可視化微分幾何和形式：一部五幕數學正劇

第一幕 空間的本質
第1章　歐幾裡得幾何與非歐幾何　2
1.1　歐幾裡得幾何與雙曲幾何　2
1.2　球面幾何　5
1.3　球面三角形的角盈　8
1.4　曲面的內蘊幾何與外在幾何　9
1.5　通過“直性”來構作測地線　12
1.6　空間的本質　15
第2章　高斯曲率　18
2.1　引言　18
2.2　圓的周長和面積　20
2.3　局部高斯–博內定理　24
第3章　序幕和第一幕的習題　26

第二幕　度量
第4章　曲面映射：度量　34
4.1　引言　34
4.2　球面的投影地圖　36
4.3　一般曲面上的度量　38
4.4　度量曲率公式　41
4.5　共形地圖　43
4.6　講一點兒可視化的複分析　45
4.7　球面的共形球極地圖　49
4.8　球極平面投影公式　53
4.9　球極平面投影的保圓性　55
第5章　偽球面和雙曲平面　57
5.1　貝爾特拉米的洞察　57
5.2　曳物線和偽球面　58
5.3　偽球面的共形地圖　61
5.4　貝爾特拉米–龐加萊半平面　62
5.5　利用光學來求測地線　65
5.6　平行角　68
5.7　貝爾特拉米–龐加萊圓盤　71
第6章　等距變換和複數　74
6.1　引言　74
6.2　默比烏斯變換　76
6.3　主要結果　82
6.4　愛因斯坦的時空幾何學　84
6.5　三維雙曲幾何　90
第7章　第二幕的習題　96

第三幕　曲率
第8章　平面曲線的曲率　110
8.1　引言　110
8.2　曲率圓　112
8.3　牛頓的曲率公式　113
8.4　作為轉向率的曲率　115
8.5　例子：牛頓的曳物線　119
第9章　三維空間中的曲線　121
第10章　曲面的主曲率　124
10.1　歐拉的曲率公式　124
10.2　歐拉的曲率公式的證明　126
10.3　旋轉曲面　127
第11章　測地線和測地曲率　131
11.1　測地曲率和法曲率　131
11.2　默尼耶定理　133
11.3　測地線是“直的”　135
11.4　測地曲率的內蘊量度　136
11.5　量度測地曲率的一個簡單的外在方法　136
11.6　用透明膠帶構作測地線的一個新解釋　137
11.7　旋轉曲面上的測地線　138
11.7.1　球面上的克萊羅定理　138
11.7.2　開普勒第二定律　140
11.7.3　牛頓對開普勒第二定律的幾何證明　142
11.7.4　克萊羅定理的動力學證明　144
11.7.5　應用：再看雙曲平面上的測地線　146
第12章　曲面的外在曲率　149
12.1　引言　149
12.2　球面映射　149
12.3　曲面的外在曲率　151
12.4　哪些形狀是可能的？　154
第13章　高斯的絕妙定理　159
13.1　引言　159
13.2　高斯的漂亮定理（1816年）　159
13.3　高斯的絕妙定理（1827年）　161
第14章　尖刺的曲率　165
14.1　引言　165
14.2　錐形尖刺的曲率　165
14.3　多面角的內蘊曲率與外在曲率　168
14.4　多面體的絕妙定理　170
第15章　形狀導數　172
15.1　方向導數　172
15.2　形狀導數S　175
15.3　S的幾何效應　176
15.4　繞道線性代數：奇異值分解和轉置運算的幾何學　177
15.5　S的一般矩陣　182
15.6　S的幾何解釋和[S]的化簡　184
15.7　[S]由三個曲率完全確定　186
15.8　漸近方向　187
15.9　經典術語和記號：三種基本形式　189
第16章　全域高斯博內定理，引論　191
16.1　一些拓撲學知識與結果的陳述　191
16.2　球面和環面的曲率　194
16.2.1　球面的全曲率　194
16.2.2　環面的全曲率　196
16.3　看一看厚煎餅的K(Sg)　197
16.4　看一看麵包圈和橋的K(Sg)　198
16.5　拓撲度和球面映射　200
16.6　歷史注釋　202
第17章　全域高斯博內定理的第一個證明（啟發性證明）　203
17.1　平面環路的全曲率：霍普夫旋轉定理　203
17.2　變形圓周的全曲率　206
17.3　霍普夫旋轉定理的啟發性證明　208
17.4　變形球面的全曲率　209
17.5　全域高斯–博內定理的啟發性證明　210
第18章　全域高斯博內定理的第二個證明（利用角盈）　213
18.1　歐拉示性數　213
18.2　歐拉的（經驗的）多面體公式　213
18.3　柯西對歐拉多面體公式的證明　216
18.3.1　攤平了的多面體　216
18.3.2　多邊形網的歐拉示性數　217
18.4　勒讓德對歐拉多面體公式的證明　219
18.5　對曲面增加柄以提高其虧格　222
18.6　全域高斯–博內定理的角盈證明　225
第19章　全域高斯博內定理的第三個證明（利用向量場）　227
19.1　引言　227
19.2　平面上的向量場　227
19.3　奇點的指數　228
19.4　原型奇點：複冪函數　231
19.5　曲面上的向量場　234
19.5.1　蜂蜜流向量場　234
19.5.2　蜂蜜流與地形圖的關係　236
19.5.3　怎樣在曲面上定義奇點指數？　238
19.6　龐加萊–霍普夫定理　239
19.6.1　例子：拓撲球面　239
19.6.2　龐加萊–霍普夫定理的證明　241
19.6.3　應用：歐拉–呂以利埃公式的證明　243
19.6.4　龐加萊的微分方程與霍普夫的線場的比較　244
19.7　全域高斯–博內定理的向量場證明　249
19.8　往前的路怎麼走？　253
第20章　第三幕的習題　255

第四幕　平行移動
第21章　一個歷史謎團　268
第22章　外在的構作　270
22.1　一邊前進，一邊向曲面投影　270
22.2　測地線和平行移動　273
22.3　馬鈴薯削皮器的移動　274
第23章　內蘊的構作　278
23.1　沿測地線的平行移動　278
23.2　內蘊（即“協變”）導數　279
第24章　和樂性　283
24.1　例子：球面　283
24.2　一般的測地線三角形的和樂性　285
24.3　和樂性是可加的　286
24.4　例子：雙曲平面　287
第25章　絕妙定理的一個直觀幾何證明　291
25.1　引言　291
25.2　關於記號和定義的一些說明　292
25.3　至今所知的故事　293
25.4　球面映射保持平行移動不變　294
25.5　再說漂亮定理和絕妙定理　295
第26章　全域高斯博內定理的第四個證明（利用和樂性）　297
26.1　引言　297
26.2　沿一條開曲線的和樂性？　297
26.3　霍普夫對全域高斯–博內定理的內蘊證明　299
第27章　度量曲率公式的幾何證明　301
27.1　引言　301
27.2　向量場圍繞回路的環流量　303
27.3　排練：平面上的和樂性　304
27.4　和樂性作為地圖中由度量定義的向量場的環流量　306
27.5　度量曲率公式的幾何證明　309
第28章　曲率是相鄰測地線之間的作用力　310
28.1　雅可比方程簡介　310
28.1.1　零曲率：平面　310
28.1.2　正曲率：球面　312
28.1.3　負曲率：偽球面　314
28.2　雅可比方程的兩個證明　315
28.2.1　測地極坐標　315
28.2.2　相對加速度=速度的和樂性　318
28.3　小測地圓的周長和面積　320
第29章　黎曼曲率　322
29.1　引言和概要　322
29.2　n 流形上的角盈　323
29.3　平行移動：三種構作方法　325
29.3.1　定角錐上的最近向量　325
29.3.2　在平行移動平面內的定角　326
29.3.3　希爾德的梯子　327
29.4　內蘊（又稱“協變”）導數rv　327
29.5　黎曼曲率張量　329
29.5.1　繞一個小“平行四邊形”的平行移動　329
29.5.2　用向量換位子把這個“平行四邊形”封閉起來　331
29.5.3　黎曼曲率的一般公式　332
29.5.4　黎曼曲率是一個張量　334
29.5.5　黎曼張量的分量　336
29.5.6　對於固定的wo，向量的和樂性只依賴於回路所在的平面及其所圍面積　337
29.5.7　黎曼張量的對稱性　338
29.5.8　截面曲率　340
29.5.9　關於黎曼張量起源的歷史注記　341
29.6　n 維流形的雅可比方程　343
29.6.1　截面雅可比方程的幾何證明　343
29.6.2　截面雅可比方程的幾何意義　345
29.6.3　雅可比方程和截面雅可比方程的計算證明　346
29.7　裡奇張量　347
29.7.1　由一束測地線包圍的面積的加速度　347
29.7.2　裡奇張量的定義和幾何意義　349
29.8　終曲　351
第30章　愛因斯坦的彎曲時空　352
30.1　引言：“我一生中最快樂的想法”　352
30.2　引力的潮汐力　354
30.3　牛頓引力定律的幾何形式　358
30.4　時空的度量　360
30.5　時空的圖示　362
30.6　愛因斯坦的真空場方程的幾何形式　363
30.7　施瓦氏解和愛因斯坦理論的最初驗證　366
30.8　引力波　371
30.9　愛因斯坦的（有物質的）場方程的幾何形式　374
30.10　引力坍縮成為黑洞　377
30.11　宇宙學常數：“我一生中最嚴重的錯誤”　381
30.12　結束語　383
第31章　第四幕的習題　384

第五幕　形式
第32章　1-形式　394
32.1　引言　394
32.2　1-形式的定義　395
32.3　1-形式的例子　397
32.3.1　引力做功的1-形式　397
32.3.2　引力做功1-形式的可視化　398
32.3.3　等高線圖和梯度1-形式　399
32.3.4　行向量　402
32.3.5　狄拉克符號（左矢）　402
32.4　基底1-形式　403
32.5　1-形式的分量　404
32.6　梯度df是1-形式　405
32.6.1　複習：梯度 f是一個向量　405
32.6.2　梯度df是一個1-形式　406
32.6.3　1-形式的笛卡兒基{dxj}　407
32.6.4　df =( xf)dx+( yf)dy的1-形式解釋　408
32.7　1-形式加法的幾何解釋　408
第33章　張量　411
33.1　張量的定義：階　411
33.2　例子：線性代數　412
33.3　從原有的張量做出新張量　412
33.3.1　加法　412
33.3.2　乘法：張量積　413
33.4　分量　413
33.5　度量張量與經典線元的關係　414
33.6　例子：再看線性代數　415
33.7　縮並　416
33.8　用度量張量來改變張量的階　417
33.9　對稱張量和反對稱張量　419
第34章　2-形式　421
34.1　2-形式和p-形式的定義　421
34.2　例子：面積2-形式　422
34.3　兩個1-形式的楔積　423
34.4　極坐標下的面積2-形式　426
34.5　基底2-形式及投影　427
34.6　2-形式與R3中向量的聯繫：流量　429
34.7　R3中向量積與楔積的關係　431
34.8　法拉第的電磁2-形式與麥克斯韋的電磁2-形式　433
第35章　3-形式　439
35.1　3-形式需要三個維度　439
35.2　一個2-形式與一個1-形式的楔積　439
35.3　體積3-形式　440
35.4　球極坐標中的3-形式　441
35.5　三個1-形式的楔積，p個1-形式的楔積　442
35.6　基底3-形式　444
35.7　Ψ^Ψ≠0可能嗎？　445
第36章　微分學　446
36.1　1-形式的外導數　446
36.2　2-形式和p-形式的外導數　448
36.3　形式的萊布尼茨法則　449
36.4　閉形式和恰當形式　450
36.4.1　基本結果：d2=0　450
36.4.2　閉形式和恰當形式　450
36.4.3　複分析：柯西–黎曼方程　451
36.5　用形式做向量運算　452
36.6　麥克斯韋方程組　456
第37章　積分學　459
37.1　1-形式的線積分　459
37.1.1　環流和功　459
37.1.2　與路徑的無關性<=>閉合環路積分為零　460
37.1.3　恰當形式φ=df的積分　461
37.2　外導數是一個積分　461
37.2.1　1-形式的外導數　461
37.2.2　2-形式的外導數　465
37.3　外微積分基本定理（廣義斯托克斯定理）　467
37.3.1　外微積分基本定理　467
37.3.2　相伴的歷史問題　467
37.3.3　例子：面積　468
37.4　邊界的邊界是零　468
37.5　向量微積分的經典積分定理　469
37.5.1　Φ=0-形式　469
37.5.2　Φ=1-形式　470
37.5.3　Φ=2-形式　471
37.6　外微積分基本定理的證明　471
37.7　柯西定理　474
37.8　1-形式的龐加萊引理　474
37.9　德拉姆上同調初步　475
37.9.1　引言　475
37.9.2　一個特殊的二維渦旋向量場　476
37.9.3　渦旋1-形式是閉的　477
37.9.4　渦旋1-形式的幾何意義　477
37.9.5　閉1-形式的環流的拓撲穩定性　478
37.9.6　第一德拉姆上同調群　480
37.9.7　R3中的平方反比點源　482
37.9.8　第二德拉姆上同調群　483
37.9.9　環面的第一德拉姆上同調群　485
第38章　用形式來講微分幾何　488
38.1　引言：嘉當的活動標架法　488
38.2　聯絡1-形式　490
38.2.1　關於符號的約定和兩個定義　490
38.2.2　聯絡1-形式　491
38.2.3　注意：以前習慣的記號　493
38.3　姿態矩陣　494
38.3.1　通過姿態矩陣來講連絡形式　494
38.3.2　例子：柱面標架場　495
38.4　嘉當的兩個結構方程　498
38.4.1　用ej的對偶dxj來表示mi的對偶θi　498
38.4.2　嘉當第一結構方程　498
38.4.3　嘉當第二結構方程　499
38.4.4　例子：球面標架場　500
38.5　曲面的6個基本形式方程　505
38.5.1　使嘉當的活動標架適用於曲面：形狀導數與外在曲率　505
38.5.2　例子：球面　507
38.5.3　基底分解的唯一性　508
38.5.4　曲面的6個基本形式方程　509
38.6　對稱性方程和彼得松–梅納第–科達齊方程的幾何意義　510
38.7　高斯方程的幾何形式　511
38.8　度量曲率公式和絕妙定理的證明　512
38.8.1　引理：ω12的唯一性　512
38.8.2　度量曲率公式的證明　512
38.9　一個新的公式　514
38.10　希爾伯特引理　514
38.11　利布曼的剛性球面定理　515
38.12　n 流形的曲率2-形式　517
38.12.1　引言和概述　517
38.12.2　廣義外導數　519
38.12.3　由曲率2-形式導出黎曼張量　520
38.12.4　再論比安基恒等式　521
38.13　施瓦西黑洞的曲率　522
第39章　第五幕的習題　528
人名索引　541
術語索引　546