算術基礎：關於數的概念的一種邏輯數學的研究(德文、漢文)

序言
§1 近年來，在數學中已明顯地呈現出一種努力追求嚴格證明與精確理
解概念的趨勢。 _27
§2 這種嚴格的考察最終也涉及基數的概念本身。證明的目的。 _29
§3 這種研究的哲學動機：對於數的法則是分析的真還是綜合的真，是
先天的還是後天的問題的爭論。這些運算式的涵義。 _31
§4 本書的任務。 _33
I 某些學者關於算術命題性質的觀點
數的公式是可證的嗎？
§5 康得否認漢克爾有理由稱為悖論的東西。 _35
§6 萊布尼茨關於 2 + 2 = 4 的證明有一個漏洞。格拉斯曼關於 a + b
的定義是有缺陷的。 _39
§7 密爾關於單個數的定義斷定了可觀察的事實，由此而來的計算的觀
點是沒有根據的。 _43
§8 就合法性而言，這些定義並不需要對那些事實的觀察。 _47
算術的法則是歸納的真嗎？
§9 密爾的自然法則。在把算術的真稱為自然法則時，密爾混淆了算術
的真與它的應用。 _51
§10 反對加法法則是歸納的真的理由：數的異質性；我們並沒有通過定
義而獲得一個數的共同特性的集合。很可能反過來，歸納是以算術
為基礎的。 _55
§11 萊布尼茨的“天賦的”。 _61
算術的法則是先天綜合的還是分析的？
§12 康得。鮑曼。利普希茨。漢克爾。內在直觀作為知識基礎。 _63
§13 算術和幾何的區分。 _67
§14 就其應用領域而言，不同種類的真之間比較。 _69
§15 萊布尼茨和耶芳斯的看法。 _71
§16 反對他們的觀點，密爾對“語言的巧妙運用”的嘲弄。記號並不因
為它不意謂可感知的事物就是空洞的。 _73
§17 歸納的不充分性。數的法則是分析判斷的猜想；使用它們的情況如
何。對分析判斷的價值評估。 _75
II一些學者關於基數概念的觀點
§18 研究基數的普遍概念的必要性。 _77
§19 定義不能是幾何學的。 _79
§20 數是可定義的嗎？漢克爾。萊布尼茨。 _81
基數是外在事物的一種性質嗎？
§21 G. 康托爾與 E. 施羅德的觀點。 _83
§22 反對他們的觀點，鮑曼認為：外在的事物並不表現嚴格的單位，基數
似乎取決於我們的理解。 _85
§23 密爾的這種看法，即認為數是事物聚集的性質，是站不住腳的。 _89
§24 數的廣泛的可應用性。密爾。洛克。萊布尼茨的非物質的形而上學
的圖形。如果數是某種可感覺的東西，那麼，它就不能被歸為無感
覺的東西。 _91
§25 密爾的關於 2 和 3 之間的物理的區別。根據貝克萊，數事實上不
是在事物之中，而是通過精神創造的東西。 _95
數是某種主觀的東西嗎？
§26 利普希茨關於數的構造的描述是不合適的，並且不能代替一種關於數
的概念的規定。數並不是某種心理的物件，而是某種客觀的東西。 _97
§27 數並不像施羅米爾希所主張的那樣，是在一個序列中物件位置的
表像。 _103
作為集合的基數。
§28 托邁的命名。 _107
III關於單位和一的觀點。
數詞“一”表達物件的一種性質嗎？
§29 “ ο ”與“單位”這兩個表述的多義性。 E. 施羅德將單位解釋成
計數的物件似乎是無效的。形容詞“一”並不包含更進一步的規定
性，不能起到謂詞作用。 _109
§30 根據萊布尼茨和鮑曼所嘗試的定義，單位這個概念似乎完全消失了。
_113
§31 鮑曼關於未分性與分界性的標誌。單位這個觀念並不是由每個物件
提供給我們的（洛克）。 _113
§32 不過，語言仍然說明了未分性與分界性的關聯，然而在這裡涵義發
生了變化。 _115
§33 將不可分性（ G. 科珀）作為單位的標準是不能成立的。 _117
單位是彼此相同嗎？
§34 相同作為命名“單位”的理由。 E. 施羅德。霍布斯。休謨。托邁。
通過抽象掉事物的不同，人們不能獲得基數的概念。由此，事物彼
此之間也不相同。 _119
§35 如果我們談論多，差異性也是必要的。笛卡爾， E. 施羅德，耶
芳斯。 _123
§36 關於單位是差異的觀點也遇到了困難。耶芳斯的不同的一。 _125
§37 洛克、萊布尼茨、黑塞從單位或一定義數。 _127
§38 “一”是專名，“單位”是概念詞。數不能定義為單位。“和”
與 + 的區別。 _129
§39 化解單位的可區別性與相等性的這個困難由於“單位”的多義性而
被掩蓋。 _133
克服這個困難的努力。
§40 時間和空間作為區別的手段。霍布斯、托邁。與之相對：萊布尼茨、
鮑曼、耶芳斯。 _137
§41 這個目的實現不了。 _139
§42 序列中的位置作為區別的手段。漢克爾的確定。 _141
§43 施羅德通過記號 1 來摹繪對象。 _143
§44 耶芳斯通過抽象掉差異的特徵而保留其實存。 0 和 1 是像其他的數
一樣的數。困難依然存在。 _145
困難的解決。
§45 回顧。 _151
§46 數的陳述包含了一個關於概念的斷言。反對認為數改變而概念
不變。 _153
§47 數的陳述是由概念的客觀性而得以解釋的事實的陳述。 _155
§48 解決幾個困難。 _157
§49 斯賓諾莎的確證。 _159
§50 E. 施羅德的闡釋。 _161
§51 對同樣問題的修正。 _161
§52 在一種德語的慣用法中的確證。 _163
§53 一個概念的特徵和性質之間的區別。存在與數。 _165
§54 人們稱數的陳述的主詞為單位。單位的不可分性與分界性。相等與
可區分性。 _167
IV
基數這個概念
每個單個的數都是獨立的對象。
§55 嘗試補充萊布尼茨關於單個數的定義。 _171
§56 這些嘗試的定義是不可用的，因為它們說明了一個陳述，而數只是
這個陳述的一部分。 _173
§57 數的陳述被看作數之間的一種相等。 _175
§58 反對意見認為，數作為一種獨立的物件是不可想像的。數根本就不
可想像。 _177
§59 一個物件並不能因為不可想像而被排除在研究之外。 _179
§60 具體事物自身並不總是可想像的。如果人們追問語詞的意謂的話，
那麼就必須在命題中考察語詞。 _181
§61 反對觀點認為數是非空間的。並非每種客觀的物件都是空間的。
_183
為了獲得基數的概念，人們必須確定數相等的意義。
§62 我們需要一個表示數相等的標準。 _185
§63 一一對應作為標準的可能性。對定義相等的邏輯質疑，特別是在數
這種特定事例中。 _187
§64 一個類似過程的例子：方向，平面上的位置，一個三角形的圖形。
_189
§65 嘗試一個定義。質疑二：相等的法則是否充分？ _191
§66 質疑三：相等的標準是不充分的。 _195
§67 我們不能補充說，人們像引入物件那樣獲得概念的特徵。 _197
§68 基數作為概念的外延。 _199
§69 說明。 _201
我們的定義的完善與證明其價值。
§70 關係概念。 _203
§71 通過一種關係的對應。 _209
§72 一一對應的關係。基數的概念。 _211
§73 屬於概念 F 的基數等同於屬於概念 G 的基數，當且僅當歸屬於概
念 F 的物件與歸屬於概念 G 的物件之間存在一種一一對應的關係。
_215
§74 零是歸屬於“與自身不相等”的概念的基數。 _217
§75 零是歸屬於沒有任何東西落入其下的概念的基數。如果零是這樣概
念的基數，沒有任何物件落入這樣概念之下。 _221
§76 說明“n 在自然數序列中緊跟 m”這樣運算式。 _223
§77 1 是“與零相等”的概念的基數。 _225
§78 借助于我們的定義證明命題。 _229
§79 序列中跟隨的定義。 _231
§80 評注。跟隨的客觀性。 _233
§81 說明運算式“x 屬於以 y 結尾的 φ 序列”。 _235
§82 關於“自然數不存在最後一項”證明的提示。 _237
§83 有窮基數的定義。在自然數序列中任何一個有窮基數都不跟隨其
自身。 _239
無窮基數。
§84 屬於“有窮基數”概念的基數是一個無窮基數。 _241
§85 康托爾的無窮基數；“勢”。命名的不同。 _243
§86 康托爾的順序中的後繼與我的序列中的跟隨。 _245
V結論。
§87 算術法則的性質。 _247
§88 康得對分析判斷的低估。 _249
§89 康得的命題：“離開感性，物件不能被給予。”康得對於數學的
貢獻。 _251
§90 對算術法則分析性質的完整的證明缺乏一種無漏洞的推理鏈條。
_253
§91 通過我的概念文字可彌補這一缺陷。 _255
其他的數。
§92 根據漢克爾的看法，追問數的可能性的意義。 _257
§93 數既不是空間外在的東西，又不是主觀的東西。 _259
§94 一個概念的無矛盾性並不能保證有任何東西落入這個概念之下，
並且概念自身需要證明。 _261
§95 我們並不能立即將“c - b”看成解決減法問題的記號。 _263
§96 數學家也不能任意地創造一些東西。 _265
§97 要區分概念和物件。 _267
§98 漢克爾對於加法的說明。 _267
§99 形式理論的缺陷。 _269
§100 以一種特定的方式擴展乘法的意謂來說明複數的努力。 _271
§101 這樣一種證明的可能性對於一個證明的效力來說並不是不重
要的。 _273
§102 一個運算應該是可行的這樣純粹的要求並不是要求的滿足。 _273
§103 科薩克關於複數的說明僅是定義的引導，並沒有避免引入陌生的
數類。幾何的表徵。 _275
§104 對於新數來說，關鍵是要確定重認新數判斷的涵義。 _277
§105 算術的魅力在於其理性的特徵。 _281
§106—109 回顧。 _281
德中譯名對照表 _291
譯後記 _293