讓數學說故事（1）：原來數與量、幾何這麼好玩

01 完美數的故事

小朋友，你一定知道什麼是整數、奇數、偶數、分數、小數、因數及倍數！那你有沒有聽過「完美數」？什麼樣的數字可以被稱為「完美」啊？請猜猜看⋯⋯
你是不是直覺地先想到6 呢？為什麼？
在東方華人社會中常常聽到六六大順，在西方則傳說上帝花了6 天的時間創造世界。所以「6」，它是個很好的數字。但是，從什麼時候開始被稱為完美呢？
「完美數」（Perfect Number）這個字詞，最早可以從大約二千五百年前說起，當時的古希臘有一個非常喜愛研究數學的團體，後世稱之為「畢達哥拉斯學派」，簡稱「畢氏學派」，領導人為著名的畢達哥拉斯。（小朋友，你們未來在國中就會學到以他為名的「畢氏定理」。）這個團體在研究數字的過程中，發現6 與它的因數間有著特別的關係，讓我們一起來看看吧！
如果某數剛好等於不含本身的所有因數和，則稱此數為「完美數」或「完全數」。
例如：6為完美數。因為6的因數是1、2、3、6，且1＋2＋3＝6。
例如：28為完美數。因為28的因數是1、2、4、7、14、28，且1＋2＋4＋7＋14＝28。
小朋友，你覺得這種數字與它的因數們之間的關係是不是很特別、很漂亮、很完美啊？

古代人們只發現了4 個完美數，分別是6、28、496及8128，他們仔細觀察這4個完美數，發現兩個特徵。第一個特徵：它們的個位數分別是6、8、6及8；第二個特徵：第1個完美數是一位數，第2個完美數是二位數，第3個完美數是三位數，第4個完美數是四位數。於是他們大膽猜測：
1 所有完美數的個位數一定是6或8，而且輪流出現。
2 因為第1個完美數是一位數；第2個完美數是二位數；第3個完美數是三位數；第4個完美數是四位數，所以依此類推，第n個完美數，一定是n位數。
一直到了1461年，第5個完美數才被發現，它是33550336。以後的人們持續的發現完美數。前10個完美數如表1-1所示。
小朋友，請你猜猜看古代畢氏學派對完美數的猜測正確嗎？
我們來檢查看看，所有完美數的個位數一定是6 或8，而且輪流出現嗎？第n個完美數一定是n位數嗎？
這個答案，相信你一定可以正確回答了！
目前我們人類已經找到了49個完美數，請問：「還有其他完美數嗎？」有興趣的小朋友，這些問題就交給你們來破解囉！

03 黃金比例的故事

小朋友，你有沒有聽人說過「哇！那位模特兒的身材比例真好！」，你知道他們說的比例是指什麼嗎？怎樣的比例才是最好、最美的呢？
很多人說符合「黃金比例」（Golden Ratio）的身材最美！那什麼是黃金比例？它跟黃金有關係嗎？首先，我們將某一線段分割成大、小兩段（如圖3-1所示），且大段長和小段長的比約為1.618：1，則此種分割方式稱為「黃金分割」（Golden Cut）。如果這三個線段的長度有以下比例的關係，則這種比例關係，我們稱為「黃金比例」。此比例以黃金命名是顯示它的珍貴性。

數學家們推斷，早從古希臘（約西元前6世紀）的畢達哥拉斯學派在研究正五邊形及正十邊形作圖法時，就已經掌握了黃金分割的概念，因為畢氏學派的標誌是五芒星（如圖3-2所示），而這個五芒星中隱藏了許多的黃金比例。歐幾里德（西元前3世紀左右）則正式將「黃金分割」的概念清楚陳述在其著作《幾何原本》中。其後，陸續有人稱此比例為「中末比」、「神的比例」、「神聖比例」、「0.618 法」⋯⋯等。

有了這個最美比例的概念，人們開始將它應用到各個領域中，像是建築、繪畫、雕塑、音樂、⋯⋯等。
認識黃金比例後，一定還要知道有一種神奇的數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、⋯⋯，它是由一位義大利數學家費波納奇（Fibonacci）在研究仙人掌的生長秩序時發現的。
有什麼神奇之處呢？原來自然界早就存在此數學規律，只看你察覺得到嗎？例如：大多數的花朵的花瓣數目是此數列中的數字，百合花3瓣、梅花5瓣、飛燕草8瓣、孤挺花13瓣、向日葵21瓣或34瓣；松果的生長螺紋有左旋及右旋兩組螺線，他們的螺線數分別是8道及13道（如圖3-3所示）；雛菊花蕊及向日葵花蕊的左旋螺線與右旋螺線的數目21、34及34、55，也都是費波納奇數列中的數字。
此數列與黃金比例有什麼關係呢？請觀察數列越後面的數字，當我們任意選取相鄰兩數字，你將發現它們的比會越靠近黃金比例（例如 34：55＝1：1.61764706），小朋友，這是不是很神奇啊？

05 閏年的故事

小朋友，你知道目前我們所用的曆法是怎麼來的嗎？你知道平年、閏年是什麼嗎？古時候的人們所用的曆法跟我們一樣嗎?
關於曆法，最早要從距今約6000多年前的古埃及說起，古埃及氣候炎熱、雨水稀少，尼羅河每年的氾濫雖造成地界需要重畫，但氾濫後所帶來的肥沃淤泥卻是古埃及農人每年所期待的。透過觀察與紀錄，古埃及人發現尼羅河每次氾濫大約相隔365天，當尼羅河的潮頭來到今天的開羅附近時，天狼星與太陽會同時從地平線升起，於是，古埃及人便把一年定為365，把天狼星與太陽同時升起的那天定為元旦，當時將一年分為12個月，每個月有30天，年終加上5個節日，成為最早的太陽曆。
到了西元前46年，古羅馬的凱薩大帝以古埃及的太陽曆為基礎，重新制定曆法，新的曆法開始有平年（365天）及閏年（366天）之分，每四年有一個閏年，因為凱薩出生於7月，認為帝王出生的月份應為大月，所以定單月31 天，雙月30天，只有2月例外，平年29天，閏年時30天。為何選2月成為最少天數的月份呢？因為古羅馬執行死刑的月份為2月，希望此不吉利的月份有最少天數。
之後繼位的奧古斯都，其生日在8月，豈能視自己出生的月份為小月，於是將2月抽出1天放至8月，使8月成為大月31天。其後的9 到12月，這4個月份的天數就大小月對調，而2月的平年、閏年天數也就改為28天及29天，修改過後的曆法就成為目前世界上通用的曆法了。

01 完美數的故事

小朋友，你一定知道什麼是整數、奇數、偶數、分數、小數、因數及倍數！那你有沒有聽過「完美數」？什麼樣的數字可以被稱為「完美」啊？請猜猜看⋯⋯
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在東方華人社會中常常聽到六六大順，在西方則傳說上帝花了6 天的時間創造世界。所以「6」，它是個很好的數字。但是，從什麼時候開始被稱為完美呢？
「完美數」（Perfect Number）這個字詞，最早可以從大約二千五百年前說起，當時的古希臘有一個非常喜愛研究數學的團體，後世稱之為「畢達哥拉斯學派」，簡稱「畢氏學派」，領導人為...

數與量

01 完美數的故事
02 天干地支的算法
03 黃金比例的故事
04 雞兔同籠的故事
05 閏年的故事
06 質數的故事
07 分數表示法的起源
08 韓信點兵的故事（上）
09 韓信點兵的故事（中）
10 韓信點兵的故事（下）
11 曹沖秤象
12 阿基米德與皇冠的故事

幾何

13 圓周率π的故事
14 七巧板的故事
15 世界上最大的角錐體在哪裡
16 直角三角形的故事（畢氏定理）
17 圓周角是360度的故事
18 一筆畫問題
19 鑽石比例的故事
20 索瑪立方塊的故事

參考解答
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數與量

01 完美數的故事
02 天干地支的算法
03 黃金比例的故事
04 雞兔同籠的故事
05 閏年的故事
06 質數的故事
07 分數表示法的起源
08 韓信點兵的故事（上）
09 韓信點兵的故事（中）
10 韓信點兵的故事（下）
11 曹沖秤象
12 阿基米德與皇冠的故事

幾何

13 圓周率π的故事
14 七巧板的故事
15 世界上最大的角錐體在哪裡
16 直角三角形的故事（畢氏定理）
17 圓周角是360度的故事
18 一筆畫問題
19 鑽石比例的故事
20 索瑪立方塊的故事

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