從一道日本東京大學的入學試題談起：兼論π的方方面面

第1編 從數學的視角看π
第0章 引言：從一道日本東京大學的入學試題談起
第1章 π的由來探究
§1 設疑導入，引出史料
§2 圓的周長與直徑的倍數關係
§3 總結提升，思考深入
第2章 e和π是無理數的一個統一證法
第2編 從數學文化的視角看π
第3章 π之今昔與在數學中的重要地位
§1 引言
§2 古代中國的圓周率
§3 古代外國的圓周率
§4 計算π值的分析方法
§5 計算π值的Monte Casto方法
§6 π在數學中的重要地位
第4章 π的歷史
§1 關於“π”的不同用法
§2 關於π值的表達式
§3 關於π是無理數和超越數的證明
第5章 數學文化史中的“π”
§1 “π”：其妙無窮
§2 早期的“π”：實驗法與幾何法
§3 中期的“π”：分析法
§4 晚期的“π”：計算機的介入
第6章 關於綴術求π的另外一種推測
§1 方程法與綴術
§2 割圓術與綴術
§3 綴術求π蠡測
第7章 淺談π的歷史與應用
§1 經驗性獲得時期
§2 幾何推算時期
§3 解析計算時期
§4 計算機時代
第3編 從超越數論的視角看π
第8章 指數函數
§1 e的無理性
§2 運算子f(D)
§3 用有理函數逼近e^x
§4 對於有理數a≠0，數e^a的無理性
§5 π的無理性
§6 對於有理數a≠0，數tan a的無理性
§7 函數P1e^α1x + … + Pme^αmx
§8 R(1)的估值
§9 Pk(1)及其分母的估值
§10 對於實代數數a≠0，數e^a的超越性
§11 m個漸近式的行列式
§12 代數無關
§13 余項R(x)的另一表達式
§14 插值公式
§15 結束語
第9章 線性微分方程的解
§1 E型函數
§2 算術的引理
§3 漸近式
§4 正規系
§5 漸近式的係數矩陣
§6 Rk及PM的估值
§7 E1(α),…,Em(α)的秩
§8 代數無關
§9 超幾何E 函數
§10 貝塞爾微分方程
§11 例外情況的確定
§12 含有不同的貝塞爾函數的代數關係式
§13 貝塞爾函數的正規性條件
§14 注記
第10章 對於代數無理數b及代數數a≠0,1，數a^b的超越性
§1 Schneider的證明
§2 Гельфонд的證明
§3 注記
第11章 橢圓函數
§1 阿貝爾微分
§2 橢圓積分
§3 漸近式
§4 結論的證明
§5 另外的一些結果
第4編 從數學研究的視角看π
第12章 高精度π值計算的若干問題
§1 π值計算的現狀與意義
§2 π值計算公式
§3 對算法的優化
第13章 從π值到無理數值的猜想
§1 引言
§2 相關約定
§3 π值“等可能”猜想驗證
§4 E和√2值“等可能”猜想的驗證
§5 命題的推廣：關於無理數值的“等可能”猜想的驗證
第14章 關於π有理逼近的注記
§1 引言
§2 引理
§3 主要結論
第15章 常數π的一個級數表示式的余項的漸近結果
§1 引言
§2 余項Rn的漸近展開式
§3 余項Rn的不等式及其應用
附錄 公式(14)的一個導出
第5編 從物理研究的視角看π
第16章 對2020年高考全國Ⅲ卷第20題的深入探討
§1 原題再現
§2 解析與思考
§3 碰撞次數中的π
第17章 碰撞出來的圓周率 —— 兩球與牆壁三者間的碰撞次數與圓周率π間關係的討論
§1 問題的提出
§2 分析與論證
§3 結論與啟示
第18章 《力學與實踐》《小問題》2020 3解答
第19章 滑塊碰撞動力學與圓周率的關聯
§1 問題來源
§2 理論證明
§3 結語
第20章 用矩陣研究一維彈性碰撞與圓周率的關係
§1 重構模型
§2 一維彈性碰撞完全解
§3 碰撞總次數與π的關係
§4 驗證計算
§5 碰撞次數與圓周率π關係的進一步分析
§6 結論
§7 討論
參考文獻