Python AI人員必修的科學計算 - 數學、機率、統計、演算法

【前言】
在大學階段，我們獲得知識的一般途徑是透過對教材的理論學習及對應的實驗驗證。具體到教材的每一節（章），大致上是先提出某個已被確定的理論，然後由簡入繁組織一些模式相似的例子，用於練習或驗證先前提出的理論，這種學習方法實際上就是對模型（model）的學習。

在學習數學的過程中，如果我們能逐步自我訓練，把每一節的學習當作一個模型去對待，理解這個模型的理論基礎，它能解決什麼樣的問題以及如何解決，這種訓練無疑比陷入題海或過分專注於一些技巧要好的多。累積的模型多了，在解決實際問題時才會更快的定位到正確或接近正確的解決模式上，也才有可能得到這個問題的確切解或近似解（解決方案），但如果用錯誤的模型去匹配一個未知問題，結果很可能大幅偏離正解，甚至南轅北轍。

科學計算是對已知理論或假設，運用特定演算法或程式，並對這一理論（假設）進行驗證或進一步探索的試驗過程，是手工計算在機器上的延伸與拓展，同時也是科技人員必須具備的一項技能。由此，我和我的同事撰寫了和「高等數學」（含「線性代數」）、「機率論與數理統計」和「作業研究」幾本傳統教材搭配的科學計算輔導用書。我們希望科學計算從這幾門基礎課開始生根。

Python是當下的第一選項，原因在於以下兩個方面：（1）就科學計算來說，基於Python的函數庫是相對完備且開放的，使用人群的基數也決定著學習資源的品質與多樣性；（2）相對於C、C++、Java等程式語言，Python對於非電腦類專業來講有著更為合適的生長土壤，我們不太可能用C語言來求解諸如熱處理問題、資源設定問題或實驗中某些因素的互動作用問題等。

數學為我們提供了豐富多彩的素材用以學習程式設計：從讀者已掌握的知識（例如繪製一個拋物線，計算一個函數的導數）到未知的領域（如求一個複雜函數的極值），這期間有驗證的快樂，也有探索的艱辛，在不斷重複這些活動的過程中學會熟練運用這一工具，工具的熟練使用反過來也會幫助我們對特定問題進行更為深入的探討與研究。

Visual Studio Code為我們提供了良好的工作環境。

基本理論和手工計算是根本，然後才可以使用機器進行實踐，切莫本末倒置。如果自己無法解釋程式或程式輸出，那就要調整為理論優先。建議讀者依據自身對基礎的理解，可以採用理論與實踐按節融合、按章融合或學期後融合的策略。

本書的第1~3章由賈愛娟老師撰寫，第4~6章由張靈帥老師撰寫，第7~9章由陳繼紅老師撰寫，第10~11章由郭曉玉撰寫，第12 章由楊懷霞老師撰寫，第13~21章由毛悅悅老師撰寫，第22~33章由我撰寫。文件的審核及校對由趙文峰、程方榮、崔紅新和時博老師完成。

畢文斌

【前言】
在大學階段，我們獲得知識的一般途徑是透過對教材的理論學習及對應的實驗驗證。具體到教材的每一節（章），大致上是先提出某個已被確定的理論，然後由簡入繁組織一些模式相似的例子，用於練習或驗證先前提出的理論，這種學習方法實際上就是對模型（model）的學習。

在學習數學的過程中，如果我們能逐步自我訓練，把每一節的學習當作一個模型去對待，理解這個模型的理論基礎，它能解決什麼樣的問題以及如何解決，這種訓練無疑比陷入題海或過分專注於一些技巧要好的多。累積的模型多了，在解決實際問題時才會更快的定位到正確或...

【第一部分　程式設計基礎】
01 Python 基礎
1.1 Python 簡介與安裝
1.2 協力廠商開發工具VS Code
1.3 Python 內建資料型態與函數
1.4 Python 常用協力廠商函數庫：numpy

【第二部分　高等數學】
02 函數與極限
2.1 映射與函數
2.2 數列的極限
2.3 函數的極限
2.4 無限小與無限大
2.5 極限運算法則
2.6 極限存在準則 兩個重要極限
2.7 無限小的比較
2.8 函數的連續性與間斷點
2.9 連續函數的運算與初等函數的連續性

03 導數與微分
3.1 導數概念
3.2 函數的求導法則
3.3 高階導數
3.4 隱函數及由參數方程式所確定的函數的導數相關變化率

04 微分中值定理與導數的應用
4.1 微分中值定理
4.2 羅必達法則
4.3 泰勒公式
4.4 函數的單調性與曲線的凹凸性
4.5 函數的極值與最大值最小值
4.6 函數圖形的描繪
4.7 方程式的近似解

05 不定積分
5.1 不定積分的概念與性質
5.2 換元積分法
5.3 分部積分法
5.4 有理函數的積分

06 定積分
6.1 定積分的概念和性質
6.2 微積分基本公式
6.3 定積分的換元法和分部積分法
6.4 反常積分
6.5 反常積分的審斂法Γ 函數
6.6 極座標系下繪圖

07 微分方程
7.1 微分方程的基本概念
7.2 可分離變數的微分方程
7.3 齊次方程式
7.4 一階線性微分方程
7.5 可降階的高階微分方程
7.6 常係數齊次線性微分方程
7.7 常係數非齊次線性微分方程式
7.8 歐拉方程式
7.9 常係數線性微分方程組解法舉例

08 線性代數基礎
8.1 行列式
8.2 矩陣的運算
8.3 矩陣的秩與線性方程組的解
8.4 方陣的特徵值及特徵向量

09 向量代數與空間解析幾何
9.1 向量及其運算
9.2 數量積、向量積、混合積
9.3 平面及其方程式
9.4 空間直線及其方程式
9.5 曲面及其方程式
9.6 空間曲線及其方程式

10 多元函數微分法及其應用
10.1 偏導數
10.2 多元複合函數的求導法則
10.3 隱函數的求導公式
10.4 多元函數微分學的幾何應用
10.5 方向導數與梯度
10.6 多元函數的極值及其求法
10.7 最小平方法

11 重積分
11.1 二重積分的概念和性質
11.2 二重積分的計算方法
11.3 三重積分
11.4 重積分的應用

12 無窮級數
12.1 常數項級數的概念和性質
12.2 常數項級數的審斂法
12.3 函數展開成冪級數
12.4 傅立葉級數

【第三部分　機率論與數理統計】
13 機率論的基本概念
13.1 隨機試驗
13.2 樣本空間、隨機事件
13.3 頻率與機率
13.4 古典機率
13.5 條件機率
13.6 獨立性

14 隨機變數及其分佈
14.1 隨機變數1
14.2 離散型隨機變數及其分佈律
14.3 隨機變數的分佈函數
14.4 連續型隨機變數及其機率密度
14.5 隨機變數的函數的分佈

15 多維隨機變數及其分佈
15.1 二維隨機變數
15.2 邊緣分佈
15.3 條件分佈
15.4 相互獨立的隨機變數
15.5 兩個隨機變數的函數的分佈

16 隨機變數的數字特徵
16.1 數學期望
16.2 方差
16.3 協方差及相關係數
16.4 矩、協方差矩陣

17 大數定律及中心極限定理
17.1 大數定律
17.2 中心極限定理

18 樣本及抽樣分佈
18.1 隨機樣本
18.2 長條圖和箱線圖
18.3 抽樣分佈

19 參數估計
19.1 點估計
19.2 基於截尾樣本的最大似然估計
19.3 估計量的評選標準
19.4 區間估計
19.5 常態整體平均值與方差的區間估計
19.6 (0-1) 分佈參數的區間估計
19.7 單側置信區間

20 假設檢驗方法
20.1 假設檢驗方法
20.2 常態整體平均值的假設檢驗
20.3 常態整體方差的假設檢驗
20.4 置信區間與假設檢驗之間的關係
20.5 樣本容量的選取
20.6 分佈擬合檢驗
20.7 秩和檢驗
20.8 假設檢驗問題的p值法

21 方差分析及回歸分析
21.1 單因素試驗的方差分析
21.2 雙因素試驗的方差分析
21.3 一元線性回歸
21.4 多元線性回歸

【第四部份　作業研究】
22 線性規劃與單純形法
23 對偶理論和靈敏度分析
24 運輸問題
25 線性目標規劃
26 整數線性規劃
27 無約束問題
28 約束極值問題
29 動態規劃的基本方法
30 動態規劃應用舉例
31 圖與網路最佳化
32 網路計畫
33 排隊論

A 參考文獻

【第一部分　程式設計基礎】
01 Python 基礎
1.1 Python 簡介與安裝
1.2 協力廠商開發工具VS Code
1.3 Python 內建資料型態與函數
1.4 Python 常用協力廠商函數庫：numpy

【第二部分　高等數學】
02 函數與極限
2.1 映射與函數
2.2 數列的極限
2.3 函數的極限
2.4 無限小與無限大
2.5 極限運算法則
2.6 極限存在準則 兩個重要極限
2.7 無限小的比較
2.8 函數的連續性與間斷點
2.9 連續函數的運算與初等函數的連續性

03 導數與微分
3.1 導數概念
3.2 函數的求導法則
3.3 高階導數
3.4 隱函數及由參數方程式所確定...