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通俗數學分析選講的圖書 |
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圖書介紹 - 資料來源：博客來 評分：
圖書名稱：通俗數學分析選講
內容簡介
《通俗數學分析N講》一書在以輕鬆、通俗的方式解釋數學分析重要思想，概念，定理的同時，通過習題的講解兼顧對讀者精確數學寫作的訓練。本書從極限概念的講解入手，引出導數與微分的概念，然後在此基礎上對積分進行了詳細的講解，最後講解了函數項級數。本書內容豐富，例題的講解深入淺出，並且較為詳實，尤其適合初等數學向高等數學過渡階段的數學愛好者研習，故本書可以當作高等數學的初級入門教材。本書兼具實用性與趣味性，適合高等數學的初級愛好者以及相關專業的教師閱讀與參考。
目錄
第1章 極限
1.1 數列極限
1.1.1 什麼是可列無窮
1.1.2 變數的數學
1.1.3 從日常生活到數列極限
1.1.4 數列極限的嚴格定義
1.1.5 極限的等價描述
1.1.6 什麼時候不收斂
1.1.7 大學數學從極限開始合適嗎
1.1.8 數列極限的簡單例子
1.1.9 利用夾擠定理計算極限
1.1.10 無窮大量：趨於無窮
1.2 實數系的連續性與完備性
1.2.1 用確界原理描述實數連續性
1.2.2 單調有界原理
1.2.3 單調有界原理應用：e和為什麼要定義它
1.2.4 單調有界原理應用：Euler常數
1.2.5 閉區間套定理
1.2.6 Bolzano-Weierstrass定理
1.2.7 Cauchy收斂原理的敘述和解釋
1.2.8 Cauchy收斂原理的證明和應用
1.2.9 有界數列上下極限
1.3 數項級數
1.3.1 數項級數定義與基本問題
1.3.2 Cauchy與d’Alembert判別法
1.3.3 級數收斂的Cauchy收斂原理
1.3.4 級數的條件收斂與絕對收斂
1.3.5 作為無窮和的級數的結合律與交換律
1.3.6 分配律：將級數的乘法展開成級數
1.3.7 Cesaro求和
1.4 函數連續性
1.4.1 函數極限定義
1.4.2 連續性
1.4.3 一致連續性
1.4.4 有界閉區間上連續函數像為有界閉區間
第2章 導數與微分
2.1 一元函數導數與微分
2.1.1 作為瞬時速度的導數
2.1.2 簡單初等函數導數
2.1.3 求導法則
2.1.4 高階無窮小量
2.1.5 微分在幹什麼：線性近似
2.1.6 微分究竟是什麼：假假真真的解釋
2.1.7 停下來回顧
2.1.8 微分形式不變性
2.2 從Fermat引理到Taylor展開
2.2.1 Fermat引理及其推論
2.2.2 單調性與凸性
2.2.3 Jensen與Holder不等式
2.2.4 Taylor公式的匯出
2.2.5 若干初等函數Taylor展開
2.3 多元函數與向量值函數微分
2.3.1 多元函數的微分
2.3.2 多元函數偏導數與方向導數
2.3.3 多元函數高階偏導數
2.3.4 向量值函數微分與Jacobi矩陣
2.3.5 從Jacobi矩陣的鏈式法則到微分形式不變性
2.3.6 從微分形式不變性到Jacobi矩陣的鏈式法則
2.4 隱函數定理
2.4.1 隱函數定理的動機和道理
2.4.2 隱函數定理的證明
2.4.3 曲面與等值面
2.4.4 反函數定理
2.4.5 極值問題
2.4.6 梯度與機器學習
第3章 積分
3.1 定積分
3.1.1 定積分概念的引入
3.1.2 定積分的定義
3.1.3 可積的充分必要條件
3.1.4 定積分的應用：微元法
3.1.5 Newton—Leibniz公式
3.1.6 微積分基本定理
3.1.7 連續情形下兩個定理的等價性
3.1.8 定積分的變數替換公式與分部積分公式
3.1.9 Riemann引理
3.1.10 漸近單位元
3.1.11 。Jensen不等式與HSlder不等式
3.1.12 若干其他定積分不等式
3.1.13 定積分與內積
3.1.14 反常積分的定義與基本問題
3.1.15 反常積分條件收斂與絕對收斂
3.2 重積分
3.2.1 二維Euclid空間中可求面積區域
3.2.2 二重積分與多重積分定義及其可積性
3.2.3 積分的回顧
3.2.4 Fubini定理
3.2.5 重積分變數替換公式
3.2.6 反常重積分
3.2.7 定積分與重積分的差異
3.3 曲線與曲面上函數積分
3.3.1 弧長公式
3.3.2 曲線上函數積分定義
3.3.3 曲面面積公式
3.3.4 曲面上函數積分定義
3.4 曲線與曲面上微分形式積分
3.4.1 1形式，2形式和外積
3.4.2 n形式和外積
3.4.3 曲線上1形式積分
3.4.4 曲線上1形式積分計算
3.4.5 曲面定向
3.4.6 曲面上2形式積分
3.4.7 曲面上2形式積分計算
3.4.8 Green公式
3.4.9 Green公式與平面有洞區域
3.4.10 Stokes公式
3.4.11 GaUSS公式
3.4.12 GaUSS公式與三維有洞區域
3.4.13 外微分，Stokes公式，Poincare引理
第4章 函數項級數
4.1 何謂函數列的收斂
4.1.1 點態收斂
4.1.2 點態收斂的不足與極限換序
4.1.3 一致收斂
4.1.4 一致收斂與極限和積分換序
4.1.5 一致收斂與求導換序
4.1.6 一致收斂的Cauchy收斂原理及其推論
4.2 整整齊齊的冪級數
4.2.1 冪級數的收斂性
4.2.2 冪級數和函數的性質
4.2.3 若干初等函數的冪級數展開
4.2.4 Taylor級數展開的不足和Weierstrass第一逼近定理
4.3 Fourier級數
4.3.1 動機：用三角函數級數表示函數
4.3.2 放到圓周上
4.3.3 Dirichlet積分
4.3.4 Riemann引理與局部性原理
4.3.5 點態收斂結論略述
4.3.6 Fourier級數的Cesaro求和
4.3.7 假設這是一個內積空間：平方和逼近
4.3.8 Parseval
1.1 數列極限
1.1.1 什麼是可列無窮
1.1.2 變數的數學
1.1.3 從日常生活到數列極限
1.1.4 數列極限的嚴格定義
1.1.5 極限的等價描述
1.1.6 什麼時候不收斂
1.1.7 大學數學從極限開始合適嗎
1.1.8 數列極限的簡單例子
1.1.9 利用夾擠定理計算極限
1.1.10 無窮大量：趨於無窮
1.2 實數系的連續性與完備性
1.2.1 用確界原理描述實數連續性
1.2.2 單調有界原理
1.2.3 單調有界原理應用：e和為什麼要定義它
1.2.4 單調有界原理應用：Euler常數
1.2.5 閉區間套定理
1.2.6 Bolzano-Weierstrass定理
1.2.7 Cauchy收斂原理的敘述和解釋
1.2.8 Cauchy收斂原理的證明和應用
1.2.9 有界數列上下極限
1.3 數項級數
1.3.1 數項級數定義與基本問題
1.3.2 Cauchy與d’Alembert判別法
1.3.3 級數收斂的Cauchy收斂原理
1.3.4 級數的條件收斂與絕對收斂
1.3.5 作為無窮和的級數的結合律與交換律
1.3.6 分配律：將級數的乘法展開成級數
1.3.7 Cesaro求和
1.4 函數連續性
1.4.1 函數極限定義
1.4.2 連續性
1.4.3 一致連續性
1.4.4 有界閉區間上連續函數像為有界閉區間
第2章 導數與微分
2.1 一元函數導數與微分
2.1.1 作為瞬時速度的導數
2.1.2 簡單初等函數導數
2.1.3 求導法則
2.1.4 高階無窮小量
2.1.5 微分在幹什麼：線性近似
2.1.6 微分究竟是什麼：假假真真的解釋
2.1.7 停下來回顧
2.1.8 微分形式不變性
2.2 從Fermat引理到Taylor展開
2.2.1 Fermat引理及其推論
2.2.2 單調性與凸性
2.2.3 Jensen與Holder不等式
2.2.4 Taylor公式的匯出
2.2.5 若干初等函數Taylor展開
2.3 多元函數與向量值函數微分
2.3.1 多元函數的微分
2.3.2 多元函數偏導數與方向導數
2.3.3 多元函數高階偏導數
2.3.4 向量值函數微分與Jacobi矩陣
2.3.5 從Jacobi矩陣的鏈式法則到微分形式不變性
2.3.6 從微分形式不變性到Jacobi矩陣的鏈式法則
2.4 隱函數定理
2.4.1 隱函數定理的動機和道理
2.4.2 隱函數定理的證明
2.4.3 曲面與等值面
2.4.4 反函數定理
2.4.5 極值問題
2.4.6 梯度與機器學習
第3章 積分
3.1 定積分
3.1.1 定積分概念的引入
3.1.2 定積分的定義
3.1.3 可積的充分必要條件
3.1.4 定積分的應用：微元法
3.1.5 Newton—Leibniz公式
3.1.6 微積分基本定理
3.1.7 連續情形下兩個定理的等價性
3.1.8 定積分的變數替換公式與分部積分公式
3.1.9 Riemann引理
3.1.10 漸近單位元
3.1.11 。Jensen不等式與HSlder不等式
3.1.12 若干其他定積分不等式
3.1.13 定積分與內積
3.1.14 反常積分的定義與基本問題
3.1.15 反常積分條件收斂與絕對收斂
3.2 重積分
3.2.1 二維Euclid空間中可求面積區域
3.2.2 二重積分與多重積分定義及其可積性
3.2.3 積分的回顧
3.2.4 Fubini定理
3.2.5 重積分變數替換公式
3.2.6 反常重積分
3.2.7 定積分與重積分的差異
3.3 曲線與曲面上函數積分
3.3.1 弧長公式
3.3.2 曲線上函數積分定義
3.3.3 曲面面積公式
3.3.4 曲面上函數積分定義
3.4 曲線與曲面上微分形式積分
3.4.1 1形式，2形式和外積
3.4.2 n形式和外積
3.4.3 曲線上1形式積分
3.4.4 曲線上1形式積分計算
3.4.5 曲面定向
3.4.6 曲面上2形式積分
3.4.7 曲面上2形式積分計算
3.4.8 Green公式
3.4.9 Green公式與平面有洞區域
3.4.10 Stokes公式
3.4.11 GaUSS公式
3.4.12 GaUSS公式與三維有洞區域
3.4.13 外微分，Stokes公式，Poincare引理
第4章 函數項級數
4.1 何謂函數列的收斂
4.1.1 點態收斂
4.1.2 點態收斂的不足與極限換序
4.1.3 一致收斂
4.1.4 一致收斂與極限和積分換序
4.1.5 一致收斂與求導換序
4.1.6 一致收斂的Cauchy收斂原理及其推論
4.2 整整齊齊的冪級數
4.2.1 冪級數的收斂性
4.2.2 冪級數和函數的性質
4.2.3 若干初等函數的冪級數展開
4.2.4 Taylor級數展開的不足和Weierstrass第一逼近定理
4.3 Fourier級數
4.3.1 動機：用三角函數級數表示函數
4.3.2 放到圓周上
4.3.3 Dirichlet積分
4.3.4 Riemann引理與局部性原理
4.3.5 點態收斂結論略述
4.3.6 Fourier級數的Cesaro求和
4.3.7 假設這是一個內積空間：平方和逼近
4.3.8 Parseval
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