲就開始走下坡了。這個迷思部分是來自兩個大數學家非常短命的印象，即挪威的埃布爾（Niels Abel, 1802-1829）和法國的伽洛瓦（Evarsite Golois, 1811-1832）。他們雖然都英年早逝，但兩人對數學的貢獻卻非常大。伽洛瓦可以說一手建立了現代的代數。

或許是受到這兩位數學家的影響，哈地（G. H. Hardy, 1877-1947）在《一個數學家的辯白》書中寫道：「數學家絕對不要忘記，比起其他的科學學門而言，數學是一種年輕人的事業。」 數學就像音樂、棋藝、網球、花式溜冰、游泳和體操一樣，青少年就可以做得很好。碰到15歲的數學天才，就像碰到14歲的網球好手或16歲的奧運體操選手一樣，不會有什麼不同的特殊印象。

法國作曲家比才（Bizet）在17歲時就完成他的Ｃ大調交響曲，德國作曲家孟德爾頌18歲就寫出「仲夏夜之夢序曲」，都不會令我特別驚異。這些成就依賴優異的天賦、熱情參與以及努力，但不需要對人生與人性有廣闊、深刻的認識。但若一個青少年能寫出深奧的戲劇或長篇小說，人物個性刻劃得非常深刻成熟，我就會覺得非常驚奇。因為創作出這樣的作品，對人性必須有很深的識見，而這只能靠許多年生活經驗的累積。

一個小孩是否有這種領先發揮才能的機會，通常是環境問題。舉例來說，埃布爾在15歲的時候，原先很粗暴的老師被換掉了，新老師是很有啟發性的數學家，悉心指導他閱讀數學書籍。沒有這種轉變，我懷疑數學史上可能不會有埃布爾這號人物。法國數學家貝特朗（Joseph Bertrand, 1822-1900）11歲就進了有名的綜合工科大學。這已經令人印象深刻了，如果你知道他的指導者是法國著名數學家杜亞美（J.C.M. Duhamel, 1797-1872），也是他的連襟，就會恍然大悟了。

此外，就算超過30歲，創造數學的才能也不一定會退化，例如： 懷爾斯（Andrew Wiles）在1994年、41歲的時候，經過了八年的努力，終於解決一道有三百年歷史的數學難題「費馬大定理」。 1976年，黑肯（Wolfgang Haken）48歲，阿培爾（Kenneth Appel）46歲，兩人合力解決了「四色問題」，這個問題自從1852年提出，百年來無人能證明。而這兩人證明了任何畫在紙上的地圖，若兩個靠在一起的國家要用不同顏色標示出來，最多只需要四種顏色就夠了。

1983年，德布蘭吉斯（Louis de Branges）52歲，證實了比伯巴哈（Bieberbach）在複數分析上的一項推測，這是1916年提出的問題。很多數學家都用錯方法證明這項推測，因此有個笑話流傳說：「比伯巴哈的推測不難證明，我自己就證過它十幾次了。」 很多數學家到了70歲甚至更老，還繼續做出第一流的工作。蓋爾范德（I. M. Gelfand, 1913-）是俄國數學家，一直到80餘歲還有很重要的貢獻。他很像義大利作曲家威爾第，在79歲時還創作出歌劇「福斯塔夫」，一般人認為這是他最好的作品。

身體健康、家庭幸福、儘量避免繁重的行政工作，可能是數學長期創造力的關鍵要素。我把「數學家一生中到底哪一段是最佳歲月？」以及「為什麼有些數學家終生都能維持創造力？」這兩個問題，留給歷史學家和心理學家去研究。

愛因斯坦小時候算術很差？

有人認為愛因斯坦是數學家，但其實他並不是。愛因斯坦並沒有創造出任何數學，只不過把既存的數學應用到物理宇宙而已。說他是「理論物理學家」或是「數學物理學家」更正確一些。 他算術很差嗎？不見得。相反的，他的算術其實很不錯。傳說他算術不好，其實是來自學校計分方式的改變。當他還是學生的時候，他們學校改變了以往的計分方法，因此原來還不錯的成績變得不太好。任何人如果只看愛因斯坦的成績單，而不瞭解這種計分法的改變，會認為他忽然之間喪失了數學能力。

沒有諾貝爾數學獎，是因為某個數學家和諾貝爾夫人有染？

傳說數學家米塔格累夫勒（Gosta Mittag-Leffler, 1846-1927）和諾貝爾的妻子有染，而他原本是諾貝爾數學獎的候選人。這個傳說投合了數學家的自尊（因為這麼重要的一門科學居然沒有諾貝爾獎來肯定），但有一點破綻，就是諾貝爾沒有結婚，當然他也沒有妻子。

換句話說，諾貝爾終身保持獨身。這就是此傳聞的真相。

可能是有個人開玩笑地講了個笑話，以後就傳開了。其實沒有證據顯示諾貝爾討厭米塔格累夫勒。 若因我揭露這些傳說的真相，而剝奪掉任何一位讀者對它們的喜愛，我深致歉意。我相信歷史事實很清楚地擺在那裡。 仔細閱讀歷史文件，包括當時的信件、日記等資料，是一種享受。在閱讀的時候，我覺得自己和過去的事實非常接近，沒有人梗在中間，就像我在處理數學的事件與原理一樣。

我想這就是為什麼有人會蒐集舊報紙，重演林肯和道格拉斯的辯論、或美國南北戰爭中的蓋茨堡（Gettysburg）戰役，觸摸投擲原子彈於廣島的那架轟炸機，或珍愛由柏林圍牆拆下的一塊水泥塊。他們想要繞過那些梗在他們與歷史之間的「一層又一層的歷史學家」。

想想看，我喜歡數學的原因，就和我喜歡自己直接探索歷史一樣。當一個定理寫在我書桌上的一張紙上時，它和我之間沒有任何阻隔。我們直接面對面接觸，沒有任何偽造的傳說跑出來，然後一直流傳下去。我看到的就是眼前的東西。在今天的社會裡，似乎任何事情都裹著一層外衣，與數學真實相待的經驗是非常稀有的。

摘自《幹嘛學數學？》第6章

第6章　事情不一定是這樣的

不曉得招誰惹誰了，數學這領域居然匯集了很多錯誤的迷思和傳聞。這可能有兩個原因：首先，每個人幾乎每天都必須和一點點數學接觸；其次，大部分數學已經脫離我們的日常生活，停留在特殊符號與不可思議的領域之中。我們對一件事瞭解得愈少，就愈不容易發掘真相；特別是當我們對某件事的信仰基礎薄弱時，往往更加堅持己見，好像我們愈相信它，它就愈會是真的。

這一章將要來挖掘一些這類的數學迷思和誤傳，探討真相。

數學才能與遺傳基因有關？

「數學才能與基因有關」這個想法風行全世界，尤其在美國最流行。...

閱讀指引
第一部　數學這玩意
第01章　數學的許多面貌──數學有點像諺語裡被三個瞎子摸來摸去的大象
第02章　冷數字的咒語──這類數字不會有嚴重的爭辯，卻能激起熾熱的感情
第03章　熱數字──涉及幾百億的法案時，熱數字往往是美麗說詞的關鍵
第04章　不要編個數字在我頭上──莫札特和愛因斯坦兩人，誰的ＩＱ比較高？
第05章　經驗 vs. 統計數字──問題不是沒有資料，而是沒有時間來好好消化這些資料
第06章　事情不一定是這樣的──不知招誰惹誰了，數學領域居然匯集了很多錯誤的傳聞
第07章　敏捷的白癡──當你很容易按鈕的時候，質疑的能力就逐漸喪失了
第08章　發明之母──那些能滿足好奇心的數學，後來也能有實際的用途
第09章　職業究竟是什麼？──沒有工作的人急著找工作，已有工作的人擔心失去工作
第10章　那裡面有哪些數學？數學能力愈強的人，就業機會愈多，也愈能把工作做好
第11章　行動症候群──從猶豫「我想我應該去做」，到很堅定的「我要去做」
第12章　所有改革都到哪裡去了──數學教改運動總是換湯不換藥，名字每十年就換一次
第13章　溫和的與直爽的建議──教室裡的氣氛這麼紊亂，學生作這些選擇可能是必要的
第二部　國民數學須知
第14章　怎麼讀數學──讀數學就像兩個人一來一往，互踢毽子
第15章　你永遠看不到一個大數──任何整數，就算它後面的0有1英里長，都算是小數目
第16章　汽車與兩隻山羊──然後你就會相信，自己能以數學方式來思考問題
第17章　兩數字之間的五種運算──它們全是由加法衍生出來的，至少對整數而言是如此
第18章　級數的總和──說到這裡，我們真應該感謝幾何級數的和是有限的
第19章　錢憑空而來──從最初這1,000元，可能創造出無限多的財富來嗎？
第20章　對於分數應該知道的事──如果你會整數的加減乘除，那麼分數的運算實在不難
第21章　每個數都是分數嗎？──1.414並不是2的平方根，因為1.414的平方是1.999396
第22章　直角三角形的三邊──中國數學家在畢氏之前一千年，可能已經證明過這定理
第23章　圓周率只是個小玩意？──π就像變魔術一樣，在數學領域裡到處出現
第24章　把方程式變成圖形──這一場代數與幾何的婚禮，是由笛卡兒與費馬撮合的
第25章　為什麼負負得正？──這裡面既不神祕也不深奧，我可以提出三種不同的解釋
第26章　無窮大也有大小之分？──問一個正確的問題，和發現正確的答案同樣重要
第三部　真理近了
第27章　0分之0──用一個小數目去除另一個小數目，什麼事都可能發生
第28章　曲線有多斜？──生意人想賺取最大利潤，就需要設法找出曲線的最高點
第29章　想辦法計算曲線下的面積──方法之一就是畫一排很窄的長方形，沿著曲線排列
30章求　得曲線下的面積──那是十七世紀由費馬做出來的，真的得到確切的面積了
第31章　圓與所有的奇數──在圓周率與所有奇數正整數之間，有種令人驚異的關聯
第32章　數學之美──讓數學自己把它的真實與美麗，展現給你們看

閱讀指引
第一部　數學這玩意
第01章　數學的許多面貌──數學有點像諺語裡被三個瞎子摸來摸去的大象
第02章　冷數字的咒語──這類數字不會有嚴重的爭辯，卻能激起熾熱的感情
第03章　熱數字──涉及幾百億的法案時，熱數字往往是美麗說詞的關鍵
第04章　不要編個數字在我頭上──莫札特和愛因斯坦兩人，誰的ＩＱ比較高？
第05章　經驗 vs. 統計數字──問題不是沒有資料，而是沒有時間來好好消化這些資料
第06章　事情不一定是這樣的──不知招誰惹誰了，數學領域居然匯集了很多錯誤的傳聞
第07章　敏捷的白癡──當你很容易按鈕...