楊維哲教授的數學講堂：簡單整數論(2版)

Chapter １ 預備
1.1 幾個公式
1.2 記號

Chapter ２ 多角形數
2.1 梯形原理
2.2 多角形數
2.3 堆垛數
2.4 歸納法

Chapter３ 因數與倍數
3.1 自然數系中的因數與倍數
3.2 整數系中的因數與倍數
3.3 整組合定理
3.4 九餘法與十一餘法
3.5 一些代數

Chapter ４ 數論中的原子論
4.1 化學的素樸的原子論
4.2 數論裡的原子論
4.3 乘法可換可締
4.4 算術基本定理
4.5 因數的個數
4.6 質因數補題
4.7 質數無限多
4.8 Eratosthenes

Chapter ５ 公因數與公倍數
5.1 最高公因數：遞推
5.2 最低公倍數
5.3 日曆

Chapter ６ 輾轉相除法
6.1 數與量
6.2 進位制
6.3 帶餘除法
6.4 輾轉相除法
6.5 兩個度量問題
6.6 輾轉互度法
6.7 不可共度

Chapter ７ 畢氏與歐氏
7.1 教祖
7.2 是無理數
7.3 黃金分割
7.4 歐氏折磨
附錄：歐氏折磨與Fibonacci數列

Chapter ８ 埃及連分數
8.1 單元分數
8.2 整數線性組合
8.3 連分數
8.4 無限埃及連分數

Chapter ９ 進位制
9.1 從十進位制談起
9.2 二進位制
9.3 其他進位制
9.4 進位制與運算
9.5 數學遊戲

Chapter 10 一些不定方程式
10.1 二元一次不定方程
10.2 二元高次不定方程
10.3 勾股數（Pythagoras數）

Chapter 11 一些同餘式
11.1 同餘
11.2 一次同餘式
11.3 多元的情形
11.4 孫子定理：Lagrange方法
11.5 Newton的方法
11.6 同餘的除法與倒逆
11.7 循環小數

Chapter 12 ermat-Euler點滴
12.1 Fermat小定理
12.2 成對原理
12.3 Euler-Fermat的小定理
12.4 Euler互質類數函數
12.5 幾個算術函數的乘性
12.6 Euclid-Euler序列
12.7 乘性函數的累和
12.8 插值原理

Chapter 13 整數論中的對數
13.1 指階數
13.2 對於質數的原始根
13.3 法餘對數

Chapter 14 平方餘數
14.1 Legendre記號
14.2 互逆律
14.3 其他的平方剩餘
14.4 平方和問題

Chapter 15 整數與整式
15.1 數與式
15.2 hcf
15.3 因式定理
15.4 質因式分解
15.5 既約多項式

Chapter 16 集合與映射
16.1 集合
16.2 兩集的種種運作
16.3 映射
16.4 列
16.5 多變元映射
16.6 商集

Chapter 17 代數體系
17.1 有序體
17.2 環與分配系
17.3 半群
17.4 群
17.5 體系的同態與同構
17.6 Möbius反轉公式

Chapter 18 系統N,Z,Zm
18.1 加法半群的子系
18.2 加法半群的商系
18.3 加法群的子系
18.4 加法群的商系
18.5 有限可換群
18.6 環Zm
18.7 法可逆群與原始根

 

PREFACE 序言

　　這本書分成上中下三部分，終於問世的主要理由是在「上部」（當然也就是主部），「最最簡單的整數論—給初中資優生的」。

　　對於資優教育，我一向主張採取一個簡單可行的方案；養成獨立學習的習慣、態度！我相信這是一切教育的要點（資不資優，都不重要！）。不論是何種研習營，不拘長短（兩足天、或五天、或十三天、或兩月），如果讓我掌理教務，我一定堅持這個做法：指定（或者編好）一個教材，讓他們閱讀、思考、習作；我以及一些別的老師和助教，會穿插巡迴，個別地加以指導，或者，叫大家暫停，聽我的演講（如果我們發現這個題目或概念是他們共同的困難所在）。這本書的大半，就是這樣子的教材。

　　最初等的整數論是非常好的題材，這是絕無可疑的了：題材本身有趣，非常容易理解，與許多代數有關聯！

　　這本書的主部（1—11章）曾經有三次的版本與試用。

　　最先是在1983年，和平國中的數學班，他們的數學老師是陳文隆，教正課；我的課外講演，每週兩節，除了陳君之外，尤其有姚多老師的幫助，她的完美的記錄，給我非常大的方便！我的演講，絕對是第一流的（即使是，或者說尤其是，面對初一生），永遠是impromptu！但正因為如此，我毫無可能在講完之後加以整理，我非常感謝她！

　　其次是在一次初三生的三天研習營，記得是在劍潭的中國青年反共救國團的活動中心；這時候強調自習；受我之託擔任助教的三人之中，記得有柏中！我已經忘掉：當時的反共救國團是算做「國的」（因為，照規定，高一入學

　　時，學生就已經自動入團，教育部長必定是反共救國團副主任），或者是黨的，（因為蔣主任的意思也許是要扶植孝武而非馬錦濤為主任？）（現在想來有點撫今傷昔：如果把「反共」改為「媚共」，數學上只是「乘以負一」；那些學生很會類推（analogy）（因為類推是學習的重點！），他們馬上說：如果把「救國」改為「賣國」，數學上只是「乘以負一」！但是signum函數，可以有三個值，1, 1, 0？正確的類推是：「如果把『反共』拿掉，數學上只是『乘以零』！」）

　　最後一次，就是在濱江國中的這個寒假研習營；一樣是只有三天；我曾經思考過用初等幾何做題材，但覺得勝算稍遜，還是選擇這個「最最簡單的整數論」做主題；我請濱江的老師們（李青憲、郭盈瑜、陳建豪）整本先讀過一遍，然後幫我擬定教學戰略：哪些習題該做？在何處插入適宜的思考題？何處插入遊戲？

　　我們的結論是：

　　是初一，純粹的自習也有點困難！所以還是以演講為主。

　　不需要講太多，留一些他們能夠而且應該自行閱讀思考的題材！

　　講一些故事，多要他們做一些遊戲！

　　旨是：希望能夠鼓舞一些數學熱誠！那麼在寒假中，他們可以想很多的數學！

　　濱江的蘇萍校長、李世宏教務主任與李玉華輔導主任，全力的支持，籌備工作做得很好！而在三天的研習中，李君、郭君又認真擔任助教！所以研習營非常成功！我應該順便謝謝她們！

　　現在這本薄書的主部（但是刪掉一些例解），就是濱江此次發給研習營學生的講義。除了（主）上部之外，中下兩部分當然是補充。假定的學生程度高一點！意思是這兩部分，可以做為完整的中學生的整數論。我回想起小時候，在台中一中，閱讀（漢譯）Weber的數學（小）全書第一冊（算術）的情形！從初一到高三，幾乎年年借！（至今想來，鄭太朴的譯文不算太好！）我希望這本書對於我國的小孩可以發揮更好的效能！

　　接下來12—15四章是「中部」，主要是知識的補充，包括：Euler-Fermat的一些算術函數，法餘的對數（對於一個原始根），平方餘數（與互逆律），然後有整數與整式的類比，這是由算術導向代數。

　　然後我試著做更「代數的」解說，這就是下部16—18三章，包括集合與映射，代數體系，第十八章, ，以題為「中學生的整數論」來說，這是可有可無的部分！但是對於許多優秀的學生來說，一定會覺得這部分是簡易、有趣，而且有刺激的。