素養導向：數學教學實務(1)

名人推薦：聯合推薦
張德銳 臺北市立大學、輔仁大學退休教授
林瑞昌 新北市海山國小校長
　

第1章 數學教學的趨勢

數學的教學方法需要改變嗎？很多家長告訴我，他們懷念以前的教育方式，認為以前的方式最好，問我為什麼要改變。我回答的是，學數學的目的是要啟發孩子的思考力、想像力與推理能力，以前的教育方式無法滿足時代的需要，如果我們要用以往的教育方式培育出未來所需的能力，那是很困難的事。

一、改變數學教學的需要性
可從教師觀念改變與學生學習兩方面來說明。

(一) 教師觀念的改變
數學教學的改革具急迫性，若教師仍使用在三十年前、四十年前的教育方式來教導學生，則數學教學的成效不會顯著。例如：四十年前筆者為國中學生時，教師每天發數學考卷，來逼迫學生學習數學；四十年後的今天，大部分的教師依然使用同樣的方式，因為要提升學生的數學分數，進到好的學校。其實這樣的方式三十年都沒有改變，並且這樣的方式是不對的，是錯的。因為反覆不斷練習考卷的方式，不但無法將數學學好，反而會使學生對學習產生負面情緒。因為不會的觀念仍舊不會，不會因為練習而創造出多元解題的策略。教師需改變的是教學設計，需依學生程度進行課程設計，對關鍵的數學概念進行深究。

教育的目的，在於啟發學生的思考，如孔子所述：
「不憤不啟，不悱不發，舉一隅不以三隅反，則不復也。」也就是說，教導學生，要等到學生努力奮發的時候，才啟發他；到他想說卻說不出來的時候，才去引導他。教學時，直到他能舉一反三的時候，才停止教學。

孔子的思想就是啟發，而啟發才是教學的關鍵。相對的，不是用填鴨的方式強迫，教師要能改變教學的觀念，學生才有可能真正開始學會數學。

(二) 學生無法面對社會所需的數學競爭力。
數學是國際的語言，為學校重要學科之一，在臺灣，越高年級的學生對數學學習的興趣越顯低落。依 2019 國際數學與科學教育成就趨勢調查(Mullis, et.al., 2020)，臺灣八年級學生的數學成就，國際排名為第二，顯示臺灣學生數學能力表現傑出，歷年來在 TIMSS 調查的表現都保持一定的水準。但在數學學習興趣與自信上的調查，臺灣學生在國際排名上卻在倒數第二名至第六名。臺灣學生的數學在國際評量上有好的成績，卻對數學學習興趣低落，也就是在缺乏信心的情況下學習數學。

2019 年 TIMSS (Mullis, et.al., 2020) 調查臺灣八年級學生數學學習興趣低落，於所參與國家中排名倒數第六，這樣的結果可能會使學生在未來選擇與數學相關科系的機會偏低，但與數學相關的專業科系，如電機、資訊科學、會計、統計、企業管理、國際貿易、財務管理等科系都與數學密切相關，也就是在就業市場中，有 80% 的科系均與數學相關；再者，於社會快速的變化，如 app 的程式設計與網路消費的普遍化，這些行業在三十年前不存在，但今日興盛。在三十年前盛極一時的企業，或許在今日已不復存在，如何能協助國中小學生對於數學學習提升學習興趣與自信，則是教師刻不容緩的責任。

二、培養學生的數學素養
108 年課綱（教育部，2018）十二年國民基本教育課程目標在於素養教育，而數學素養的培養，則基於全人教育的精神，以「自發」、「互動」及「共好」為理念，以「成就每一個孩子—適性揚才、終身學習」為願景，為全國國小至高中的教育目標。

而數學的學習依據數學綱要的發展，從數學是一種語言、一種實用的規律科學，也是一種人文素養出發，課程設計和這些特質密切搭配，應提供每位學生有感的學習機會，培養學生正確使用工具的素養。有以下五項理念。

(一) 數學是一種語言，以下為數學綱要所述：
宜由自然語言的題材導入學習文明的發展，語言具有關鍵性的地位。數學的發展是融入自然語言的生活經驗，無論是數量、形狀及其相互關係的描述，都是生活中常見的用語。數學連結文字及符號語言，以更簡潔與精確的方式來理解人類的生活世界。因其簡潔，能夠以簡馭繁，用簡明的公式與理論，解釋各種繁雜的現象；因其精確，可以適時彌補自然語言的不足。數學更是演算能力、邏輯訓練、抽象思維的推手。基於這些優點，數學教學應該盡可能保持學習自然語言的方式，透過實例的操作與解說，精熟概念與演算之後，再逐步進入抽象理論的學習。

數學為一種特殊的語言表達，如數學術語，有理數、無理數、分數、小數等，均為數學語言。再者，若是使用數學符號的算式，如 1 + 2 = 3，則更為抽象。所以如何協助學生使用數學語言，從基礎的學習，未來到高階數學的學習，如三角函數或微積分等，數學語言的學習則是數學能力的展現。

(二) 數學是一種實用的規律科學，以下為數學綱要所述：
其教學宜重視跨領域的統整數學被廣泛地應用在日常生活的需求、自然奧祕的探究、社會現象的解讀、財經問題的剖析，與科技發展的支柱等方面，這些看似複雜的應用領域，經過數學的協助分析，總是可以洞見其深處不變的規律。數學，是一門善於處理規律的科學。數學實用的例子甚多，例如：比例可用於各種錢幣的兌換及各種溶液百分濃度的稀釋；利用質數的性質發展出來的加密系統，能夠大幅提高資訊傳輸的安全；指數定律用來協助計算銀行利息的複利、闡明生物成長的速度、計算元素週期的半衰期等；三角除了在測量上的應用，三角函數更有助於描述各種波（如聲波、光波、水波）的研究；統計用於對未知世界的預測以及分析大數據等等。數學應用既是跨領域的，其教學也宜重視跨領域的統整。

數學的規律性，如時間的計算，一年有 365 天，一天有 24 小時，一小時有 60 分鐘，一分鐘 60 秒鐘等。又如統計的使用，可應用到經濟學、醫學、生物學、天文學、股市分析、金融分析、人口成長預估等。數學的應用即在於預測人的生活，能讓生活更為便利。

(三) 數學是一種人文素養，宜培養學生的文化美感
數學能成為一種與自然界對話的語言，是經過人類數千年來一連串探究、歸納、臆測與論證的成果。數學有其內在理路的發展走勢，也因為回應社會的需求，在文明裡扮演不可或缺的角色。人類各種族文明造就出不同的思維文化，例如：古代東方數學偏向具象方式的歸納推理，而西方則傾向抽象方式的演繹思考，數學史能夠幫助我們理解數學發展在不同文化的差異。認識數學的文化面向，不僅有助於讓數學學習從工具性層次延伸到智識性層次，也更彰顯數學知識的人文價值，達到「適性揚才」與「終身學習」的教育目標。

數學是一種文化，是一種習慣。從不同國家數學符號的發明、進位系統的使用，可看出國家的文明與特性。從數學的學習中，可尊重與了解多元文化，看到數學過程的發展脈絡。從不同國家數學學者的努力，可以拓展不同的數學視野，產生不同的數學思考。

(四) 數學應提供每位學生有感的學習機會
數學與其他領域的差異，在於其結構層層累積，其發展既依賴直覺又需要推理。同齡學生的數學認知發展又有個別差異，學習者若未能充分理解前一階段的概念，必然影響後續階段的學習。課程綱要的編寫以適合多數學生為主。課程綱要的實踐，教學上需藉由鷹架作用加以啟導，適時進行差異化教學及課程規劃，提供每位學生每節課都有感的學習活動機會。對於學習緩慢的學生，可以降緩教學速度，僅著重最基本的內容。對於學習超前的學生，可以設計加深、加廣、專題探究等各類課程，激發學生學習動力。對於學習落後的學生，應考量其學習準備度和學習風格等，規劃補救教學，及時補救；盡可能將補救教學納入正課中，提供適性的指導。

每位學生都應學好數學，是每位教師該有的認識。即如何協助學生從已知到未知，發展出從具象、心像到抽象的數學概念；再者，教師應具備專業教師該有的信念，採用建構理念的教學方式，設計具趣味性與活動性的數學課程，使用適當的教具，協助學生真正地了解數學概念。

(五) 數學教學應培養學生正確使用工具的素養
工具對於數學教學助益極大。除了傳統教具如圓規、三角板、方格紙等，資訊時代的計算機 (calculator)、電腦 (computer)、網路、多媒體、行動工具等都是有用的學習工具。我國即使在最基本的計算機教學，都遠遠落後於世界各先進國家，因此，本次課綱修訂，重視計算工具的有效運用。計算工具教學應從計算機開始，逐漸引導學生使用各種高階工具。數學是一種規律的科學，計算機及電腦可以協助落實探究活動，惟因計算機的計算有一定的誤差，應強調其使用時機及侷限，培養學生使用計算機的正確態度。學生在熟練計算原理後，為避免繁複計算而降低學習效率，可適當使用計算機，執行複雜數字、統計數據、指數、對數及三角比的計算。實施時機以國民中學及高級中等學校教育階段為宜。教師可在適當時機使用電腦輔助教學。

數學與科技的結合，是時代所趨。例如：測量長度，可使用手機的 app模式進行量測，統計的計算，如平均數、標準差等集中量數，可使用 Excel進行計算。若是使用高階的統計軟體，如 SPSS、LISREL、Latent Gold。於函數使用的軟體，可用 Graphmatica、MathGV；三角函數的軟體可使用 Graph，空間圖形的軟體可用 GSP 等。其他重要的數學軟體有 Maple、Mathlab、Mathematic 等。

第1章 數學教學的趨勢

數學的教學方法需要改變嗎？很多家長告訴我，他們懷念以前的教育方式，認為以前的方式最好，問我為什麼要改變。我回答的是，學數學的目的是要啟發孩子的思考力、想像力與推理能力，以前的教育方式無法滿足時代的需要，如果我們要用以往的教育方式培育出未來所需的能力，那是很困難的事。

一、改變數學教學的需要性
可從教師觀念改變與學生學習兩方面來說明。

(一) 教師觀念的改變
數學教學的改革具急迫性，若教師仍使用在三十年前、四十年前的教育方式來教導學生，則數學教學的成效不會顯著。例如：四十...

與如山教授的緣分，是在 1998 年我於伊利諾大學香檳校區擔任訪問學者期間，那時如山教授就讀該校教育學院課程與教學系博士班，主修數學教育與測驗統計。在相處的過程中，其熱心助人的特質，令人印象深刻。尤其與他一同前往美國教育研究年會（AERA）參加研討會，適逢曾志朗部長、吳京部長與林文律教授等，這一段旅程，仍歷歷在目。如山教授素有改變教育之大志，自美學成歸國後，盡心盡力於數學教育的研究、教學與推廣，時光如梭，一晃眼，已有二十多年了。二十多年的深耕，終有令人敬佩的成就，今欣聞其新書出版，倍感榮焉，遂為之序。

個人以為師資培育與教育革新是不斷改變的過程，師資教育的成敗，取決於師資培育機構於職前教師的篩選，如人格特質、學習動機、智力水準、表達能力等多方面的展現，而數學教學的職前培訓，更是基礎教育學科重要的一環。其後數學教師的教學專業表現，更有賴初任教師導入輔導以及資深教師的在職專業成長機制。

108 年課綱著重素養導向的實踐，個人畢生致力於初任教師導入輔導以及資深教師的在職專業成長的研究，認為師資培育應要永續傳承與持續發展。於教學輔導機制的兩個角色，教學輔導教師與夥伴教師（多為初任教師，亦可為自願成長的教師），夥伴教師在初入職場時，固然需要教學輔導教師的專業支持與協助；教學輔導教師亦要永續地發展其專業職能，才能勝任薪火相傳的工作。而本書所呈現的教學理論與實務智慧，落實在數學教學的專業，能提供夥伴教師初始於數學課堂的協助，亦能有利於教學輔導教師檢視數學教學的脈絡，而產生自我革新與成長的功能。

本書的八個章節，從第 0 章〈數學教師的專業內涵〉，對於數學教學專業知識的陳述，能給予教學輔導教師數學教學的方向，亦能帶給夥伴教師在教學發展的標的。於第 1 章〈數學教學的趨勢〉，從實務的教學歷程，釐清傳統教學與開放性教學於教學信念、教師教學、課程設計、學生學習、評量方式、理論依據的不同。第 2 章〈數數的教學實務〉、第3章〈整數位值的教學實務〉、第 4 章〈整數加法與減法的教學實務〉、第 5 章〈整數乘法的教學實務〉、第 6 章〈整數除法的教學實務〉、第 7 章〈整數四則的教學實務〉，於此六章比較 NCTM 與 108 年課綱的課程標準，亦提供教學活動的範例。

最後，筆者期望本書能帶給國小教師，落實 108 年課綱的素養發展政策，並期許未來的下一代能喜歡數學、熱愛數學，提升臺灣的學習競爭力。

臺北市立大學、輔仁大學退休教授　
張德銳 謹識
中華民國 111 年 11 月 6 日










欣聞如山教授的新作：《素養導向：數學教學實務 1》。這本書對於 108 課綱數學領域的素養教學，有很大的實用價值。書中內容可從如山教授與新北市頂溪國小的自編課程研究、宜蘭人文國中小與桃園林森國小的數學課程研究成果衍生，為期十餘年。如山教授對數學實務長期的投入，能為之序，與有榮焉。

與如山教授的緣分，早於民國 91 年我派任大成國小校長時，因推動教師專業成長而熟識。那時如山教授為師培中心主任，推薦五位師培生來大成實習。在實習前，親自接送師培生到大成了解校園環境；於實習期間，多次到大成探視學生，如山教授對學生的照顧，以及與大成教師應對時的謙沖，都讓人留下深刻的印象。

之後我奉派籌備龍埔國小，從學校建設到招生，如山教授每年均帶領師培學生到校參訪，還記得他與我一同走過建設中的校園，因剛下過雨，我們的皮鞋均染上了黃色的泥土，卻不以為意，我感覺到他是一位喜歡貼近現場的學者；之後如山教授也與國家教育研究院合作，一同與龍埔發展數學專業課程。我亦知如山教授與三峽的五寮、插角、有木與大埔國小長期進行史懷哲服務，他與三峽的緣分很深，這些都能看到如山教授對教育的專業與執著。

本書的內容從第 0 章，〈數學教師的專業內涵〉，說明了數學教師的專業，從教師的專業知識到數學教師所應具備的專業，提供了明確的輪廓。第 1 章，〈數學教學的趨勢〉，分析了 108 年課綱數學素養的意義，這些對現場的教學具有急迫性。於其餘六章，分析了 108 年課綱與美國課程標準的異同，準備了很多能應用於實務課程的數學學習活動，對於國小的數數、位值、加、減、乘、除、四則運算的教學，能讓教師於教學上有更多的啟發。我相信，有此書的出現，臺灣的數學教育會更有前景。

最後，期待本書的出版能帶給國小教師更多的創意與思考，讓臺灣之子在數學學習上有極佳的視野，一起看見數學之美。

新北市海山國小校長
林瑞昌　謹識
中華民國 111 年 11 月 6 日

與如山教授的緣分，是在 1998 年我於伊利諾大學香檳校區擔任訪問學者期間，那時如山教授就讀該校教育學院課程與教學系博士班，主修數學教育與測驗統計。在相處的過程中，其熱心助人的特質，令人印象深刻。尤其與他一同前往美國教育研究年會（AERA）參加研討會，適逢曾志朗部長、吳京部長與林文律教授等，這一段旅程，仍歷歷在目。如山教授素有改變教育之大志，自美學成歸國後，盡心盡力於數學教育的研究、教學與推廣，時光如梭，一晃眼，已有二十多年了。二十多年的深耕，終有令人敬佩的成就，今欣聞其新書出版，倍感榮焉，遂為之序。

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追求數學教學的專業為一生職志，設計適切的教學活動使學生能夠徹底學會數學的概念，是數學教師應有的信念。

0. 〈數學教師的專業內涵〉：提到教師的專業條件，從教師教學涵蓋教師態度、教師知識、教師行為與教師信念；而教師知識又可分為學生學習知識、教學方法與教學內容知識；教師信念又可分為教學信念與數學信念等。而教師教學影響了學生學習的行為、態度與成就。這些複雜的教學與學習相互關係，產生了數學的教學與學習模式。

1. 〈數學教學的趨勢〉：可分為改變數學教學的需要性、培養學生的數學素養與教學方法的改變三個部分。第一，改變數學教學的需要性又可分為兩個部分，一為教師觀念的改變，另一為學生學習的改變。教師的想法改變才可以真正讓數學的學習產生質變，而從國際評比來看，臺灣學生對數學學習的興趣與自信心低落，才是最需要改革的量變。第二，培養學生的數學素養，108 年課綱在數學學習的改變即為素養能力的培育，要使學生了解數學是一種語言、是一種實用的科學、是一種人文素養，可提供每位學生有感的學習機會與培養學生正確使用工具的能力。第三，教學方法的改變，在於使數學有趣、要有難度、滿足合作的需求，並與生活結合以及激發學生最大的潛能為目標。

2. 〈數數的教學實務〉：本章比較美國與臺灣 108 年課綱數數課程標準，數數概念的相關研究與數數的教學活動，本章有 6 個教學活動，如何協助學生建立 10 以內的數數概念，本章提供有趣的教學情境與使用數棒讓學生更快理解數學的 1 到 10，從具體操作，到建立心像，進而建立抽象的數字概念。

3. 〈整數位值的教學實務〉：本章比較美國與臺灣 108 年課綱整數位值課程標準，整數位值概念的相關研究與整數位值的教學活動，本章有 10 個教學活動。活動設計從一年級到四年級，從整數位值的縱貫性概念，可看到不同年級的活動內涵，教師對於不同年級的位值活動設計可理解整數位值的系統性概念。

4. 〈整數加法與減法的教學實務〉：本章比較美國與臺灣 108 年課綱整數加法與減法的課程標準、整數加法與減法概念的相關研究，與整數加法與減法的教學活動，本章有 19 個教學活動。活動設計從一年級到二年級，從整數加法與減法的概念，教師主要在建立加法與減法的數字拆解及數字間的關係，進而可破解加法與減法應用問題。

5. 〈整數乘法的教學實務〉：本章比較美國與臺灣 108 年課綱整數乘法的課程標準、整數乘法概念的相關研究，與整數乘法的教學活動，本章有 16 個教學活動。活動設計從一年級到三年級，從整數乘法的概念，教師主要在建立乘法的數字關係，進而可破解乘法直式問題。

6. 〈整數除法的教學實務〉：本章比較美國與臺灣 108 年課綱整數除法的課程標準、整數除法概念的相關研究，與整數除法的教學活動，本章有 14 個教學活動。活動設計從三年級到四年級，從整數除法的概念，教師主要在建立除法的概念，如等分除與包含除，之後建立估商策略，破解除法直式與蟲蛀法問題。

7. 〈整數四則的教學實務〉：本章比較美國與臺灣 108 年課綱整數四則的課程標準、整數四則概念的相關研究，與整數四則的教學活動，本章有 9 個教學活動。活動設計從二年級到四年級，從二年級整數加法與減法的關係，到三年級乘法與除法的關係，於四年級建立先乘除後加減的關係，之後對於括號相關法則如結合律、分配律、符號改變法則與一定要使用括號概念的相關規則均有清楚且完整的介紹。

本書所涵蓋的章節尚未完善，未來持續會有《數學教學實務 2》與《數學教學實務 3》等書以補未盡之憾，最後對於家人的支持，賢內怡如與子女妏靜、名碩、名瑋、安捷、安醇等，感激由心。

謝如山 謹識
於白鷺鷥山
中華民國 111 年 10 月 10 日

追求數學教學的專業為一生職志，設計適切的教學活動使學生能夠徹底學會數學的概念，是數學教師應有的信念。

0. 〈數學教師的專業內涵〉：提到教師的專業條件，從教師教學涵蓋教師態度、教師知識、教師行為與教師信念；而教師知識又可分為學生學習知識、教學方法與教學內容知識；教師信念又可分為教學信念與數學信念等。而教師教學影響了學生學習的行為、態度與成就。這些複雜的教學與學習相互關係，產生了數學的教學與學習模式。

1. 〈數學教學的趨勢〉：可分為改變數學教學的需要性、培養學生的數學素養與教學方法的改變三個部分。...

推薦序 張德銳
推薦序 林瑞昌
自序

第0章 數學教師的專業內涵
一、教師的教學知識
二、數學教學知識
三、數學教學信念
四、使用數學教具的重要性

第1章 數學教學的趨勢
一、改變數學教學的需要性
二、培養學生的數學素養
三、教學方法的改變
四、激發學生的最大潛能

第2章 數數的教學實務
一、課程標準：NCTM (2000) 與教育部 (2018) 的比較
二、數數概念
三、數數的教學

第3章 整數位值的教學實務
一、課程標準：NCTM (2000) 與教育部 (2018) 的比較
二、十進位的重要性
三、位值的教學

第4章 整數加法與減法的教學實務
一、課程標準：NCTM (2000) 與教育部 (2018) 的比較
二、加減法題型的相關文獻
三、加法與減法的教學

第5章 整數乘法的教學實務
一、課程標準：NCTM (2000) 與教育部 (2018) 的比較
二、乘法的相關文獻
三、乘法的教學

第6章 整數除法的教學實務
一、課程標準：NCTM (2000) 與教育部 (2018) 的比較
二、除法的相關文獻
三、除法的教學

第7章 整數四則的教學實務
一、課程標準：NCTM (2000) 與教育部 (2018) 的比較
二、整數四則的理論依據
三、整數四則的教學

參考書目

推薦序 張德銳
推薦序 林瑞昌
自序

第0章 數學教師的專業內涵
一、教師的教學知識
二、數學教學知識
三、數學教學信念
四、使用數學教具的重要性

第1章 數學教學的趨勢
一、改變數學教學的需要性
二、培養學生的數學素養
三、教學方法的改變
四、激發學生的最大潛能

第2章 數數的教學實務
一、課程標準：NCTM (2000) 與教育部 (2018) 的比較
二、數數概念
三、數數的教學

第3章 整數位值的教學實務
一、課程標準：NCTM (2000) 與教育部 (2018) 的比較
二、十進位的重要性
三、位值的教學

第4章 整數...