楊維哲資優高中數學講義：話說三角學

序

　　這本書原本只是暑假中薄薄的講義，三、四十頁，對於范際平的大學先修三角學的習題做一些註解與題解。對象就是這五個小孩子，湖濱小集。

　　我當然寫過一些高中三角學的講義。比較有系統的是：包含在全套「工專（五專）數學」，或者「高中數學」，或者「函授學校」之中的三角部分。（這樣說，最少有三套。雖然，應該打個對折才對：蔡聰明教授大概寫了其中的一半。）除外，應該也寫過片段的文章，例如說，　　我一定寫過「如何背三角公式」之類的，因為偶而還有人跟我提及。

　　所以我就認真地編寫這本書，因為不是「一切從零開始」，毋寧說恰好相反：有許多題材，我曾經用心思考過應該怎麼教。編寫起來就容易些了。

　　我知道我寫的書都有許多缺點，許多「怎麼改都改不掉的毛病」。但是當然也有一些優點。尤其這一本書，因為寫的時候，心目中的對象更加明確，精神更加一貫。

　　缺點之一是我的文筆「不均勻」。明知如此，我故意忽略。事實上，這些孩子都是資優生，（雖然我的定義不是從DNA來看的！）她他們都很認真，願意思考。那麼我這種詳略不一的文筆，也許反倒是一種刺激。

　　這些孩子已經進了高中，學校裡都有很明確的教科書。但是這些教科書當然是根據現行的課程標準來編寫的。這和半世紀前的「分科學習法」大不相同！所以我們這本書，以及隨後我想推出的其他書，意思絕對不是作為學校裡使用的教科書，因為系統不一樣！

　　基本上本書還是資優生的補充讀物。資優教育的三個面向是：加速、加深、加廣。我確信本書在這三個面向上都是很有助益的。近幾年來的體驗，讓我更堅信：從小學到大學的教育，「數學與其他科學的關聯性」，一直都是強調得不夠！因此，本書很費心在這個「加廣」的面向上。

　　她他們讀我的講義，月考也許（？）不會因之增加一分，但是這樣子的缺點就是優點：「讀書」與「學校的考試」脫鉤了。

　　二十幾年前，在汗如的中學時代，我已經嘗試過，對抗那個荒謬的教育方式教育體制。她終於沒有唸好數學，但是我認為我只有小小失敗，還是大大成功，因為她的「個性資優」，沒有被毀掉。

　　似乎今日的教育方式與體制還是一樣地荒謬。天天還是有好幾科的「小考」。而且，比之從前更糟糕的是：明明採用了寫得不錯的課本，課堂上卻不太教，而代之以徹底零碎化的「公式」、「妙技」。

　　大環境不利的時候，我能夠做的就是這樣子的抵抗：我要盡量幫忙我幫得起的忙：寫一些好的講義，適配孩子們的程度，有刺激挑戰性，有深度有廣度，而且有系統。

這些我鍾愛的孩子，有資優的個性，一定能夠熬過荒謬，展開自己。這本書原本就是要獻給她／他們的。（朋友們常常嘲笑我喊口號：「人人是資優生！資優的要點在個性！」。但這確乎是我深信不疑的！所以我應該說：）

　　獻給我們千千萬萬資優的台灣孩子！



楊維哲

序

　　這本書原本只是暑假中薄薄的講義，三、四十頁，對於范際平的大學先修三角學的習題做一些註解與題解。對象就是這五個小孩子，湖濱小集。

　　我當然寫過一些高中三角學的講義。比較有系統的是：包含在全套「工專（五專）數學」，或者「高中數學」，或者「函授學校」之中的三角部分。（這樣說，最少有三套。雖然，應該打個對折才對：蔡聰明教授大概寫了其中的一半。）除外，應該也寫過片段的文章，例如說，　　我一定寫過「如何背三角公式」之類的，因為偶而還有人跟我提及。

　　所以我就認真地編寫這本書，因為不是「一切從零開...

序i
第一章　三角函數
§1　角度
§2　銳角三角函數
§3　銳角三角形的定律
§4　鈍角三角函數
§5　一般角的餘弦
§6　向量與輻角
§7　一般角的三角函數
§8　代數的補充知識
　　習題
第二章　三角恆等式
§1　圓函數的加法公式
§2　Euler虛指數原理
§3　倍角公式
§4　座標軸的旋轉
§5　和差化積與積化和差
§6　條件恆等式
　　習題
第三章　三角形的幾何
§1　三角形的一些定律
§2　三角形的幾何量
§3　反正切與兩線交角
§4　補充：三角形諸心的割比
§6　自由度
　　習題
第四章　解三角形
§1　三角形之解法
§2　練習題
　　習題
第五章　三角方程式與反三角函數
§1　反三角函數
反函數的意義
§2　反三角函數的基本公式
§3　三角方程式
3-1　通式
3-2　三角一次方程式
3-3　正餘弦的方程式
3-4　變數代換
3-5　雜題
§4　反三角方程式
§5　消去法
　　習題
第六章　三角函數在物理學中的應用
§1　內積
1-1　夾角餘弦與成分
1-2　面積向量與通量
§2　運動學
2-1　等加速運動
2-2　圓周運動
§3　合衝與順逆駐留
3-1　背景
3-2　逆行順行與駐留
§4　動量力量與能量
4-1　動量
4-2　能量
4-3　力量
4-4　摩擦與角度
4-5　離心力
§5　向量積
5-1　定義與算術
5-2　轉動
§6　折射定律
§7　軌跡
第七章　雙曲三角函數
§1　正餘弦函數的圖解
§2　三角函數的零點與奇點
§3　簡諧振子
§4　多維簡諧振子
§5　泛指數函數類
§6　雙曲函數
6-1　實虛類推
6-2　反雙曲函數
　　補充
章末習題解答
第一章
第二章
第三章
第四章
第五章
索　引
希臘字母表

序i
第一章　三角函數
§1　角度
§2　銳角三角函數
§3　銳角三角形的定律
§4　鈍角三角函數
§5　一般角的餘弦
§6　向量與輻角
§7　一般角的三角函數
§8　代數的補充知識
　　習題
第二章　三角恆等式
§1　圓函數的加法公式
§2　Euler虛指數原理
§3　倍角公式
§4　座標軸的旋轉
§5　和差化積與積化和差
§6　條件恆等式
　　習題
第三章　三角形的幾何
§1　三角形的一些定律
§2　三角形的幾何量
§3　反正切與兩線交角
§4　補充：三角形諸心的割比
§6　自由度
　　習題
第四章　解三角形
§1　...