微積分的歷程︰從牛頓到勒貝格

前言
第1章 牛頓
廣義二項展開式
逆級數
《分析學》中求面積的法則
牛頓的正弦級數推導
參考文獻
第2章 萊布尼茨
變換定理
萊布尼茨級數
參考文獻
第3章 伯努利兄弟
雅各布和調和級數
雅各布和他的垛積級數
約翰和xx
參考文獻
第4章 歐拉
歐拉的一個微分
歐拉的一個積分
π的歐拉估值
引人注目的求和
伽瑪函數
參考文獻
第5章 第一次波折
參考文獻
第6章 柯西
極限、連續性和導數
介值定理
中值定理
積分和微積分基本定理
兩個收斂判別法
參考文獻
第7章 黎曼
狄利克雷函數
黎曼積分
黎曼病態函數
黎曼重排定理
參考文獻
第8章 劉維爾
代數數與超越數
劉維爾不等式
劉維爾超越數
參考文獻
第9章 魏爾斯特拉斯
回到基本問題
四個重要定理
魏爾斯特拉斯病態函數
參考文獻
第10章 第二次波折
參考文獻
第11章 康托爾
實數的完備性
區間的不可數性
再論超越數的存在
參考文獻
第12章 沃爾泰拉
沃爾泰拉病態函數
漢克爾的函數分類
病態函數的限度
參考文獻
第13章 貝爾
無處稠密集
貝爾分類定理
若干應用
貝爾的函數分類
參考文獻
第14章 勒貝格
回歸黎曼積分
零測度
集合的測度
勒貝格積分
參考文獻
後記

偉大的思想家恩格斯曾經精闢地指出︰“在一切理論成就中，未必有什麼像17世紀下半葉微積分的發明那樣被看成人類精神的最高勝利了。”20世紀最著名的數學家之一馮‧諾伊曼稱“微積分是現代數學取得的最高成就，對它的重要性怎樣估計也是不會過分的。”

微積分的思想可以追溯到久遠的古代，從兩千多年前一直到中世紀，東西方不斷有人試圖用某種分割的策略解決像計算面積和求切線這樣的問題。但是，這種方法必須面對如何分割和分割到什麼程度的問題，也就是人們後來才意識到的難以捉摸的“無窮小”量和“極限”過程的問題。人們經歷了漫長的歲月也終究未能取得突破。最後，牛頓和萊布尼茨這兩位先驅在前人工作的基礎上創立了微分法和積分法，並且發現它們是一種對立統一的方法(這種對立統一表現為微積分“基本定理”)，再經伯努利兄弟和歐拉的改進、擴展和提高，上升到了分析學的高度。早期的微積分由于缺乏可靠的基礎，很快陷入深重的危機之中。隨後登上歷史舞台的數學大師柯西、黎曼、劉維爾和魏爾斯特拉斯挽危難于既倒，賦予了微積分特別的嚴格性和精確性。然而，隨著應用的擴大和深化，各種復雜和深奧的問題層出不窮，不斷在分析學界引起混亂，導致微積分再度走向危機。到這時，數學家們才發現，嚴格性與精確性其實只解決了邏輯推理本身這個基礎問題，而邏輯推理所依存的理論基礎才是更根本也更難解決的問題。最終，當現代數學天才康托爾、沃爾泰拉、貝爾和勒貝格把嚴格性與精確性同集合論與艱深的實數理論結合起來以後，創建微積分的過程才終于到達終點。

本書把建立微積分的崎嶇歷程中發生的重大事件和出現的杰出人物，一一展現在讀者面前。不過，作者的意圖不在于單純地敘述歷史，也不在于講解微積分知識和描繪數學家的傳奇故事，而是要展現創建微積分的過程中的思想，揭示曲折的過程和最終的結果之間的必然聯系，不僅讓讀者領略到大師們所取得的那些不可企及的成就，更讓讀者體會到他們付出的艱辛勞動。

作者William Dunham教授是知名的數學圖書作家，寫過不少優秀的高端數學科學讀物，曾經榮獲很多重要獎項。

在本書翻譯中，我們力求減少差錯和保持原書格調，但是限于我們自身的專業修養和文字水平，加上書中涉及大量史料和多種文字的引文，疏誤之處在所難免，不當之處，敬請讀者指正。