張量分析

第1章 矢量與張量1
1.1矢量及其代數運算公式1
1.1.1矢量1
1.1.2點積2
1.1.3叉積2
1.1.4混合積3
1.2斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量5
1.2.1平面內的斜角直線坐標系5
1.2.2三維空間中的斜角直線坐標系7
1.2.2.1斜角直線坐標系7
1.2.2.2協變基矢量7
1.2.2.3逆變基矢量8
1.2.2.4由協變基矢量求逆變基矢量8
1.2.2.5指標升降關係9
1.3曲線坐標系10
1.3.1曲線坐標系的定義10
1.3.2空間點的局部基矢量11
1.3.3正交曲線坐標系與Lamé常數12
1.4座標轉換13
1.4.1基矢量的轉換關係13
1.4.2協變與逆變轉換係數14
1.4.3矢量分量的座標轉換關係14
1.4.4度量張量分量的座標轉換關係15
1.5並矢與並矢式15
1.5.1並矢15
1.5.2縮並17
1.5.3並矢的點積與雙點積17
1.5.4並矢的相等18
1.6張量的基本概念18
1.6.1矢量的分量標記法與實體標記法18
1.6.2張量的定義與兩種標記法20
1.6.2.1張量的分量標記法21
1.6.2.2張量的實體標記法（並矢標記法）22
1.6.3度量張量23
1.7張量的代數運算24
1.7.1張量的相等24
目錄
張量分析（第3版）1.7.2張量的相加24
1.7.3標量與張量相乘25
1.7.4張量與張量並乘25
1.7.5張量的縮並25
1.7.6張量的點積26
1.7.7轉置張量27
1.7.8張量的對稱化與反對稱化27
1.7.9張量的商法則28
1.8張量的矢積32
1.8.1置換符號與行列式的展開式32
1.8.2置換張量（Eddington張量）與~δ等式33
1.8.3矢積36
1.8.3.1兩個矢量的矢積36
1.8.3.2三個矢量的混合積37
1.8.3.3三個矢量的三重積38
1.8.3.4張量的矢積38
習題39

第2章 二階張量45
2.1二階張量的矩陣45
2.1.1二階張量的四種分量所對應的矩陣45
2.1.2二階張量的轉置，對稱、反對稱張量及其所對應的矩陣46
2.1.3二階張量的行列式47
2.1.4二階張量的代數運算與矩陣的代數運算47
2.2正則與退化的二階張量49
2.2.1關於映射的幾個定理49
2.2.2正則與退化49
2.3二階張量的不變數50
2.3.1張量的標量不變數50
2.3.2二階張量的三個主不變數51
2.3.3二階張量的矩51
2.4二階張量的標準形52
2.4.1實對稱二階張量的標準形52
2.4.1.1基本概念52
2.4.1.2對稱二階張量的特徵方程53
2.4.1.3實對稱二階張量的特徵根必為實根54
2.4.1.4實對稱二階張量主方向的正交性54
2.4.1.5實對稱二階張量所對應的線性變換54
2.4.1.6主分量是當座標轉換時N的混合分量對角元素之駐值54
2.4.1.7對稱二階張量標準形的應用55
2.4.2非對稱二階張量的標準形56
2.4.2.1特徵方程無重根的情況56
2.4.2.2特徵方程有重根的情況58
2.5幾種特殊的二階張量63
2.5.1零二階張量O63
2.5.2度量張量G63
2.5.3二階張量的冪64
2.5.3.1二階張量的正整數次冪64
2.5.3.2二階張量的零次冪64
2.5.3.3二階張量的負整數次冪64
2.5.4正張量、非負張量及其方根、對數64
2.5.5二階張量的值66
2.5.6反對稱二階張量66
2.5.6.1定義66
2.5.6.2反對稱二階張量的主不變數66
2.5.6.3反對稱二階張量的標準形66
2.5.6.4反對稱二階張量的反偶矢量67
2.5.6.5反對稱二階張量Ω所對應的線性變換68
2.5.7正交張量68
2.5.7.1定義68
2.5.7.2正交變換的“保內積”性質69
2.5.7.3正交張量的並矢運算式69
2.5.7.4正交張量的標準形69
2.6二階張量的分解71
2.6.1二階張量的加法分解71
2.6.1.1球形張量與偏斜張量72
2.6.1.2利用偏斜張量求對稱二階張量的主分量與主方向73
2.6.1.3二階張量標量不變數的進一步分析75
2.6.2二階張量的乘法分解(極分解)78
2.7正交相似張量79
習題80

第3章 張量函數及其導數83
3.1張量函數、各向同性張量函數的定義和例83
3.1.1什麼是張量函數83
3.1.2張量函數舉例84
3.1.3各向同性張量函數85
3.2矢量的標量函數87
3.3二階張量的標量函數89
3.4二階張量的二階張量函數91
3.4.1二階張量的解析函數91
3.4.2HamiltonCayley等式92
3.4.3同時化為對角型標準形的函數94
3.4.4對稱張量的對稱張量函數96
3.5張量函數導數的定義，鏈規則101
3.5.1有限微分、導數與微分101
3.5.2張量函數導數的鏈規則105
3.5.3兩個張量函數乘積的導數106
3.6矢量的函數之導數107
3.6.1矢量的標量函數107
3.6.2矢量的矢量函數108
3.6.3矢量的二階張量函數109
3.6.4張量函數的梯度、散度和旋度109
3.6.4.1張量函數的梯度110
3.6.4.2張量函數的散度110
3.6.4.3張量函數的旋度111
3.7二階張量的函數之導數111
3.7.1二階張量的標量函數之導數111
3.7.2二階張量的不變數的導數113
3.7.3二階張量的張量函數之導數114
習題116

第4章 曲線座標張量分析120
4.1基矢量的導數、Christoffel符號120
4.1.1協變基矢量的導數及第二類Christoffel符號121
4.1.2第一類Christoffel符號 122
4.1.3逆變基矢量的導數123
4.1.4g對座標的導數，Γjji 的計算公式124
4.1.5座標轉換時Christoffel符號的轉換公式124
4.2張量場函數對矢徑的導數、梯度124
4.2.1有限微分、導數與微分125
4.2.2梯度126
4.3張量分量對座標的協變導數127
4.3.1矢量場函數的分量對座標的協變導數128
4.3.2張量場函數的分量對座標的協變導數131
4.3.3協變導數的一些性質132
4.4張量場函數的散度與旋度135
4.5積分定理137
4.5.1預備知識137
4.5.2Green變換公式138
4.5.3Stokes變換公式141
4.6RiemannChristoffel張量(曲率張量)144
4.6.1Euclidean空間與Riemann空間144
4.6.2Euclidean空間應滿足的條件146
4.6.3證明Rp·rsq是張量分量148
4.6.4RiemannChristoffel張量的性質149
4.6.5關於張量分量二階協變導數的Ricci公式、Bianchi恒等式151
4.7張量方程的曲線座標分量表示方法153
4.8非完整系與物理分量154
4.8.1非完整系154
4.8.2物理分量157
4.8.2.1非完整系基矢量的選擇157
4.8.2.2矢量的物理分量157
4.8.2.3二階張量的物理分量158
4.9正交曲線坐標系中的物理分量159
4.9.1正交標準化基、度量張量與物理分量159
4.9.2基矢量對座標的導數160
4.9.3正交系中張量運算式的物理分量形式161
習題163

第5章 曲面上的張量分析169
5.1曲面的基本知識169
5.1.1曲面的參數方程與Gauss座標169
5.1.2曲面的基本矢量170
5.1.3曲面的第一基本張量171
5.1.4曲面的第二基本張量172
5.1.5曲面上曲線的曲率，曲面的法截面曲率、主曲率、平均曲率與
Gauss曲率173
5.1.5.1曲面上曲線的曲率、Frenet公式173
5.1.5.2曲面的法截面曲率175
5.1.5.3曲面的主曲率、平均曲率、Gauss曲率176
5.1.6曲率線、主座標、漸近線178
5.1.7旋轉張量183
5.1.8非完整系與物理分量184
5.2曲面上基本矢量的求導公式185
5.2.1法向矢量對座標的導數（Weingarten公式）185
5.2.2基矢量對座標的導數（Gauss求導公式），曲面上的
Christoffel符號186
5.2.3第一基本張量分量的導數與協變導數187
5.2.4單位矢量的求導公式188
5.3曲面的基本方程，RiemannChristoffel張量189
5.3.1Codazzi方程與Gauss方程189
5.3.2RiemannChristoffel張量190
5.3.3可展曲面與不可展曲面192
5.3.4Gauss方程的其他形式192
5.3.5以物理分量表達的Codazzi方程與Gauss方程193
5.4曲面上場函數的導數194
5.4.1曲面上的標量場函數194
5.4.2曲面上的矢量場函數195
5.4.2.1曲面上矢量場函數的微分與梯度195
5.4.2.2曲面上矢量場函數的梯度之分量運算式196
5.4.2.3曲面上矢量場函數的散度與旋度198
5.4.3曲面上的切面張量場函數198
5.5等距曲面（平行曲面）200
5.5.1等距曲面的基矢量200
5.5.2等距曲面的第一基本形201
5.5.3參考曲面的第三基本形202
5.5.4等距曲面上面元的面積204
5.5.5等距曲面的第二基本形204
5.5.6主坐標系中等距曲面的幾何參數205
5.6曲面理論的一個應用實例206
5.6.1碳納米曲面的描述207
5.6.2碳納米曲面變形的描述209
5.6.3碳納米曲面的本構關係212
5.6.4石墨烯片剛度212
5.6.5石墨烯捲曲成單壁碳納米管214
習題218

第6章 張量場函數對參數的導數220
6.1質點運動220
6.1.1質點的運動速度220
6.1.2任意矢量對參數的導數221
6.1.3舉例223
6.2Euler座標與Lagrange座標226
6.2.1Euler座標226
6.2.2Lagrange座標227
6.2.3兩種坐標系的轉換關係229
6.2.4質點速度和物質導數229
6.3基矢量的物質導數230
6.3.1Lagrange基矢量的物質導數230
6.3.2度量張量的物質導數、應變率張量232
6.3.3速度場的加法分解233
6.3.4Euler基矢量的物質導數235
6.4矢量場函數的導數235
6.4.1Lagrange坐標系中矢量場函數的物質導數235
6.4.2Euler坐標系中矢量場函數的物質導數、全導數237
6.4.3座標轉換關係240
6.4.4矢量場函數的相對導數240
6.4.5各種導數間的關係244
6.5張量場函數的導數244
6.5.1任意階張量函數的物質導數244
6.5.2二階張量場函數及其相對導數249
6.6連續介質變形與運動的初步知識253
6.6.1變形梯度張量，線元、面元與體元的變換253
6.6.2線元、面元與體元的物質導數255
6.6.3變形梯度張量的極分解257
6.6.4Green應變張量257
6.6.5應力張量259
6.6.6應力率260
6.6.7彈性本構關係261
6.6.8舉例262
6.6.9張量場函數在域上積分的導數264
6.6.9.1張量場函數在物質體積域上的品質積分264
6.6.9.2張量場函數在物質體積域上的體積積分265
6.6.9.3張量通過物質開曲面的通量267
6.6.9.4張量沿物質封閉曲線的環量269
6.6.9.5張量場函數在非物質域上積分的導數270
習題272
習題答案274
參考文獻306