楊維哲高中資優數學講義之二：代數（3版）

附錄一：代數學的故事
朋友，你學過代數吧！那麼，請你說說看，代數學在學些什麼？解方程式？對了！不過，也許你要說，那是「中學代數」嘛，人家「大學代數」學的可是什麼「群」啦、「環」啦、「體」啦，一些玄而又玄的東西，哪裡是解方程式呢？不錯，群、環、體等抽象的代數系統，地卻是近世代數所研究的對象，不過當初引進這些觀念，莫不是為了要有系統地處理方程式問題。如果我們說，代數史就是解方程式的歷史，也不為過。現在讓我們來回顧一下代數發展的歷史吧！
今日的代數學並不是無中生有，從天而降的，他是有其歷史淵源；抽象化和公理化的處理，並不是無謂的符號遊戲，而是為了要提煉和整理一些具體的成果，以期能應用於更廣的領域，這是我們所要特別強調的。
二次方程式已解之
早在數千年前，土巴比倫人和埃及人，即已著手於代數學的探索。雖然他們解決代數問題的方法，早已湮沒不彰，但是，很明顯的，從他們那高度發展的文明所帶來的種種成就，可以看出他們對很多的代數技巧相當熟習。譬如說，規劃那些規模宏大的建築，處理浩瀚的天文資料，以及推算各種曆法等，在在都必須知道解一次和二次芳成的實際知識才行。巴比倫人和埃及人的數學，具有一個共同特色，那就是「經驗主義」：一些計算法則，似乎都是由經驗得來。

附錄一：代數學的故事
朋友，你學過代數吧！那麼，請你說說看，代數學在學些什麼？解方程式？對了！不過，也許你要說，那是「中學代數」嘛，人家「大學代數」學的可是什麼「群」啦、「環」啦、「體」啦，一些玄而又玄的東西，哪裡是解方程式呢？不錯，群、環、體等抽象的代數系統，地卻是近世代數所研究的對象，不過當初引進這些觀念，莫不是為了要有系統地處理方程式問題。如果我們說，代數史就是解方程式的歷史，也不為過。現在讓我們來回顧一下代數發展的歷史吧！
今日的代數學並不是無中生有，從天而降的，他是有其歷史淵...

第零章　初中代數的複習
§01 二次方程式
§02 虛根
§03 聯立一次方程的定準法
§04 幾個常用的公式
§05 帶餘除法原理

第一章　餘數定理
§11 體上的多項式
§12 帶餘除法
§13 質因式分解
§14 餘數定理
§15 共軛原理
§16 有理函數的分項分式
§17 因式定理與方程式

第二章　對稱式
§21 奇函數與偶函數
§22 交錯式與對稱式
§23 輪換式
§24 Vieta 與Pascal 定理
§25 Newton 定理
§26 Vieta 定理的應用
§27 諸根之初等變換
§28 較高等的變換
§29 自逆方程

第三章　實係數方程式之實根
§31 實函數之連續性
§32 笛卡爾符號律
§33 勘根法（Horner）

第四章　方程式之複根
§41 複數之絕對值與輻角
§42 Euler 的虛指數函數
§43 DeMoivre 公式與割圓方程式
§44 Cardano 方法
§45 四次方程式
§46 規矩的割圓

第五章　導來式與根本定理
§51 微導
§52 Taylor 展式
§53 極限
§54 曲線的漸近線
§55 導數的意義
§56 平均變化率定理
§57 Sturm 定理
§58 根本定理之證明
附錄一　李白飛：代數學的故事
附錄二　M.Kac：我如何成為一位數學家？(蔡聰明譯)

第六章　遞迴與點算
§61 歸納與遞迴
§62 乘法原理：排列
§63 除(乘)法原理：組合
§64 引伸
§65 Pascal 二項式定理
§66 差和分法基本定理
§67 一種鏡射原則

第七章　向量與定準
§71 Gibbs 的算術
§72 內外積的幾何意義
§73 定準：置換的奇偶性
§74 定準式的雜題
§75 方陣與定準的乘法
§76 餘逆與消去
§77 滑移與扣消

第八章　指數與對數
§81 分數指數
§82 對數
§83 對數概念的應用
§84 指數函數的伸縮與平移
§85 離散與連續
§86 等比數列
§87 利率

第九章　機率
§91 頻度分布
§92 分布之代表值與參差度
§93 Markov 與Chebyshev 不等式
§94 兩變量記述統計
§95 機率與頻度
§96 條件機率
§97 連續機率與頻度
§98 資訊

習題簡答
記號索引與解說
索引

第零章　初中代數的複習
§01 二次方程式
§02 虛根
§03 聯立一次方程的定準法
§04 幾個常用的公式
§05 帶餘除法原理

第一章　餘數定理
§11 體上的多項式
§12 帶餘除法
§13 質因式分解
§14 餘數定理
§15 共軛原理
§16 有理函數的分項分式
§17 因式定理與方程式

第二章　對稱式
§21 奇函數與偶函數
§22 交錯式與對稱式
§23 輪換式
§24 Vieta 與Pascal 定理
§25 Newton 定理
§26 Vieta 定理的應用
§27 諸根之初等變換
§28 較高等的變換
§29 自逆方程

第三章　實係數方程式之實根
§31 實...