費瑪最後定理：尋找數學的聖杯

頁邊的註記

在研究《算術》的第2卷時，費瑪碰到了一系列的觀察、問題和解答，它們涉及到畢達哥拉斯定理和畢達哥拉斯三元組。例如，丟番圖討論了特殊三元組的存在性，這種三元組構成所謂的「跛腳三角形」，即這種三角形的兩條短的側邊x和y只相差1（例如，x＝20、y＝21、z＝29，而20²＋21²＝29²）。

費瑪被畢達哥拉斯三元組的種類和數量之多吸引住了。他知道好多世紀以前歐幾里得已經敘述過一個證明，顯示事實上有無限多個畢達哥拉斯三元組存在，這個證明概要地列在附錄5中。費瑪一定是凝視著丟番圈對畢達哥拉斯三元組的詳細描述，盤算在這方面應該添加些什麼進去。當他看著書頁時，他開始擺弄起畢達哥拉斯方程式，試圖發現希臘人未曾發現的某些東西。突然，在才智迸發的一瞬間──這將使這位業餘數學家之王名垂千古──費瑪寫下了一個方程式，儘管它非常相似於畢逹哥拉斯的方程式，但是卻根本沒有解存在。這就是10歲的安德魯‧懷爾斯在彌爾頓路上的圖書館中讀到的那個方程式。

費瑪不是考慮方程式
x²＋y²＝z²，
他正在考慮的是畢達哥拉斯方程式的一種變異方程式：
x³＋y³＝z³。

如同上一章提到的那樣，費瑪只不過將冪從2改為3，即從平方改為立方，但是他的新方程式看來卻沒有任何整數解。通過反覆試算立即顯示出，要找到兩個立方數它們加起來等於另一個立方數是困難的。難道這個小小的修改真的會使具有無限多個解的畢達哥拉斯方程式變成了根本沒有解的方程式嗎？

他進一步將冪改成大於3的數，得到新的方程式，並且發現要尋找每一個這種方程式的解有著同樣的困難。按照費瑪的說法，似乎根本不存在這樣的3個數，它們完全適合方程式
xⁿ＋yⁿ＝zⁿ，這裡n代表3、4、5、……。

在他的《算術》這本書的頁邊靠近問題8的空白處，他記下了他的結論：

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.
不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個4次冪寫成兩個4次冪之和；戒者，總的來脱，不可能將一個高於2次的冪寫成兩個同樣次冪的和。

似乎沒有理由認為在一切可能的數中間竟然找不到一組解，但是費瑪說，在數的無限世界中沒有「費瑪三元組」的位置。這是一個異乎尋常的結論，但卻是費瑪相信他能夠證明的一個結論。在列出這個結論的第一個邊註後面，這個喜歡惡作劇的天才草草寫下一個附加的評註，這個評註苦惱了一代又一代的數學家們：

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detex hanc marginis exiguitas non caparet.
我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這裹空白太小，寫不下。

這就是最讓人惱火的費瑪。他自己的話暗示人們，他由於發現這個「十分美妙」的證明而特別愉快，但卻不想費神寫出這個論證的細節，從不想要去發表它。他從未與任何人談到過他的證明，然而不管他如何謙遜和無心於此，費瑪最後定理（就像後來所稱呼的那樣）終將在未來的幾個世紀聞名於全世界。

頁邊的註記

在研究《算術》的第2卷時，費瑪碰到了一系列的觀察、問題和解答，它們涉及到畢達哥拉斯定理和畢達哥拉斯三元組。例如，丟番圖討論了特殊三元組的存在性，這種三元組構成所謂的「跛腳三角形」，即這種三角形的兩條短的側邊x和y只相差1（例如，x＝20、y＝21、z＝29，而20²＋21²＝29²）。

費瑪被畢達哥拉斯三元組的種類和數量之多吸引住了。他知道好多世紀以前歐幾里得已經敘述過一個證明，顯示事實上有無限多個畢達哥拉斯三元組存在，這個證明概要地列在附錄5中。費瑪一定是凝視著丟番圈對畢達哥拉斯三元組的詳細描述，盤算...

導讀　費瑪最後定理證畢三十年後
賴俊儒（中央研究院數學所助研究員）

費瑪最後定理描述的是下面這個方程式的正整數解是否存在：
an+bn=cn
當n=2時，你我熟知的畢氏定理告訴我們，這個問題等價於是否能夠找到邊長都是正整數的直角三角形。因為 32+42=9+16=25=52，我們可以立刻看出一組解（3, 4, 5）。甚至，我們可以使用初等的手法構造無限多組畢氏三元數
a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2,
進而得到無限多組正整數解。

但是當n≥3時，這個方程的本質和n=2的情況有著巨大的區別，無論人們怎麼嘗試，連一組正整數解都找不到。費瑪在17世紀時猜測n≥3的情況下，此方程一定沒有正整數解。他宣稱他有一個巧妙的證明，只是因為書頁邊緣太小寫不下。在能找到的費瑪手稿中，他使用了數學歸納法證明了n=4的特殊情形。世人後來將這個命題稱為費瑪最後定理。

三十年前，筆者還是小學生的時候，就讀過商務印書館出版的《費瑪最後定理》了。三十年後，筆者已經成為了數學家，當年看不懂的天書現在已經能夠理解，並且可以講解、教人了。

這本書雖然是在講「費瑪最後定理」，但是卻不是在講費瑪最後「定理」。本書的首要目標不是在講解證明，而是在傳達重要的數學品味。以精妙幽玄的數學知識發展為經，以求道的數學家之人物圖像為緯。在淺談數百年來重要的數學發展的同時，巧妙地介紹了許多容易入門，又有品味的數學。筆者衷心希望，讀者在閱讀本書的時候能夠充滿興趣的跟隨數學推導，進而學習到數學素養的核心──面對未知時能夠直面問題的勇氣與行動力。

但也因為如此，本書到了將近一百頁以後才開始碰到證明的邊。讓我們暫時忽略一些技術上需要做的假設，在此來快速瀏覽證明的架構與風味。證明的精神是用「反證法」，我們想要從一個假設出發，透過兩種不同管道推導出相互矛盾的結論，便可以得知假設不成立。

第一步：
對於給定的數對（a, b），我們可以在xy平面上定義以下的橢圓曲線：
E: y2=x(x-an )(x+bn ).
假設（a, b, c）是一組正整數解，那麼這個三次曲線E的判別式（discriminant）可以套公式算出，必定是某個完全n次方數除以256。
第二步：
因為曲線E的判別式和為完全n次方數只差個256倍，可以使用里貝特（Ribet）在1986年的工作，推論出這個曲線E在n≥3的情況下「不能對應到模形式（modular form）」。
這裡模形式指的是一種特別好的複變函數𝑓:{z∈ |Im(z)>0}→ 。
第三步：
證明這個曲線E應該要能對應到模形式，與第二步產生矛盾，便證畢。

我們先後退一步，端詳一下上面的證明大綱。希望讀者能夠感受到費瑪最後問題的本質，已經不再是能靠初等手法搬運數字就能搞定的了。這個問題已經被轉化成橢圓曲線與模形式之間的奇妙對應——谷山－志村猜想，是一個任誰第一眼看到都難以相信的大膽預測。
簡單的說，你看著每一個橢圓曲線，你都可以依照某個規則寫下一串數字；同時對於每一個模形式，你也可以依照另一個規則寫下一串數字。谷山－志村猜想預測了每一個有理係數的橢圓曲線寫下的數列都會和某個模形式產生的數列一致。

本書中使用的比喻，是這兩種不同的數學結構都流有相同的數學DNA。筆者認為這樣的敘述還太過冷靜。谷山與志村觀察到的命題，對筆者來說的震驚程度應該可以比擬成——你去路上隨便找一隻貓驗尿，出來的成分會和這世界上某一隻狗流的汗一模一樣。

谷山－志村猜想等於是描述了一艘太空梭，連接了兩個乍看之下毫無關聯的數學宇宙。懷爾斯對於數學世界的貢獻，並不是他證明了費瑪最後定理，而是他奠基在前人的工作之上，完成了第一艘太空梭，證明了谷山－志村猜想的特例，作為第一個有用的模定理（modularity theorem），能拿來證明最有話題性、但是相當初等的數論問題、也就是費瑪最後定理。

在懷爾斯的證明驗證完之後，費瑪最後問題已死，但是模定理以及其推廣的研究仍然是數學界關心的重要問題之一。三十年來，頂尖的數學期刊上發表的文章幾乎都還是會看到各式各樣的「太空梭定理」。以數學的行話來說，這樣的研究屬於朗蘭茲綱領（Langlands program）的一部分。如果我們將數學命題中出現的係數從有理數改成其他數學上自然的推廣係數域，對應的數學宇宙實際上差之千里。這些研究方向分別被稱為幾何朗蘭茲（geometric Langlands）和局部朗蘭茲（local Langlands），……諸如此類。
2024年五月，德國馬克思普朗克研究所的蓋茲哥利（Gaitsgory）率領的九人團隊宣布了幾何朗蘭茲對應的證明。論文拆成五篇發表，篇幅超過了一千頁。這個工作的在數學社群的話題性與重要性不會遜色於懷爾斯的工作，只是因為缺少了像是費瑪最後定理這樣易懂的媒介，以致相關討論無法出圈。

最後，我們來做一個假設性的思想實驗。如果今天有人提出了一個完全初等的費瑪最後定理的證明，像是當初費瑪使用數學歸納法證明n=4的特例一樣，可以相信是當初費瑪想要寫卻寫不下的證明，會發生什麼事呢？

我想，這個人仍然還是會短暫走紅，在鎂光燈下收穫掌聲，但是這樣的證明對於數學的貢獻是微不足道的。因為an+bn=cn只是滄海一粟，只是方程式銀河中的一粒砂。這樣的靈機一動的初等證明，不足以讓數學家在求道的路上添加助益，不足以建造下一艘太空船連結光年之外的數學宇宙。

我們又回到了數學品味。在學習數學的過程中，重要的不是能夠背誦命題的真假，而是能在臨摹好品味的數學演繹的過程中培養數感。要先見過好的、深奧的、課本考試範圍以外的數學，才能夠具有想像力與行動力，才能學思並進、不罔不殆。

在這AI氾濫的21世紀初，我們可能會有疑惑，納悶著既然AI可以幫我們算這麼多，那學數學還要怎麼學、學什麼。「道生一，一生二，二生三，三生萬物。」AI能幫助人類生萬物，但是唯有好的數學品味才能無中生有，求道生一。
本書三十年前在筆者的學習過程中留下了一道痕跡，在此熱情推薦本書作為讀者培養數學品味的良伴。

導讀　費瑪最後定理證畢三十年後
賴俊儒（中央研究院數學所助研究員）

費瑪最後定理描述的是下面這個方程式的正整數解是否存在：
an+bn=cn
當n=2時，你我熟知的畢氏定理告訴我們，這個問題等價於是否能夠找到邊長都是正整數的直角三角形。因為 32+42=9+16=25=52，我們可以立刻看出一組解（3, 4, 5）。甚至，我們可以使用初等的手法構造無限多組畢氏三元數
a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2,
進而得到無限多組正整數解。

但是當n≥3時，這個方程的本質和n=2的情況有著巨大的區別，無論人們怎麼嘗試，連一組正整數解都找不到。費瑪在17世...

【前言】

費瑪最後定理的故事與數學的歷史有著千絲萬縷的聯繫，觸及到數論中所有重大的課題。它對於「是什麼推動著數學發展」，或許更重要地「是什麼激勵著數學家們」提供了一個獨特的見解。費瑪最後定理是一個充滿勇氣、欺詐、狡猾和悲慘的英雄傳奇的核心，牽涉到數學王國中所有的最偉大的英雄。

在皮埃爾‧德‧費瑪以今天我們所知的形式提出這個問題之前兩千年，在古希臘的數學中就可找到費瑪最後定理的起源。因此，它聯繫著畢達哥拉斯所建立的數學的基礎和現代數學中各種最複雜的思想。在寫這本書時，我選擇了主要按年代順序的結構方式，從敘述畢達哥拉斯兄弟會的大變革時代開始，以安德魯‧懷爾斯的爲尋求費瑪難題的解答的個人奮鬥經歷來結束。

第1章敘述了畢達哥拉斯的故事，描述了畢達哥拉斯定理怎麼會成爲費瑪最後定理的先驅。第2章講述了從古希臘到17世紀的法國的故事，正是在法國，費瑪製造了這個數學史上最深奧的謎。爲了突出費瑪不尋常的性格和他對數學的貢獻（他的貢獻遠不止最後定理一項），我用了幾頁的篇幅描述他的生活以及他的其他一些卓越的發現。

第3章和第4章敘述了17、18世紀和20世紀早期證明費瑪最後定理的一些嘗試。雖然這些努力以失敗告終，但是它們通向一座座神奇的數學技巧和工具的寶庫，其中的一部分已經成爲證明費瑪最後定理的最終嘗試中的組成部分。除了講述數學外，我也將這些章節中的不少篇幅獻給那些對費瑪的遺贈執著追求的數學家們。他們的故事向人們展現了數學家是如何爲尋求眞理而犧牲一切的，以及幾個世紀來數學是如何發展的。

本書的其餘幾章按年代順序講述了最近40年中使費瑪最後定理的研究發生革命性變化的引人注目的重大事件。特別是第6章和第7章集中描寫了安德魯‧懷爾斯的工作，他在最近10年中的突破性工作震驚了數學界。後面幾章是根據與懷爾斯所作的廣泛的交談寫成的，對於我來說，這是一次絕無僅有的機會親耳聆聽了一次最不平凡的20世紀知識之旅。我希望我能表達出懷爾斯經受十年嚴峻考驗所需要的那種大無畏精神和創造性。

【前言】

費瑪最後定理的故事與數學的歷史有著千絲萬縷的聯繫，觸及到數論中所有重大的課題。它對於「是什麼推動著數學發展」，或許更重要地「是什麼激勵著數學家們」提供了一個獨特的見解。費瑪最後定理是一個充滿勇氣、欺詐、狡猾和悲慘的英雄傳奇的核心，牽涉到數學王國中所有的最偉大的英雄。

在皮埃爾‧德‧費瑪以今天我們所知的形式提出這個問題之前兩千年，在古希臘的數學中就可找到費瑪最後定理的起源。因此，它聯繫著畢達哥拉斯所建立的數學的基礎和現代數學中各種最複雜的思想。在寫這本書時，我選擇了主要按年代順序的結構...

OPEN經典重啟，重現閱讀新典範
導讀　費瑪最後定理證畢三十年後
序言
前言
1 「我想我就在這裡結束」
2 出謎的人
3 數學史上最黯淡的一頁
4 進入抽象
5 反證法
6 祕密的計算
7 一點小麻煩
8 大統一數學
附錄
參考文獻

OPEN經典重啟，重現閱讀新典範
導讀　費瑪最後定理證畢三十年後
序言
前言
1 「我想我就在這裡結束」
2 出謎的人
3 數學史上最黯淡的一頁
4 進入抽象
5 反證法
6 祕密的計算
7 一點小麻煩
8 大統一數學
附錄
參考文獻