21 機率論誕生的故事(上)
小朋友,當你聽到天氣預報說:「明天下雨機率90%。」這表示下雨的可能性很高,若不想淋成落湯雞的話,相信你一定會帶雨具出門。當你聽到某一玩具店將舉辦摸彩活動,活動獎品正是你喜愛的玩具,且獲獎機率很高,相信你一定不會錯過。
機率在我們生活中隨處可見,亦常是我們要作某些選擇或決策時的參考依據。但你知道最早「機率論」這個數學的分支是如何誕生的嗎?它不是為了解決農夫田地劃分的問題,也不是為了解決買賣交易問題,而是為了幫賭徒解決一個賭金分配的問題。這個賭徒可不是一般的賭徒,是個有錢的貴族,有錢有人脈,才能請到優秀的數學家幫他想答案。
故事發生在17世紀中葉,當時的歐洲貴族間盛行賭博,擲骰子是他們常用的一種賭博方式。一天,一位法國貴族梅雷與另一位對賭,他們各自拿出32枚金幣當賭注,也分別選了「6」及「4」代表自己,接著輪流擲一顆骰子。如果梅雷擲出「6」可得1分,另一位則是擲出「4」得1分,誰最先得到10分,誰就可獲得所有的賭金。
賭博進行一段時間後,梅雷突然接到通知,需要立即進宮陪同國王接見外賓,賭局被
迫停止。此時,梅雷已得8分,另一位得7分,當要處理賭金問題時,有人說一人一半,梅雷不同意,梅雷覺得他快贏了,應該要全拿;另一位也不同意,覺得自己只落後一次,若繼續,可能會反敗為勝。小朋友,如果你在現場,你會給什麼建議?到底該如何分配賭金才公平呢?
後來梅雷將此問題請教他的數學家朋友巴斯卡(Blaise Pascal,西元1623-1662
年),巴斯卡對此問題非常有興趣,立即展開研究。同時也寫信給住在法國南部的另
一位數學家費馬(Pierre de Fermat,西元1601-1665年),以通信的方式討論此問
題。最後得到的結論是梅雷與賭友贏得此賭局的機率比為11:5,所以應該按照此比
例來分配賭金。(兩位數學家詳細的解決方法將在「機率論誕生的故事(下)」中
介紹)
在這個事件發生之後,人們公認這兩位數學家為「機率論」的創始人,也將兩位開始通信討論此問題的那天(西元1654年7月29日),定為機率論的生日。
小朋友,聽了以上的故事,你曾經遇過或聽過哪些問題是可以用機率的方法解決的嗎?找個好朋友一起討論,你也可以成為有名的機率問題專家喔!
31吉普賽讀心術的祕密
小朋友,有沒有在電影裡看過占卜水晶球?通常是由一位長髮、包著頭巾的吉普賽女子,坐在昏暗神祕的房間內,透過一顆大大的水晶球為客人占卜算命(如圖31-1所示)。
網路上有一個網站(如圖31-2所示),出現一個可以讀心的藍色水晶球!只要你內心選定一個二位數(例如23),再減去此二位數的兩個數字和(2+3=5),也就是23-5=18,請你從圖31-2右方的「數字與符號對應表」找到計算後的數字(18)所對應的符號。記起來!然後移動滑鼠,按此藍色水晶球,在發出一個魔法聲後,水晶球上即會顯現你
剛記住的符號,多試幾次,只要你的加減計算無誤,水晶球中央都會顯現你計算後,所得數字的對應符號。
小朋友,有沒有覺得很神奇?水晶球能讀到你心裡所想的符號。想不想了解這個占卜水晶球遊戲背後的祕密呢?
32數字讀心板
小朋友,上次我們了解了吉普賽讀心術的祕密,今天想跟小朋友玩一個「數字讀心板」的遊戲。遊戲規則是:
1. 從1 ~ 30 選出一個數字。
2. 從下面五張數字讀心板(A、B、C、D、E)中尋找你選出的數字。
3. 有出現該數字的讀心板請打勾。(小心不能漏找⋯⋯)
勾完後,如何讀出你心裡所想的數字呢?
首先,將英文字母用數字取代,A = 1,B = 2,C = 4,D = 8,E = 16,接著將所有勾選的字母,轉換為數字後相加,加總後的數字即為當初你所選的數字。小朋友,你自己先試試看,答案對嗎?例如:如果你在A、B、D、E 都有打勾,則你一開始選出的數字一定是27。(因為A + B + D + E = 1 + 2 + 8 + 16 = 27)
多試幾次!確定熟練後(小心不要計算錯誤),自己在白紙上畫出這五張數字表。
拿去跟爸爸媽媽、兄弟姊妹等家人玩玩看,再去學校找同學玩玩。讓他們驚訝你竟然
能猜出他們心裡所想的數字,這種厲害的感覺一定很棒!
好玩之後,想不想知道這個「數字讀心板」背後的祕密?請你跟著我們完成以下問題,你就會知道其中的規律性。等上國中,介紹到二進位的概念時,你將會更清楚這個遊戲與此概念的關聯性。
34巴斯卡三角形(上)
小朋友,還記得之前我們介紹過解決賭徒問題,同時也是機率論創始人之一的巴斯卡(Blaise Pascal,西元1623-1662 年)嗎?本篇我們來介紹他最有名的發現,這個發現還是以他的名字來命名的喔!
首先,我們先來介紹一下巴斯卡的小故事。巴斯卡小時候身體虛弱,3歲時母親過世,雖然父親是位數學愛好者,擁有許多數學相關的藏書,但認為學習數學會消耗大量腦力,擔心巴斯卡的身體負荷不了,所以從小只讓他學習歷史及文學,並將所有的數學書籍都藏起來,預計等巴斯卡15、16歲時再拿出來讓他學習。
巴斯卡12 歲時,一次偶然的機會看到父親正在閱讀幾何的書籍,詢問父親什麼是幾何學?它有什麼用處呢?父親簡單的向他介紹三角形、正方形及圓形的性質,並說它的用處是可以幫助人們畫出正確、美麗的圖形。之後,巴斯卡自己不斷的畫出許多大大小小、不同邊長、不同特色的三角形,並告訴父親他的發現:「任何一個三角形的三個內角和是兩個直角和」,這就是我們所熟知的任意三角形的三內角和為180度。巴斯卡的父親聽完兒子的發現後,流下了感動的眼淚。他驚喜巴斯卡竟然能自己獨立做幾何學研究,於是提早搬出了歐幾里德所著的《幾何原本》讓其研讀。幾週後,巴斯卡就貫通全書,開始了他的數學研究之旅。
隔年(1636年)的某一天,想玩數字遊戲的巴斯卡在白紙上先寫一橫排的1,1,1,⋯⋯(第一列),又在左邊寫一直排的1,1,1,⋯⋯(第一行),接著寫第二橫排(第二列),寫下2, 3, 4, 5, 6, 7⋯⋯。看著紙上的數字,巴斯卡想:「接著可以寫什麼數
字呢?」他發現2 是「左邊的1」加「上面的1」,3是「左邊的2」加「上面的1」,依此類推,可以得到整個第二列的數字。所以,他想第三列是不是也可以用同樣的方式,拿「左邊的數字」加「上方的數字」而依序得出3,6,10,⋯⋯。接著繼續以此方法寫出第四、五、⋯⋯列的數字(如圖34-1所示)。這也就是巴斯卡三角形的雛形。