什麼都是數學

處處皆數學

洪萬生

閱讀本書之後，筆者第一個聯想到的數學教育主題，就是數學步道。

數學步道曾經是個數學教育的熱門話題，國內有少數國中（如北市興雅國中）、小學為了提供適當的教學情境，在校園中就地取材，而設計出與日常生活息息相關的教學步道。

這些教學設計在整體的教育環境中，看來不過是可有可無的點綴，對於如何落實九年一貫的教育理想來說，也顯得相當奢侈。不過，如有教師解說員模仿本書敘事，說不定可以研發出幾本有趣的數學普及作品。

信手拈來 數學無所不在

本書內容共分八章，其目錄依序如下：

1. 取消數學課。

2. 體育館裡的打賭。

3. 棋盤格式的玄機。

4. 擲骰子的作曲家。

5. 向日葵花裡的兩組螺旋。

6. 馬克杯如何變成甜甜圈？

7. 推理迷的必修課。

8. 出乎意料的結局。

此外，作者還相當體貼地在本書最後，另列了〈名詞解釋〉與〈名詞中英對照〉兩節，以方便讀者檢索相關數學名詞。再者，本書還穿插了兩個邊欄－—「我知道了」與「打賭你沒聽過……」在各章之中，以補充正文的說明之不足。還有，作者也特別安排安排數學家畢達哥拉斯、阿基米德、希巴提雅（Hypatia）、蘇菲‧姬曼（Sophie Germain）、查爾斯‧路德維基‧道奇森（Charles Lutwidge Dodgson，曾以筆名Lewis Caroll撰寫著名的《愛麗斯夢遊仙境》）、司林維薩‧羅曼奴贊（Sirinivasa Ramanujan，印度天才數學家），以及安德魯‧懷爾斯（1953~）等人的小傳，分別作為第2和3、3和4、4和5、5和6、6和7、7和8各章之間的「隔頁」。

本書故事是從教育局長雷克打算取消數學課開始的。結果，故事第一人稱傑瑞明的同學山姆決定與局長公開辯論，以說明「數學不但重要，而且有趣」，同時，「數學與我們的日常生活息息相關」。因此，本書的書寫策略，便是在日常生活周遭環境中，順手拈來一些素材，來驗證數學的無所不在。

於是在第2章開始，山姆就跟雷克打賭，要是他輸了，每天放學之後，就到局長辦公室替局長服務，而且第一天只收一分錢，第二天加倍，依此類推。這是本故事最成功的伏筆（plot），也是最令人「意想不到」的關鍵！既然在體育館，山姆隨即就近取譬，從三種腳踏車的三角形結構談起。然後，繼續討論籃球投射與角度之關係。

在第3章中，山姆介紹藝術與數學之關連。在美術教室內，他首先說明藝術家伊斯切爾（M. C. Escher）如何利用數學原理，設計精彩絕倫的圖案。接著，他再轉向電腦成像技術（computer graphics / computer generated imagery, CG/CGI）。最後，又轉向數學與繪畫透視之關係。既然論及數學與藝術，那麼，最晚在畢氏學派時期就與數學形影不離的音樂，當然是下一個主題了。在第4章，作者主要指出古今中外數學與音樂共通的「模式」，在順便提及樂器數位介面MIDI（Musical Instrument Digital Interface）這種現代的數位合成音樂。

由於MIDI涉及已知模式之切割重組，因此，不免有人質疑數學的人為造作，一點都不自然，「天生自然的事物是不能簡化數學公式的！」然而，事實剛好相反，在自然界中，有比我們「想像中更多的『數學』存在著」。這是第5章的主題。舉凡螞蟻的爬行、蜜蜂的飛行，都有如全球衛星定位系統（GPS）一樣，可以精準地估算出航行的路線，至於測量方法呢，則顯然基於一些符合數學原理的本能。還有，其他如對數螺線、黃金矩形、費波那契數列，乃至於碎形（fractals），都是本章觸及的單元。

第6章主題是與拓樸學相關的扭結（knot）、虧格（genus，如馬克杯如何變成甜甜圈？）與單面（one-sidedness，如莫比烏斯帶Mobius trip）問題。作者布置了遊戲或魔術的情境，讓讀者極易親近，不會因為數學概念的抽象而心生排斥。儘管如此，教育局長還是認為「數學畢竟不只是遊戲和開玩笑，也不只是那些莫比烏斯、碎形、黃金分割等等有的沒有的東西。數學充滿了一大堆複雜的計算和數字，太多的數字了。」而且，一般人的共同數學學習經驗，似乎都見證「數字實在很無聊」。

數字（目）（number） 真地無聊嗎？〔註〕那可不見得！在本書第7章，作者利用「推理迷的必修課」，來說明數目及其相關理論的有趣與有用。於是，在本章中，作者介紹質數（及其如何用以加密）、巴斯卡三角形所隱藏的數學「規律」等單元，試圖說明數字（目）一點都不無聊！儘管如此，教育局長並沒有被說服，因為他認為「無論數學有多少用處，學數學還是太辛苦，對學生來說也太複雜了。我這麼做是為了大家好，以後你們會感謝我的！」

既然如此，山姆只好使出殺手！他認輸了，答應到每天局長辦公室工作，然後他開始列表計算應得的工資。結果，計算到第十六天時，他已經可以獲得超過600元的工資了。更恐怖的，是到了一個月底（30天）時，局長必須付給山姆的工資已經高達天文數字：536萬8709.12元，至於三十天的總計則是：1073萬7418.23元了。最後，局長只好承認「取消數學課的決定是有一點草率」，於是，數學課當然就繼續留在課表之中了。

數學普及 絕佳作品

這本小說以學校為場景，空間從體育館轉換到美術教室，再轉換到新教學花園，最後，轉換回到美術教室。這些都是一般人很難想像可以充當數學教學的場所，但是，它們卻是作者可以證明數學無所不在的最佳下手之處。

就小說敘事的書寫標準來看，本書對白相當流暢自然，而且敘事的某些轉折也匠心獨具，顯見作者是極有經驗的科普作家。事實上，本書曾榮獲「加拿大科學作家協會2007年社會科學獎青少年組決選」，可見，它相當受到中小學教師與學生的歡迎。唯一美中不足之處，大概是數學天才山姆的角色扮演有一點超齡，也就是說，在整個「辯論」過程中他完全掌控全局，甚至有很多時候，他的辯論技巧與內容十足老練，完全嗅不到一般青少年的稚氣。幸好，他的同學如傑瑞明（本書第一人稱）以及其他適時介入的同學如艾美莉、奧斯卡、珍恩等人，提出了比較天真的（naive）問題，才使得這一本小說（fiction）不致於讓讀者感覺過分虛構（fictional）。同時，傑瑞明的串場，也讓山姆（敘事中的一位「他者」）的見證數學之有趣與有用，不致於過分咄咄逼人。還有，艾美莉、奧斯卡、珍恩等人適時的提問與插話，也發揮了「承先啟後」的作用，讓單元內容頗相出入的各章之間得以連貫與呼應起來。

另一方面，本書各章所安排的邊欄「我知道了」與「打賭你沒聽過……」，對於內容補充或補白，都有畫龍點睛之妙！至於隔頁用的數學家小傳，也顯然發揮了類似的作用，儘管部分偉大數學家的選擇與各章內容並不是那麼相干。最後，本書的附圖也是一大特色！其中，以青少年讀者為訴求的漫畫，在俏皮而誇張的筆觸中，企圖融入數學知識，用心值得肯定。此外，本書也包括了少數實物相片與精確的數學插圖，與內容融為一體，足見作者、繪者與編者的共同努力。

總之，在青少年層次的數學普及作品中，本書是十分值得推薦的一本好書！這是因為正如前述，它以小說文類撰寫，在敘事（含插畫附圖）與數學的鋪陳中，取得極佳之平衡，讓讀者充分感受數學知識的特性所帶來的戲劇張力。因此，這是一部以數學普及為目的的數學小說。按文學作品的標準而言，也許這部「小說」難登大雅之堂，但是，從數學普及觀點來看，本書卻是絕佳的作品，足為同一類型書寫之楷模！

(註：Number中譯為「數目」較妥，至於「數字」則應該對應到 number words較佳。此外，Hindu-Arabic numerals本來只是「數碼」（numberal），後來才演變成為數（目）字，也就是當成文字使用。)

處處皆數學

洪萬生

閱讀本書之後，筆者第一個聯想到的數學教育主題，就是數學步道。

數學步道曾經是個數學教育的熱門話題，國內有少數國中（如北市興雅國中）、小學為了提供適當的教學情境，在校園中就地取材，而設計出與日常生活息息相關的教學步道。

這些教學設計在整體的教育環境中，看來不過是可有可無的點綴，對於如何落實九年一貫的教育理想來說，也顯得相當奢侈。不過，如有教師解說員模仿本書敘事，說不定可以研發出幾本有趣的數學普及作品。

信手拈來 數學無所不在

本書內容共分八章，其目錄依序如下：

1. 取消數學課。

...

主編序
1. 聖經真的藏有密碼嗎? 魏慶榮
2, 數學，資訊科學與數字遊戲 劉昭麟
3. 揭開複雜的生命訊號－評＜生物世界的數學遊戲＞ 余海禮
4. 從總統選舉談民意調查 鄭惟厚
5. 數學與音樂對話千百年 劉柏宏、劉淑如
6. 創造利潤新核心－財金掌握在數學手中 廖四郎
7. 探索無窮可能性－數學觸發新視覺藝術 單維彰
8. 處處皆數學 洪萬生
9. 海洋生物蘊含的數學訊息 許育彰
10.賭?賭?不賭! 楊維哲
11.加減乘除的音樂世界 翁瑞霖
12.騎士漫遊方陣 林克瀛
13.生活中用得到數學嗎? 單維彰
14.科學中的美感－達文西的科學與藝術 蔡耀慶
15.不只用眼，也要用腦－新聞報導中的數學 李祐宗
16.為什麼2009年有三次「黑色星期五」? 李武炎

主編序
1. 聖經真的藏有密碼嗎? 魏慶榮
2, 數學，資訊科學與數字遊戲 劉昭麟
3. 揭開複雜的生命訊號－評＜生物世界的數學遊戲＞ 余海禮
4. 從總統選舉談民意調查 鄭惟厚
5. 數學與音樂對話千百年 劉柏宏、劉淑如
6. 創造利潤新核心－財金掌握在數學手中 廖四郎
7. 探索無窮可能性－數學觸發新視覺藝術...