白話微積分(第5版)

第五版序
我在臺灣大學歷史系大三時，＜史學思想史＞這門課的老師和我們談了occupation職業和vocation志業有什麼不同。對於一些史學家來說，史學就是他們的vocation，而各位同學們的vocation是什麼呢？我覺得，我的vocation志業，或者從這個字的拉丁文字源來說，呼召，就是透過數學教學來幫助他人。我希望我可以分享的是，我作為一個天賦一般的學生，是怎麼樣讀數學的，讓別人也可以不再畏懼數學。因此，本書主要寫作對象，是認真想學微積分但學不太懂的學生。
我所架設的網站「微積分福音」，這是受到了一位前交大教授的線性代數教學blog「線代啟示錄」的啟發。新約聖經最後一卷書是啟示錄，而前幾卷是福音書。「福音」這個名字也訴說了我的初衷：聖經當中說，福音不是給義人的，是給罪人的。而我寫作也不是為了那些已經擅長數學的人，而是為了那些可能因為各種原因而與數學有所隔閡的學生。
本書由2012年10月開始寫，2018年7月在台北出版，2020年5月在北京出版簡體版《轻松学点微积分》。2024年的七八月左右，我下決心要開始動手進行大幅度的改版，一方面來說，此時比起初版寫作期間，在LATEX上增加了許多使用經驗，因此現在有能力讓許多細節變得更好。另一方面，雖然本書致力於將解答過程寫得很清楚，但出版以來多次收到讀者來信詢問，因此而對於其中幾題的解法呈現方式進行了反思，趁這次改版就好好改得更清楚。所以，平時歡迎讀者多多來信聯繫，也許再下一個版本還能再更好！
大致來說，第五版比起舊版，比較明顯有感的差異有：
1. 增加心智圖
2. 增加便利貼
3. 優化例題解答過程
4. 加強互相引用
5. 某些章節改寫

卓永鴻
2025年6月

第五版序
我在臺灣大學歷史系大三時，＜史學思想史＞這門課的老師和我們談了occupation職業和vocation志業有什麼不同。對於一些史學家來說，史學就是他們的vocation，而各位同學們的vocation是什麼呢？我覺得，我的vocation志業，或者從這個字的拉丁文字源來說，呼召，就是透過數學教學來幫助他人。我希望我可以分享的是，我作為一個天賦一般的學生，是怎麼樣讀數學的，讓別人也可以不再畏懼數學。因此，本書主要寫作對象，是認真想學微積分但學不太懂的學生。
我所架設的網站「微積分福音」，這是受到了一位前交大教授的線性代數教學blog...

1. 極限與連續
1.1. 微積分的起源
1.2. 數列的極限
1.3. 連續函數與函數的極限
1.4. 極限的嚴格定義
1.5. 連續函數的性質
1.6. 自然指數與自然對數
1.7. 重要極限
1.8. 漸近線

2. 微分學
2.1. 導數的定義
2.2. 導數的性質與冪函數的導函數
2.3. 三角函數與指對數函數的導函數
2.4. 高階導數
2.5. 連鎖規則.
2.6. 單側導數
2.7. 隱函數的求導
2.8. 反函數的求導
2.9. 取對數求導法
2.10. 參數式求導
2.11. 微分(differential)

3. 微分的應用
3.1. 切線與法線
3.2. 變率問題
3.3. 函數的單調性與凹凸性
3.4. 極值問題
3.5. 繪製函數圖形
3.6. 微分均值定理
3.7. 羅必達法則

4. 積分
4.1. 積分的定義
4.2. 積分的基本性質
4.3. 微積分基本定理
4.4. 不定積分
4.5. 曲線間所圍面積
5. 積分技巧
5.1. 分部積分
5.2. 變數代換
5.3. 參變代換
5.4. 三角函數的積分（一）
5.5. 三角代換
5.6. 有理函數的積分：部分分式法
5.7. 三角函數的積分（二）
5.8. 瑕積分

6. 積分的應用
6.1. 曲線弧長
6.2. 求體積
6.3. 旋轉體體積
6.4. 旋轉體的表面積

7. 特殊函數
7.1. 雙曲函數
7.2. gamma 函數

8. 無窮級數
8.1. 無窮級數的收斂與發散
8.2. 積分審斂法
8.3. 比較審斂法
8.4. 比值審斂法與根值審斂法
8.5. 交錯級數審斂法
8.6. 條件收斂與絕對收斂
8.7. 冪級數

9. 泰勒展開
9.1. 泰勒展開：多項式逼近函數
9.2. 多項式逼近的應用
9.3. 泰勒定理與餘項
9.4. 冪級數的和函數

10. 極坐標
10.1. 極坐標簡介
10.2. 極坐標中的常見曲線
10.3. 極坐標求面積
10.4. 極坐標求弧長

11. 多變數的微分學
11.1. 多變函數簡介
11.2. 多變函數的極限
11.3. 偏導數
11.4. 全微分
11.5. 多變數的連鎖規則
11.6. 多變數的隱函數求導
11.7. 梯度、方向導數與切平面
11.8. 多變函數的極值問題
11.9. 拉格朗日乘子法

12. 重積分
12.1. 二重積分
12.2. 三重積分
12.3. 重積分的變數代換
12.4. 極坐標代換
12.5. 圓柱坐標代換
12.6. 球坐標代換

13. 微分方程簡介
13.1. 微分方程的定義與分類
13.2. 可分離微分方程
13.3. 一階線性微分方程

參考答案

1. 極限與連續
1.1. 微積分的起源
1.2. 數列的極限
1.3. 連續函數與函數的極限
1.4. 極限的嚴格定義
1.5. 連續函數的性質
1.6. 自然指數與自然對數
1.7. 重要極限
1.8. 漸近線

2. 微分學
2.1. 導數的定義
2.2. 導數的性質與冪函數的導函數
2.3. 三角函數與指對數函數的導函數
2.4. 高階導數
2.5. 連鎖規則.
2.6. 單側導數
2.7. 隱函數的求導
2.8. 反函數的求導
2.9. 取對數求導法
2.10. 參數式求導
2.11. 微分(differential)

3. 微分的應用
3.1. 切線與法線
3.2. 變率問題
3.3. 函數的單調性與凹凸性
3.4. 極值問題
3.5. 繪製函數圖形
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