愛與數學：從童年夢想到解密宇宙，一場穿越理性與情感的心靈旅程

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〈第三章　第五道題〉（節選）
　　彼得羅夫的計畫完美地發揮了作用：我「轉變」（convert）學習數學。我學得很快，對數學研究越深入，就越著迷。越沉迷，我就越想知道。這就是當您墜入愛河時會發生的事情。
　　我開始定期與彼得羅夫會面。他會給我書讀，我每週都會在教育學院見他一次，討論我閱讀過的內容。彼得羅夫定期踢足球、冰球和排球。但像那時候的蘇聯男人一樣，他是個老菸槍。此後很長一段時間中，在我的腦海中，香菸的味道與做數學題目連結在一起。
　　有時我們的談話會持續到深夜。有一次，我們所在的教室被警衛鎖上了，他無法理解這麼晚了還會有人在裡面的狀況。在我們的討論中，我們一定深陷其中，沒有聽到鑰匙轉動的聲音。幸運的是，教室在一樓，我們設法跳窗出來。
　　那一年是1984年，我高中二年級。我必須決定申請哪所大學。莫斯科有很多學校，但只有一所大學學習純數學：莫斯科國立大學（俄語：Moskovskiy Gosudarstvenny Universitet），以其俄語縮寫MGU聞名。其著名的力學與數學系（俄語：Mekh-Mat），是蘇聯數學計畫的旗艦。
　　俄羅斯的大學入學考試與美國學生的SAT考試不同。莫斯科國立大學力學與數學系入學考試有四種：數學筆試、數學口試、文學論文寫作和物理口試。其他和我一樣畢業的高中生需要以最高榮譽入學（在蘇聯，我們當時被授予金牌），在入學考試中獲得最高分5分，之後將自動接受入學。
　　那時我的程度已經遠遠超出了高中數學，所以看起來我會順利通過莫斯科國立大學的考試。
　　但我太樂觀了。第一次警告來自我曾就讀的學校，以信件的形式發出。這所學校幾年前由伊斯拉埃爾‧蓋爾范德（Israel Gelfand）等著名的蘇聯數學家組織（我們稍後會詳細討論他）。這所學校宗旨在協助那些像我一樣住在大城市以外的學生，無法進入特殊數學學校而設計。每個月，參與學生將收到一本小冊子，其中闡明了在學校學習所用且更深入的教材。這也包含了一些問題，比一般學生在學校討論的內容更難，需要練習解決，並且郵寄回來。評分者（通常是莫斯科大學的大學部學生）閱讀這些答案，並將其評分後交還給學生。我在這所學校註冊了三年，在另一所學校也註冊了三年，另一所學校更加以物理為導向。這對我來說是一個有用的資源，儘管學習材料與在學校學習的內容非常接近（與我正和彼得羅夫私下學習的內容不同）。
　　我從這所函授學校收到的信很短：「如果你想申請莫斯科大學，請來我們的辦公室，我們將很高興為你提供建議」，並給了莫斯科國立大學校園的地址和會面時間。我收到信件不久後，就搭了兩個小時的火車前往莫斯科。學校的辦公室是一個大房間，裡面有一堆辦公桌和許多人在工作、打字和修改論文。我介紹了自己，拿出我的邀請信，立刻被帶到了一個身材矮小的年輕女人面前，約三十歲出頭。
　　「你叫什麼名字？」她以打招呼的方式說。
　　「愛德華‧弗倫克爾。」（當時我用的是俄文版的愛德華。）
　　「你想申請莫斯科國立大學嗎？」
　　「是的。」
　　「哪個系？」
　　「力學與數學系。」
　　「我懂了。」她垂下眼簾，問道：
　　「那你的國籍是什麼？」
　　我說：「俄國人。」
　　「真的嗎？你父母的國籍是什麼？」
　　「嗯……我母親是俄羅斯人。」
　　「那你父親呢？」
　　「我的父親是猶太人。」
　　她點點頭。
　　這段對話對您來說可能聽起來很超現實，而當我現在寫下時，我也覺得很超現實。但在1984年左右的蘇聯──記得歐威爾嗎？──問某人他或她的「國籍」並不奇怪。所有蘇聯公民都必須攜帶國內護照。對他們來說，實際上有一條特殊的「國籍」欄──是在（1）名字、（2）父親名、（3）姓氏，以及（4）出生日期等四欄之後出現的，因此──「第五欄」（俄語：pyataya grfa）。國籍也曾經必須記錄在一個人的出生證明上，連同父母親的國籍。如果他們的國籍不同，就像我一樣，那麼父母必須選擇給予孩子哪一個國籍。
　　出於所有意圖和目的，第五欄是詢問一個人是否是猶太人（其他民族，例如韃靼人、亞美尼亞人，也會受到偏見和迫害──儘管規模不及針對猶太人的種族偏見和迫害──也是透過這種方式辨識）。我的第五欄說我是俄羅斯人，但我的姓氏是我父親的姓氏，聽起來明顯是猶太人的姓氏──暴露了我的身分。
　　值得注意的是，我的家人根本沒有宗教信仰。我的父親不是在傳統宗教中長大的，我也不是。事實上，當時宗教幾乎不存在。大多數基督教東正教教堂被摧毀或是關閉。在現存的少數教堂之中，人們可以通常只能找到一些老奶奶，例如我的祖母。她偶爾會去教會參加禮拜活動。猶太會堂很少；我的家鄉甚至沒有猶太會堂。人口接近一千萬的莫斯科，只有一座猶太會堂。去教堂或者猶太會堂非常危險，一個人可能會被特殊的便衣特工發現，然後惹上很多麻煩。因此，當某人被稱為猶太人時，這不是宗教意義上的，而是種族意義上的，或是在「血統」意義上的。
　　即使我沒有使用我父親的姓氏，無論如何，我的猶太血統都會被招生委員會挑出來，因為申請表格特別要求提供父母雙方的全名。那些全名包括父親名；也就是說，包含申請人祖父母的名字。我父親的名字是約瑟夫，聽起來毫無疑問是那個時代蘇聯的猶太人，所以這是另外一種找出答案的方法（如果他的姓氏沒有洩露我的出身的話）。系統是這樣設定標記，那些至少有四分之一是猶太人血統的人。
　　根據這個定義確定我是猶太人後，這位女士說：「您知道莫斯科大學不錄取猶太人嗎？」
　　「您是什麼意思？」
　　「我的意思是你根本不應該申請。不要浪費你的時間。他們不會讓你進去的。」
　　我不知道該說什麼。
　　「這就是您給我寄這封信的原因嗎？」
　　「是的。我只是想幫助你。」
　　我環顧四周。很明顯，即使他們沒有仔細聽，辦公室裡的每個人都知道我們說什麼，這次談話的內容也是如此。這樣的事情已經發生過幾十次了，大家似乎都已經習慣了。他們所有人都把目光移開，彷彿我是一個末期病患。我的心沉了下去。
　　我以前遇到過反猶太主義，但是反個人的，而不是機構層面的歧視。當我五年級時，我的一些同學開始嘲笑我是「猶太人、猶太人」（俄語：evrey, evrey）。我認為他們不知道這是什麼意思（從他們中的一些人混淆了evrey這個詞，這一事實可以清楚地看出，他們的意思是「猶太人」，但是語意是「歐洲人」（俄語：evropeyets）──他們一定聽過父母或其他成年人的反猶太言論（不幸地，反猶太主義在俄羅斯文化中根深柢固）。我夠幸運，有幾個真正的朋友支持我，所以我實際上從未被這些惡霸毆打過，但這是一次不愉快的經歷。我太驕傲了，不敢告訴老師或是我的父母，但是有一天，老師無意中聽到，並且介入。結果，校長立刻告誡那些孩子，嘲笑就停止了。
　　我的父母聽說過大學入學前對於猶太人的歧視，但不知道什麼原因，他們並沒有太關注這一點。在我的家鄉，本來就沒有多少猶太人，而且我父母聽說過物理學科的歧視案例。一個典型的論點是猶太人不被那裡接受，因為這些計畫中的項目和核子研究有關，因此也與國防和國家機密有關；政府不希望這些地區的猶太人介入，因為猶太人可以移民到以色列或其他地方。按照以上邏輯，這不應該成為否定學習純數學學生入學的理由。顯然，有人就這麼硬幹了。
　　我在莫斯科大學的談話一切都很奇怪。而我不只是談論卡夫卡式（Kafkaesque）奇異的面向。我可以得到結論，和我交談的女士只是試圖透過警告我們，來協助我和其他學生即將發生的事情。但是事實真的是如此嗎？請記住，我們正在談論1984年，當時共產黨和克格勃（KGB，前俄羅斯聯邦安全局）仍然緊密相連，控制了蘇聯生活的方方面面。國家官方政策是所有民族都是平等的，如果公開提出，會將一個人置於危險之中。然而這個女人卻平靜地對我這個陌生人說起了這件事。她才剛認識我，似乎也不擔心被她的同事們偷聽。
　　此外，莫斯科國立大學的考試總是比其他學校提前一個月安排。因此，在莫斯科國立大學入學考試失敗的學生，仍然可以有機會申請其他大學。為什麼有人會試圖說服他們，甚至不會嘗試一下？聽起來好像有一些強大的力量試圖嚇唬我和其他猶太學生滾開。
　　但是我不會被嚇倒。在詳細和爸媽討論了這一切之後，爸媽和我都覺得我也沒有什麼好失去的。無論如何，我們決定我要申請莫斯科國立大學，只是希望一切順利。
　　七月初的第一次考試是數學筆試，由五個問題組成。第五道題被認為是致命無法解決的問題，像是考試的第五要素。但我都會答，包括第五道題。我意識到很有可能無論誰給我的考試評分，都可能對平均水準產生偏見，並試圖在我的解決方案中找出差距，我將所有內容都寫得極為詳細。然後我檢查了好幾遍，並且仔細檢查了我所有的論點和計算式，以確保我沒有犯任何的錯誤。一切看起來都很完美！在回家的火車上，我心情很樂觀。第二天我告訴彼得羅夫我的解題方案，他確認一切都是正確的。看來我有很好的開始。
　　我的下一個考試是數學口試，訂於1984年7月13日的黑色星期五舉行。
　　那天的很多細節我記得很清楚。考試安排在中午過後，當天早上我和母親一起從家裡坐火車過去。我在考試前幾分鐘進入了莫斯科國立大學的考場。這是一間普通教室，大概有十五到二十位考生，還有四、五位監考官。考試開始時，我們每個考生從考場前面桌子上的一大堆紙中，抽出一張紙。每張考卷上寫兩個問題，並且將空白面朝上。就像抽彩券一樣，所以我們把這張紙稱為「入場券」（俄語：billet）。總共大概有一百道問題，都是事先知道的。我並不真正關心我會抽到哪一張試題，因為我對這些材料瞭如指掌。抽完試題之後，每位學生必須坐在一張桌子前，用會場提供的白紙應試。
　　我的試卷上的問題是：（1）三角形內接一個圓，並且使用半徑計算三角形面積的公式；（2）兩個函數的比率的導數，求切線斜率（只有公式）。我已經準備好回答這些問題了，我就算睡著了也可以回答這些問題。
　　我坐下來，在一張紙上寫下幾個公式，然後歸納我的想法。這大約花了我兩分鐘的時間。我沒有必要準備更多答案，因為我已經準備好了。我舉起了手。有好幾位考官在考場中，他們都在等待學生舉手。但是很奇怪，他們都假裝沒看到我，就好像我是空氣，不存在一樣。我坐在位子上舉手，他們看著我，卻沒有反應。
　　然後，大約十分鐘後，其他幾個孩子舉起了手，他們一舉手，考官們就衝了過去。審查委員會的考官們坐在學生旁邊，聽他們回答問題。他們離我很近，所以我能聽到他們的聲音。考官們非常有禮貌，大多是點頭稱是，只是偶爾再詢問後續的問題。這都沒有什麼不尋常的。當學生回答完試卷問題後（大約十分鐘後），考官會給他們一個仍然需要解決的問題。這些問題看似簡單，大多數的學生立即解決了這些問題。就是這樣！
　　最開始的幾個學生已經高興地走了，顯然已經得到了最高分5分，而我仍然坐在那裡。最後，我逮到了一位剛要路過的考官，他是一位年輕的小夥子，看起來像是剛取得學位的新科博士，尖銳地問他：「您為什麼不跟我說話？」他看起來急著要走開，輕聲說道：「抱歉，我們不可以和您說話。」
　　考試開始一個多小時後，兩名中年男子走進了考場。他們輕快地走到房間前面的桌子前，向坐在那裡的審查委員會的考官們自我介紹。他們點點頭，指著我。很明顯地，這兩位口試委員就是我一直在等待的人：我的裁判官。
　　他們來到我的辦公桌之前，做了自我介紹。一位是瘦的，說話速度很快；另外一位稍胖，留著大鬍子。
　　「好吧，」那個精瘦的男人開始說了──大部分時間，都是他在說話──「我們現在要幹嘛？第一個問題是什麼？」
　　「三角形內切圓，並且……」
　　他打斷我的話：「圓的定義是什麼？」
　　他非常具有攻擊性，這與其他口試委員對待學生的方式，形成鮮明的對比。而且其他口試委員之前也沒有讓考生有機會完整回答試卷上的問題。
　　我說：「圓是同一平面內到定點的點的集合。」
　　這是標準的定義。
　　「錯了！」男人高興地說。
　　這怎麼可能是錯的呢？他等了幾秒鐘，然後說：「它是同一平面內到定點的所有點的集合。」這聽起來像是對單字的過度解析──這是我惹上麻煩的第一個跡象。
　　「好吧，」那人說，「三角形的定義是什麼？」在我下了這個定義之後，他思考了這個問題，毫無疑問是想搞清楚，如果他能夠更挑剔一點，他繼續說：「三角形內切圓的定義是什麼？」
　　這引導我們定義了切線，然後只是「一條線」，然後還扯了其他事情。很快，他就問我關於歐幾里德第五公設（Euclid's fifth postulate），有關於平行線的獨特性問題，這甚至不是高中課程的一部分！我們正在談論與考題根本不相近的問題，試題上的內容遠遠超出了我應該知道的範圍。
　　我所說的每一句話，都受到質疑。每個概念都必須要定義，如果定義中使用了另外一種概念，然後我立即被要求要重新定義。
　　不用說，如果我的姓是伊凡諾夫，我永遠不會被問到任何問題。回想起來，我應該謹守防線立即抗議，並且告訴口試委員他們已經超出底線。但是，現在說起來很容易。我當時只有十六歲，這些傢伙比我大二十五歲左右。他們管理莫斯科國立大學的入學考試，我覺得有義務盡我所能，回答他們詢問的問題。
　　經過近一小時的審問，我們進入試題中第二個問題。這時，其他學生已經離開，考場中空無一人。顯然地，我是那個考場中唯一需要被「特別照顧」的學生。我猜他們試圖安置每一位猶太學生，這樣就不會超過其中兩個人，在同一處考場。
　　第二題要我寫出兩個函數的比率導數的公式，沒有人要求我下任何的定義，或是要證明。問題說的具體，只是公式。但當然，口試委員們堅持要我向他們解釋微積分課本的一整章。
　　「導數的定義是什麼？」我給出的標準定義，涉及極限的概念。
　　「極限的定義是什麼？」然後，「什麼是函數？」等諸如此類的問題。
　　莫斯科國立大學入學考試中的種族歧視問題是許多坊間書籍的主題。例如，在馬克‧索爾在他發表於《美國數學學會通訊》（Notices of the American Mathematical Society）中犀利深刻的文章中，以我的故事作為例子。他巧妙地將我的考試與《愛麗絲夢遊仙境》（Alice in Wonderland）中紅皇后審問愛麗絲的情景相提並論。我知道答案，但是在這場比賽中，我所說的一切都對我不利，我不可能會贏。

〈第三章　第五道題〉（節選）
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　　有時我們的談話會持續到深夜。有一次，我們所在的教室被警衛鎖上了，他無...

〈給臺灣讀者的話〉


　　很高興《愛與數學》能以繁體中文在臺灣出版。這是英文本原著的第十九種譯本，原書於2013年問世。當時在書的開頭我寫道：「數學是我們日常生活中不可或缺的一部分。每當我們進行網路上購物、發送簡訊、在網路上搜尋資料，或是使用全球定位系統裝置時，數學公式與演算法都在背後發揮作用。」
　　然而，「大多數人卻對數學心生畏懼」；數學成為「我們文化盲點中最陌生的領域，其中只有菁英份子成功地鞏固了自己的地位」。事實上，我撰寫《愛與數學》的其中一個動機，就是想要讓這一片「陌生的領域」對所有人開放，並且強化可親近性。
　　本書出版之後，已經過了十二年，而這個矛盾如今更加鮮明地展現在我們面前。事實上，數學驅動的資訊科技不斷滲入我們的生活，為我們帶來嶄新的機會，以及前所未見的連結，但同時也挑戰我們對現實的感知、對人性意義的理解；甚至挑戰「真理」本身的概念。因此，現今比以往任何時候都更加嚴峻的是：「我們每一個人都應該認識現代數學中那些引人入勝的思想，讓數學成為我們的朋友，而不是敵人。」
　　遺憾的是，我們的數學教育並未與時俱進。當今的數學教學方式仍然像是在教學生如何刷油漆、粉刷牆壁，卻從不讓他們欣賞大師們的繪畫傑作。結果是，多數人從未有機會見識數學的奇妙──更糟的是，他們被這門學科嚇壞了，從此相信自己永遠無法理解數學。我們對數學的無知與恐懼，反而成了有權勢者操弄我們的工具，他們利用數學來謀取私利。想想大規模監控、金融詐騙、社群媒體中用以愚弄控制人類行為的操弄性演算法吧。如今，隨著如ChatGPT等人工智慧系統的出現，我們正進入一個嶄新的時代，數學正轉化為一種強大的武器。數學將被用來造福人類，還是傷害人類？
　　這取決於我們的選擇。我相信，捍衛我們作為人類的尊嚴與主體性，是我們的責任。因此，我們必須確保這些強大的人工智慧AI系統，只被用來激發創造力與創新，擴大我們內在最美好的成分，而非成為束縛我們自由與想像力的枷鎖。
　　法國偉大的哲學家與數學家帕斯卡（Blaise Pascal）曾說：「內心有其理性，是理性所無法理解的。」因此，我們不應將一切都化約為演算法、邏輯與理性思維。我們應該記得追隨內心的聲音。
　　在這本書中，我並不是要教您某些特定的數學概念，而是希望帶給您一個整體、全景式的視野，讓您看到數學是一扇通往隱藏實相的入口，是理解這個世界與我們自身深層真理的鑰匙。
　　數學教導我們，我們彼此之間，以及我們與自然之間，其實存在著比一般所理解的更加深刻的聯繫。我在我的新YouTube影集《AfterMath》中對這個主題有更深入的探討，您可以在我的頻道上找到連結：https://youtube.com/edfrenkel。
　　我將其視為《愛與數學》的「影音書」續篇，每部影片就像是書中的一章。
　　無論是在《愛與數學》或《AfterMath》中，我都主張數學是一座橋梁，連結了物質與心靈、連結了我們對宇宙可知事物的理解，以及那些尚未形成、甚至未知的事物──那正是屬於想像的領域。作為現實與神話之間的介面，數學展現了我們對於整合與圓滿、對於「整合自我」（undivided Self）的渴望。
　　當我們敞開心扉去感受數學永恆的優雅與智慧，我們就不再視自己為龐大機器中的小齒輪。我們會想起：「我們是這個世界的共同創造者，擁有彼此分享美與愛的能力」。


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛德華．弗倫克爾
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2025年5月12日
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　美國加州　柏克萊山丘

〈給臺灣讀者的話〉


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　　然而，「大多數人卻對數學心生畏懼」；數學成為「我們文化盲點中最陌生的領域，其中只有菁英份子成功地鞏固了自己的地位」。事實上，我撰寫《愛與數學》的其中一個動機，就是想要讓這一片「陌生的領域」對所有人開放，...

佳評如潮
譯者序　弗倫克爾的故事：不要放棄你的夢想，用挑戰作為推動成長和成就的動力／方偉達
給臺灣讀者的話
作者序
作者導論
第一章　神祕的野獸
第二章　對稱的本質
第三章　第五道題
第四章　石油天然氣學院
第五章　解決方案的主軸
第六章　數學家的學徒生涯
第七章　大一統理論
第八章　神奇數字
第九章　羅塞塔石碑
第十章　參與循環
第十一章　征服頂峰
第十二章　知識樹
第十三章　哈佛的召喚
第十四章　捆綁智慧
第十五章　精湛的舞蹈
第十六章　量子對偶性
第十七章　發現隱藏的聯繫
第十八章　尋找愛情的公式
尾聲
致謝
註釋
數學名詞解釋

佳評如潮
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