國小數學思考與推理【五年級】：50道生活化趣味化的建構反應題，強化小學生的數學素養及促進學習

2 數字卡遊戲

欣欣和恬恬玩猜數字卡遊戲，他們準備了 1 到9 的數字卡各1張，欣欣拿了2張數字卡，欣欣說：「我拿的2張數字卡的數，都只有2個因數。」恬恬猜兩張數字卡是 3 和 5 ，欣欣說：「你一張猜對、一張猜錯。」欣欣拿到的數字卡可能是哪些數﹖寫出兩組數，並說明你判斷的方法。

欣欣拿到的數字卡可能是哪些數﹖

我判斷的方法：

教授的留言板
學童會在同一單元學習倍數、因數，通常因數是從「除式」來理解，當整數a除以b（b≠0）的商正好是整數而沒有餘數，稱b是a的因數，例如：18÷1＝18、18÷2＝9、18÷3＝6、18÷6＝3、18÷9＝2、18÷18＝1，所以整數18的因數有1、2、3、6、9、18。學童學習因數最大的困難是常常忘記「1」是任何整數的因數，還有該數的「本身」也是因數；初學因數是用列舉法，親師應
讓學童多觀察找因數的除式，因為a÷b＝c、a÷c=b，例如：……、18÷3=6、18÷6=3、……，這些除式有對稱規律，他們只需折半的除式，就能找到所有的因數。因數和倍數是相對的概念，例如：12是4的倍數、4就是12的因數，因為4×3＝12且12÷4＝3，可以寫成一個算式「12＝4×3」。當a、b、c為整數，「a=b×c」中a是b、c的倍數，b、c是a的因數，爾後親師可用a=b×c讓學童
找因數。

學童作答舉隅

正確例一
有4種可能
(1)2、3 (2)3、7 (3)2、5 (4)5、7
1到9的數，只有2個因數的是2、3、5、7
欣欣說一張猜對、一張猜錯
表示其中一張是3或5
對的那一張如果是3，可能是2、3，也可能是3、7
對的那一張如果是5，可能是2、5，也可能是5、7

作答說明
學童找出1～9中只有2個因數的數，再依題目的線索，找出所有可能的數。

正確例二
(A)可能是3、2，也可能是3、7
我先猜其中一個數是3
2的因數有1、2
4的因數有1、2、4
6的因數有1、2、3、6
7的因數有1、7
8的因數有1、2、4、8
9的因數有1、3、9
另一個數可能是2或7

(B)可能是5、2，也可能是5、7
我先猜其中一個數是5
2的因數有1、2
4的因數有1、2、4
6的因數有1、2、3、6
7的因數有1、7
8的因數有1、2、4、8
9的因數有1、3、9
另一個數可能是2或7

註：(A)、(B)表示不同學童的作答，以下同。

作答說明
學童依題目線索，選取其中一個數，再列舉出其他數的因數，找到兩組正確的數。

部分正確
可能是3、2，可能是3、5
我從1開始找只有2個因數的數
1的因數有1
2的因數有1、2
3的因數有1、3
4的因數有1、2、4
5的因數有1、5
2、3、5都只有2個因數

作答說明
學童用列舉的方法找出1～5只有2個因數的數有2、3、5，並找出兩組數，但忽略題目的訊息，未能完全正確回答問題。

回答錯誤一
可能是2，也可能是7
2有2個因數
7有2個因數

作答說明
學童知道2、7都只有2個因數，但忽略題目訊息，未能正確回答問題。

回答錯誤二
我猜可能是8、9 ，也可能是1、2
1到9的數
我選最大的2個數8、9
再選最小的2個數1、2

作答說明
學童可能不理解「只有2個因數」的意義，也未注意題目的訊息，只由1到9的數中找出2個最大和最小的數。

3 水蜜桃蛋塔

慧雪做了二十幾個水蜜桃蛋塔，他和妹妹各吃了1個後，將剩下的水蜜桃蛋塔平分成數包，每一包都有4個。慧雪可能做了幾個水蜜桃蛋塔﹖答案不只一個，寫下你的想法或作法。

慧雪可能做了幾個水蜜桃蛋塔﹖

我的想法或作法：

教授的留言板
學童處理這類包裝問題，扣掉多餘的部分，就是可以平分的數量。他們要從「每包幾個」推算出總量，可以從倍數、因數、除整的概念，來找出該範圍中符合條件的數。因為，因數和倍數是相對的概念，a=b×c中，a是b、c的倍數，b、c是a的因數；同時「b是a的因數」，表示a÷b＝c，這除式表示b能被a整除，「c是a的因數」，表示a÷c＝b，這除式表示c能被a整除，可見這倍數、因數、整除三者之間是息息相關。本題的設計就在瞭解學童是用什麼思維來解題?以及他們對建構反應題這種非例行性題型的掌握。當學童作答後，親師可透過討論，協助他們欣賞不同思路的多元解法，可以藉此分享來提升解題的靈活度。

學童作答舉隅

正確例一
慧雪做了22個或26個水蜜桃蛋塔
每包4個，總數會是4的倍數
4×5＝20
4×6＝24
4×7＝28
再加上吃掉的2個，就會是慧雪做的數量
20＋2＝22
24＋2＝26
28＋2＝30

作答說明
學童知道2個數之間的倍數關係，運用乘法及加法找出可能的正確數量。

正確例二
慧雪做了22個或26個水蜜桃蛋塔
慧雪可能做了20到29個蛋塔
吃掉2個後的數量可以被4整除
20－2＝18
29－2＝27
18÷4＝4…2
19÷4＝4…3
20÷4＝5
21÷4＝5…1
22÷4＝5…2
23÷4＝5…3
24÷4＝6
25÷4＝6…1
26÷4＝6…2
27÷4＝6…3
20、24能被4整除，再加上吃掉的數量，就是答案
20＋2＝22 24＋2＝26

作答說明
學童先找出可能數量的範圍，並找出能被4整除的數，再找出正確的數量。

回答錯誤一
慧雪做了20個水蜜桃蛋塔
4×5＝20

作答說明
學童知道兩數之間的倍數關係，但忽略題目的訊息，運用乘法算出一個錯誤的答案。

回答錯誤二
慧雪做了28個水蜜桃蛋塔
29÷4＝7…1
28÷4＝7

作答說明
學童知道數量是能被4整除的數，但忽略題目的訊息，運用除法找出一個錯誤的答案。

2 數字卡遊戲

欣欣和恬恬玩猜數字卡遊戲，他們準備了 1 到9 的數字卡各1張，欣欣拿了2張數字卡，欣欣說：「我拿的2張數字卡的數，都只有2個因數。」恬恬猜兩張數字卡是 3 和 5 ，欣欣說：「你一張猜對、一張猜錯。」欣欣拿到的數字卡可能是哪些數﹖寫出兩組數，並說明你判斷的方法。

欣欣拿到的數字卡可能是哪些數﹖

我判斷的方法：

教授的留言板
學童會在同一單元學習倍數、因數，通常因數是從「除式」來理解，當整數a除以b（b≠0）的商正好是整數而沒有餘數，稱b是a的因數，例如：18÷1＝18、18÷2＝9、18÷3＝6、18÷6＝3...

主題一 整數與概數
1. 選數字排一排
2. 數字卡遊戲
3. 水蜜桃蛋塔
4. 積木排排看
5. 剪出正方形紙卡
6. 找回多少元
7. 音樂影片的觀看次數
8. 更換電腦的費用
9. 猜數字遊戲
10. 定點投籃比賽
11. 便利商店的牛奶

主題二 分數與小數
12. 不同口味的水果酥
13. 剩下的提拉米蘇
14. 吃掉的鮮奶泡芙
15. 點心鋪的鮮蝦燒賣
16. 飲料店的牛奶冰沙
17. 檸檬水裡的蜂蜜
18. 分數大小比一比
19. 分到幾盒巧克力奶酥
20. 新臺幣兌換日圓
21. 賣出多少香草冰淇淋
22. 生日會的焦糖布丁

主題三 量與實測
23. 圓滿如意禮盒
24. 花園裡的天然草皮
25. 國家公園的面積
26. 阿健的大貨車
27. 點心鋪的和果子
28. 校慶的卡通影片
29. 彩色紙做的無蓋紙盒
30. 水族箱裡的金魚和烏龜

主題四 關係
31. 草莓園裡的草莓
32. 彩色聖誕小燈泡
33. 手工製作的小卡片

主題五 圖形與空間
34. 竹籤的選擇
35. 三角形的三個角
36. 圖形是不是平行四邊形
37. 小昕做的正方體
38. 不知名稱的柱體
39. 角柱角錐猜一猜
40. 藍色三角形蕾絲領巾
41. 彩繩圍成的梯形
42. 珊珊畫的圖形
43. 原味海綿蛋糕
44. 積木的體積
45. 不同顏色積木的表面積
46. 積木的堆疊
47. 安熙畫的圖形
48. 畫出指定的線對稱圖形

主題六 資料與不確定性
49. 熱可可的銷售量
50. 太陽的高度角

附錄一「整數與概數」各題之評量目標與對應各版本單元內容
附錄二「分數與小數」各題之評量目標與對應各版本單元內容
附錄三「量與實測」各題之評量目標與對應各版本單元內容
附錄四「關係」各題之評量目標與對應各版本單元內容
附錄五「圖形與空間」各題之評量目標與對應各版本單元內容
附錄六「資料與不確定性」各題之評量目標與對應各版本單元內容

主題一 整數與概數
1. 選數字排一排
2. 數字卡遊戲
3. 水蜜桃蛋塔
4. 積木排排看
5. 剪出正方形紙卡
6. 找回多少元
7. 音樂影片的觀看次數
8. 更換電腦的費用
9. 猜數字遊戲
10. 定點投籃比賽
11. 便利商店的牛奶

主題二 分數與小數
12. 不同口味的水果酥
13. 剩下的提拉米蘇
14. 吃掉的鮮奶泡芙
15. 點心鋪的鮮蝦燒賣
16. 飲料店的牛奶冰沙
17. 檸檬水裡的蜂蜜
18. 分數大小比一比
19. 分到幾盒巧克力奶酥
20. 新臺幣兌換日圓
21. 賣出多少香草冰淇淋
22. 生日會的焦糖布丁

主題三 量與實測
23. 圓滿如意禮...