超簡單機率與統計︰隨機的世界！大數據時代的機率統計學

1.1　生還是死：這是一個機率問題
　　2012年7月21 日，北京大雨傾盆，下午兩點，我接到父親的電話，要我趕快回東北老家，家中病危的爺爺快撐不住了。
　　我抓起外套出門，冒著大雨瘋狂地跑進地鐵，奔向北京站。
　　第二天傍晚五點半，我下了火車，直奔醫院。病床前，我看到瘦骨嶙峋的爺爺蜷縮在那裡，已經沒了意識，奄奄一息。八點整，爺爺血壓驟降，醫生對父親點了點頭，時辰到了。我終究沒能和爺爺說上最後一句話。
　　後來，我常會夢到爺爺。在夢中，爺爺坐在青綠色的老式沙發上，戴著折疊式老花鏡，饒有興致地看《城市晚報》。爺爺已經去世了，但又分明看到爺爺就坐在那裡。夢中的那一刻，我真的分不清爺爺是生還是死。
　　生死與有無、對錯一樣，都是鮮明對立的東西，它們看似是兩條平行的直線，永不相交。然而，夢中的我卻分不清爺爺是生還是死。生與死真的永無相交的可能嗎？

鷹溪橋上的法克爾
　　下面是美國小說家安布羅斯・比爾斯的小說《鷹溪橋上》的片段節選， 故事發生在美國南北戰爭期間，講述的是農場主法克爾被處以絞刑的故事。
　　阿拉巴馬州北部的鐵路橋上，一個男人站在那裡，俯視著橋下二十公尺處湍急的流水。這人的雙手被人用繩子綁在身後，一根繩索緊緊地套在他的頸部，繩索的另一端被繫在他頭頂上方交叉的架子上，一段繩子鬆鬆垮垮地垂在他的膝蓋處。鐵軌枕木上鋪著幾塊木板，他和要對他行刑的一名中士和兩名列兵就站在上面。
　　那個即將被施以絞刑的男人看起來大約三十五歲，一副平民的裝扮。如果從他的舉止行為來看，他像是一位莊園的農場主。他五官端正──鼻子高挺， 嘴唇堅毅，額頭飽滿，長長的黑髮順直地披在腦後，他的眼睛大而烏黑，面目和善，人們很難想像到這人即將被施以絞刑而死。
　　他索性睜開眼睛，看著身下的流水。「如果我能把雙手掙脫，」他心裡這樣想著，「我就能擺脫頸上的繩索，跳到河裡去，然後潛到水下躲避那些子彈，拚命地游到河岸邊，鑽進那裡的森林，就能跑回家了。謝天謝地，我家不在他們的封鎖線裡，我的妻子和孩子們離他們的先頭部隊還有些距離。」正當這些想法在犯人腦中閃過時，上尉對中士點頭示意。中士從那塊木板上跨到了一邊。
　　當法克爾從橋上徑直地向下墜落時，他已經沒有了意識，就像是死了一樣。彷彿過了很久，頸部劇烈地擠壓所帶來的疼痛使他從這種狀態中清醒了過來，接著就感到了窒息。他知道那條繩索已經斷了，他墜入了河中，那種窒息的感覺沒有加劇。他在黑暗中睜開了眼睛，看到了他上方的一道亮光。他的兩隻手快速的向下拍水，使身體上浮，他感覺自己的腦袋已經浮出了水面，炫目的陽光使得他睜不開眼睛。他看到了那座橋，以及給他施以絞刑的執行者，他們正大喊著用手指向這邊，子彈射到水裡，離他的頭只有幾英吋的距離，濺起的水花打在他的臉上。
　　法克爾猛地向水下潛去，盡量鑽到水的深處。法克爾在湍急的流水中奮力地划水，他思維清晰，四肢越發有力，心裡想著：「上帝保佑我，保佑我能躲過所有的子彈！」
　　突然，他感覺自己開始一圈圈地旋轉起來，像陀螺一樣。水面、河岸、樹林，已經離得很遠的橋，還有那軍事堡壘和那些士兵，都混合到一起，變得模糊不清。水中的一處漩渦將他捲了起來，沒過一會兒，他就被水流拋到了左岸邊的一堆礫石上。他喜極而泣，兩手抓起泥沙，一把把的往上揚，落到自己身上，喃喃地說著一些祝福的詞句。他躍身而起，迅速地往坡上的岸邊跑去，鑽進了那片樹林。
　　那一天，他都依照著太陽往前走，那片樹林太過茂密，像是永無盡頭， 他到處都找不到一個可以休息的地方，甚至都找不到一條樵夫走過的小道。夜幕降臨時，他已經走得精疲力竭，可是一想到他的妻子和孩子們，他又竭力地繼續向前走。最後，他終於找到了一條通往他家的路。那條路像城市裡的街道那樣筆直而寬闊，可卻像是無人從此處通行過，路的兩邊沒有田野，也沒有房屋。他的眼睛有些腫脹，沒法閉眼，口中乾渴，舌頭也發脹起來，他把舌頭伸出口外去接觸空氣，感受絲絲的涼意。這條沒人走過的路上全是草，這些草多麼柔軟，軟得讓他無法感覺到腳下的路！
　　他站在自己家門口，所有的一切都和他離開時一模一樣。當他推開門，他看到了女人的衣裙在飄動；他的妻子還是那麼的清新甜美，正從門廊中走出來迎接他。她走下了台階，臉上帶著神秘的笑容，那種氣質簡直無與倫比！啊， 她是多麼的美麗！他伸開雙臂衝過去…… ──節選自《鷹溪橋上》
　　讀到這裡，我們的心中難免會有一個疑問：法克爾究竟是死了還是逃跑了？
　　讀到法克爾掉入水中，拚命掙扎著爬上岸時，我們相信法克爾真的逃脫了；可是，怪異的樹林、無人走過的路、無法感覺腳下的路，又讓人心生懷疑：難道這些是法克爾的幻覺？我們希望法克爾成功逃脫，回到家中與妻子團圓，又擔心一切都是法克爾的幻覺。法克爾在我們心中彷彿是一個既可能「生」又可能「死」的人！

薛丁格的貓
　　要測試你是否真的瞭解「量子物理」，只需要問你兩個問題。
　　第一個問題：你知道「薛丁格的貓」嗎？
　　（我猜你會點頭。）
　　第二個問題：你知道哥本哈根學派嗎？
　　（別皺眉了，趕快承認不知道吧。）
　　大多數人都知道這隻著名的貓，卻不知道這隻貓到底是怎麼來的，沒錯，這隻貓與哥本哈根學派有莫大的關係。
　　哥本哈根學派於1920 年代初期建立，對量子物理的創立和發展有很多重要貢獻。學派的創始人是著名量子物理學家波耳，主要成員包括玻恩、海森堡等知名物理學家。薛丁格也是量子物理學界的鼻祖，他提出的「薛丁格方程式」為量子力學奠定了堅實的基礎，至今折磨著一代又一代的理工學系。不過，薛丁格並不是哥本哈根學派的成員，這是因為他對哥本哈根學派的理論存在質疑。為了有的放矢地提出自己的質疑，他突發奇想了一個實驗—「薛丁格的貓」。
　　「薛丁格的貓」是一個思想實驗，實驗的過程是，把一隻可憐的小母貓關在一個密室裡，密室裡有食物也有毒藥，毒藥裝在瓶子裡，瓶子上有一個錘子，錘子由一個電子開關控制，如果電子開關被觸動，錘子就會落下，砸碎瓶子，瓶子裡的有毒氰化物就會毒死小貓。問題是：小貓到底是活著還是死了？
　　實驗的關鍵在於，電子開關是否被觸動是一個隨機發生的事件，發生的機率是50%。這裡的50% 不是「拋硬幣50% 出現正面」這麼簡單，要產生真正的隨機事件，需要使用放射性元素。在微觀世界裡，放射性元素衰變是宇宙都無法預知的隨機事件，一個真正的有50% 機率發生的隨機事件。控制電子開關的正是放射性元素，如果放射性元素發生衰變，則開關被觸動，錘子砸碎毒瓶，小貓必死。
　　這個問題要分兩種情況討論。
　　情況一：我們打開密室觀察，可以確切地知道小貓是生還是死。如果放射性元素發生了衰變，那麼可憐的小貓一定已經中毒身亡；如果沒發生衰變，那麼可愛的小貓依然活著。
　　情況二：我們不打開密室，由於放射性元素的衰變完全無法預測，所以小貓既可能生，也可能死，我們只能認為小貓處於「生與死」的疊加狀態！
　　用量子物理的語言來說，當我們沒有觀察小貓時，小貓是被「電子雲」包裹，生與死兩種狀態互相疊加，形成了一個「疊加態」，當我們進入密室觀察小貓時，「電子雲」瞬間塌陷了，於是我們只能觀察到某一種狀態的小貓。
　　一隻「既生又死」的貓？這明顯違背常識。薛丁格把微觀世界的疊加狀態平行的移植到宏觀世界中，以此質疑量子物理的「完備性」，也就是說，量子物理中的「疊加態」在宏觀世界中不成立。
　　量子物理學家波耳曾說：「誰要是第一次聽到量子理論時沒有感到困惑，那他一定沒聽懂。」親愛的讀者朋友，你是聽懂了還是沒聽懂呢？
　　我們活在當下，感知當下，環顧四周，彷彿一切都是確定無疑的。可是，此時此刻，還有很多人、很多事是你感知不到的，對你而言，它們是「不確定的」。鷹溪橋上的法克爾和薛丁格的貓到底是生還是死？這不再是一個非此即彼的問題，在謎底揭開之前，它們既可能生，也可能死，這是一個機率問題，專門研究機率問題的學科就是—機率論。

1.1　生還是死：這是一個機率問題
　　2012年7月21 日，北京大雨傾盆，下午兩點，我接到父親的電話，要我趕快回東北老家，家中病危的爺爺快撐不住了。
　　我抓起外套出門，冒著大雨瘋狂地跑進地鐵，奔向北京站。
　　第二天傍晚五點半，我下了火車，直奔醫院。病床前，我看到瘦骨嶙峋的爺爺蜷縮在那裡，已經沒了意識，奄奄一息。八點整，爺爺血壓驟降，醫生對父親點了點頭，時辰到了。我終究沒能和爺爺說上最後一句話。
　　後來，我常會夢到爺爺。在夢中，爺爺坐在青綠色的老式沙發上，戴著折疊式老花鏡，饒有興致地看《城市晚報》。...

前言
第一章　機率
　　1.1　生還是死：這是一個機率問題
　　1.2　隨機事件：翻飛的硬幣
　　1.3　條件機率：門後的老山羊與豪車
　　1.4　獨立事件：反覆拋起的硬幣
　　1.5　全機率公式：英超冠軍爭奪戰
第二章　隨機變量
　　2.1　隨機變量：骰子遊戲
　　2.2　期望與變異數：百變骰子
　　2.3　大數法則：莊家的信條
第三章　統計
　　3.1　從樣本到總體：管中窺豹
　　3.2　頻率、平均數與中位數：致敬「黑曼巴」
　　3.3　變異數與標準差：致敬馬刺
　　3.4　平均數與變異數估計：近射與狙擊
第四章　分布
　　4.1　分布：統計學的「九九乘法表」
　　4.2　等機率分布：硬幣的兩面
　　4.3　幾何分布：一次就好
　　4.4　二項分布：反覆擲骰子
　　4.5　帕松分布：神奇的e
　　4.6　正態分布：完美曲線
　　4.7　指數分布：「二八」與「長尾」
第五章　賭博中的機率統計
　　5.1　賭博：激情與理性
　　5.2　雙色球：千年等一回
　　5.3　足彩：愛足球，更愛足彩
　　5.4　德州撲克：我不是教你詐
　　5.5　21 點：保守未必是壞事
第六章　假設檢定
　　6.1　主場優勢：規律還是假象？
　　6.2　假設檢定：主場真的有優勢嗎？
　　6.3　反證法：無罪推定
第七章　貝氏定理
　　7.1　牧師貝氏：深藏功與名
　　7.2　賭神貝氏：一賭定終身
　　7.3　死神貝氏：連環恐怖攻擊
　　7.4　神探貝氏：嫌疑犯X 的獻身
　　7.5　單純貝氏：智慧分類
第八章　線性迴歸
　　8.1　預測未來：以數據之名
　　8.2　線性迴歸：奇準的票房預測
　　8.3　適合度評估：適合度檢定與分區段適合度檢定
第九章　漫談機率統計
　　9.1　觀念導正：機率統計常識
　　9.2　後設認知：機率統計之「道」
　　9.3　兵器譜：統計軟體大盤點
　　9.4　大數據：創新與挑戰

前言
第一章　機率
　　1.1　生還是死：這是一個機率問題
　　1.2　隨機事件：翻飛的硬幣
　　1.3　條件機率：門後的老山羊與豪車
　　1.4　獨立事件：反覆拋起的硬幣
　　1.5　全機率公式：英超冠軍爭奪戰
第二章　隨機變量
　　2.1　隨機變量：骰子遊戲
　　2.2　期望與變異數：百變骰子
　　2.3　大數法則：莊家的信條
第三章　統計
　　3.1　從樣本到總體：管中窺豹
　　3.2　頻率、平均數與中位數：致敬「黑曼巴」
　　3.3　變異數與標準差：致敬馬刺
　　3.4　平均數與變異數估計：近射與狙擊
第四章　分布
　　4.1　分布：統計學的...