巷子口機率學

精品市場到底有多大？

各類媒體每天大肆報導或介紹豪宅名廈、度假聖地、珠寶首飾、皮包手錶、養生祕方、保健產品，對於沒有恆產，單靠微薄薪資過活的大多數人只有嘆息命苦，除了偶而禁不住思考這類精品的市場到底有多大，還能怎樣！

2011年霸佔美國華爾街活動人士聲稱社會資源分配不公，集中在少數的極端的1個百分位數。這個數字有多大，以台灣人口總數兩千三百餘萬來說，1個百分位數至少超過23萬，所以頂尖5個百分位數當然超過一百萬人，單單這群富豪或肥貓的消費能力已經足夠支撐精品市場。更何況那些邊緣或不自量力的族群，受不了廣告的誘惑或虛榮心作祟而用力擠入這個市場，龐大的商機就此形成。

第一章 人生無處不機率

真麻煩，為甚麼我們隨時隨地都要面對大大小小的決策問題？更麻煩的是，為甚麼我們面對的決策問題大都沒有一個明確的或結構化的解決方法？是過去的先賢先聖們沒有留下足夠的解決良方？還是因為問題本身具有太多不確定性或不可預測性？

天體運轉沒有明確規則

討論時間尺度好像有一點奇怪，因為誰不知道年月日時分秒等時間單位的意義，不過真正了解一秒鐘的定義的人應該很少！願意知道的有心人敬請查閱百科全書或網路上的電子文件。

起初人類將白天與夜晚兩種狀態的周期定義為一天，隨著生活作息的複雜化，一步一步的將一天粗略的分為十二道時辰或二十四個小時，然後再細分為分與秒等尺度。現在的我們都知道，由於地球的自轉才會產生日落日出交替出現的現象，所以一天等於地球自轉一圈的時間長度。

但是，為什麼每一天的時間長度都不一樣，隨著季節變化嗎？隨著文明的發展，人類開始了解月亮繞著地球，地球帶著月亮繞行太陽公轉，於是定義了四季與二十四節氣，使得人們的生活作息能夠配合節氣變化。雖然如此，還是不了解為什麼每一天的長度都不一樣。當時的科學家以為緣於度量儀器的不夠精確，後來才發現自然界本身就具有不確定性。也就是說，地球自轉與公轉一周的時間以及月球繞行地球一周的時間，三者並沒有最小公倍數，它門各自與相互運行並沒有明確的規則。

還有，我們定義重量的單位，與國際標準組織公斤砝碼等重的物件稱為一公斤。不可思議的是，重複度量國際標準組織公斤砝碼的重量也不都等於一公斤。這個事實讓人類了解，度量物件性質時也會發生不可避免的變異性。

另外，也沒有任何人能夠正確預測，每次投擲人造物件，例如骰子或銅板的結果，當然也沒有人能夠預知下一期樂透中獎的號碼組合，就算經過許多人千方百計以及無數次的嘗試。

上述自然現象本身的不確定性、投擲人造器具的不可預測性與度量物件性質時發生的變異性，科學家將它們通稱為隨機現象。一般來說一個系統(一組人事物的集合它們相互運作以達成某個任務)，其中的每一個物件都有可能包含隨機因子，所以系統的輸出幾乎都有變異性。為了描述隨機現象，也為了當面對它們時能夠制定適當決策，科學家們發展機率與統計等機制，以增進人類的福祉。

隨機現象(random phenomenon)：自然(natural)現象本身的不確定性(uncertainty)與運作(manipulate)或度量(measure)物件(object)性質(property)時產生的不可預測性(unpredictability)與變異性(variation)的通稱。

機率(probability)：以0與1之間的實數，度量隨機現象的不確定性、不可預測性、變異性等信心(belief)程度的機制。

統計(statistics)：採掘資料集合中隱藏的資訊的資料分析技術，通常包含定義問題、確定取樣設計、收集與彙整資料、定義隨機變數的機率函數，以及依據樣本統計量估計機率函數的參數，或進行系統機率行為的假設檢定等步驟。

養生妙方能確保健康？

保持身心健康應該是所有人類的願望，為了達成這個目標，學者專家不斷的發表各種飲食、運動、休息、醫療與修心養性等方面的研究報告。他們如何發現這些觀念與建議，難道不是透過多次的實驗與分析？然而就算他們的實驗過程與分析方法都是符合科學精神，彙整的養生妙方真正適合每個人嗎？答案：當然不是。因為人類基因組合的極度複雜，每個人都是唯一的個體，所以理論上沒有一套可供人人遵循的守則。對於經過嚴謹研究過程的結論，都未必有效，何況那些難以驗證的所謂偏方。還有不同宗敬信仰，不同生活習慣，不同居住環境的人們，對於飲食、運動、休息、醫療與修心養性等方面的認知差異也是蠻大的，不是嗎？

所以無論是食物種類與搭配，健身活動的型態與延時，睡覺休息的方式與時程，以及修心養性的知識與智慧等達成健康目的的具體原則與做法，只是對於某部分人士有效，對於其他人則不會產生效果。如果我們將產生效果的人數除以總人數，獲得的商數，稱為產生效果的比率。那麼從全體任意選取一人，她或他產生效果的機率等於這個比率(ratio)。

比率(proportion)：系統中物件具有或屬於某種性質的個數與全體物件個數的商，它是系統的一個靜態的常數。

現在我們以一個較小的例子來說明以上的觀念，假設一位牙醫師針對20位患者使用相同的止痛藥，其中的15人認為有效，其餘的5人依然感覺疼痛。那麼認為處方無效的比率等於5/20或25%, 如此從這20人之中，任意選出一人，她是屬於無效的機率等於0.25。換個方式來說比率是靜態的，它表示部分與全體的比值，以百分比表示。機率則是一種動態，例如任意選出一個人的活動，出現某種結果的可能性，以0到1的實數來度量。



坊間各類主食蔬果使用方式，運動習慣的重要性與養成，獲得充足的休息與正確人生觀的指引等書籍多如牛毛，如何選擇呢？原則上，首先選擇成功機率或知名度較高的方法，如果效果顯著就繼續進行，反之尋求它方。不幸生病了，打針吃藥的選擇也是如此，不斷的尋求有效處方，直到痊癒為止。



人們一向不容易滿足，有了健康的身體，有錢有閒的就會覺得自己不夠美麗或不夠英俊，於是尋求雕塑身材或整型改變外觀的良方。追求俊俏的體型並不是一種罪惡，但是沒有逐步鍛鍊而盲目聽信捷徑的話，那就是一種愚笨的行為吧！雖然如此，名人代言加持產品的熱賣，說明了人們崇拜偶像的幼稚與受不了誘惑的行為，多少年來一直沒有改變。不，應該說這個現象就是一直伴隨人類的演化，當然還會繼續不斷的延續下去。這個結果只是肥了廠商與代言者，自己的體態仍然依舊，倒是荷包消瘦不少。



針對各類廣告，專責單位必須要求廠商提出合理的驗證結果，當然稽查人員也該具備統計知識以辨識這些實驗報告的真偽。但是市面上產品廣告的數量繁多，如何一一檢視？訂定抽樣調查的機制與重罰不實廣告的措施，培養民眾的心理建設等，不就是政府努力的方向？

比起良好飲食與運動習慣或整型以雕塑身材，改變穿著或借用化妝品也是一個快速又經濟的選擇，造成模特兒行業的興盛。可是我們也知道，有些人可能是老天特別或隨機眷顧而天生麗質，並不需要任何的後天保養或修補，這些俊男美女極有可能不是使用他們代言的產品才擁有傲人的身材或皮膚。

貴族、皇親國戚或有錢有勢的人，他們居家豪奢、出入名車，也是許多人羨慕爭先模仿的對象。為了滿足人們的虛榮心，豪宅跑車的廣告充斥，好像只要使用這些產品的人士就能夠馬上升級成為貴族。對於經濟能力超群足以享受豪華生活的族群，他們應該已經是貴族，隨意添購高檔商品也不會提升多少品味。但是那些東湊西借勉強購買超出自己能力的商品的人士，甚至造成生活品質的降低，仍然被貴族瞧不起。

如此，相信誇張的廣告或名人加持，打算與政商名流當鄰居，或掏錢購買並使用精品的人士，以及媒體報導某人在世界型競賽表現出色、為國爭光，或舉辦耗費大量金錢與物力的活動讓世界記住台灣……請事先計算達到目的或事實真象的機率再說吧。

精品市場到底有多大？

各類媒體每天大肆報導或介紹豪宅名廈、度假聖地、珠寶首飾、皮包手錶、養生祕方、保健產品，對於沒有恆產，單靠微薄薪資過活的大多數人只有嘆息命苦，除了偶而禁不住思考這類精品的市場到底有多大，還能怎樣！

2011年霸佔美國華爾街活動人士聲稱社會資源分配不公，集中在少數的極端的1個百分位數。這個數字有多大，以台灣人口總數兩千三百餘萬來說，1個百分位數至少超過23萬，所以頂尖5個百分位數當然超過一百萬人，單單這群富豪或肥貓的消費能力已經足夠支撐精品市場。更何況那些邊緣或不自量力的族群，受不了廣告...

前言

不要將所有雞蛋放在同一個籃子；人們不能預知未來，如同樹上的鳥兒不知甚麼時候會被獵人射殺；人生常苦，沒有人知曉生老病死的時刻。面對這麼多的不確定性與不可預測性，聖經傳道書建議人們努力工作盡情享受渡過虛空的一生；佛家則勸導我們努力修行，嘗試去除貪嗔癡慢疑等煩惱的根基。這些教導無非勸戒人們在天意難違的情況下，努力生活或修行，期望來日順利的進入天堂或西方極樂世界。

山不轉路轉、路不轉人轉，只是順服天意、看天吃飯的人生態度。雖說人算不如天算，但是自古以來，人們也是不斷嘗試改運，其中諸葛亮借箭借東風與孟母三遷就是無人不曉的例子。諸葛亮神色自若或擺壇作法只是裝模作樣罷了，他唯一的憑藉就是了解季節變化、深知當時當地佈滿濃霧或吹起東風的機率很高的知識。而孟母幾次搬家的理由也是希望孟子能有學習的榜樣與環境，相信近朱者赤、近墨者黑的機率較高。不過同樣的因緣未必形成一樣的結果，這也是人們的共識，造成的差異也是只有機率能夠解釋吧。因此我們不得不相信，依據機率制定決策的過程，比較能夠達成目的。

機率是一種以0與1之間的實數，數量化文詞上敘述自然現象或運作人造器具產生不確定性、變異性或不可預測性等隨機現象的機制。假設我們了解一個隨機現象的隨機行為，例如彩券各個中獎數字組合出現的分配狀態，術語稱為機率分配函數，如此人們就可以計算各種獎項出現的機率，所以機率的本質是一種演譯法的應用。

而統計則是一種根據機率取樣設計收集隨機現象的觀察值，例如颱風雨量，使用機率理論建立描述這個隨機現象的隨機變數的理論機率分配函數的科學，基本上是一種具備科學精神的以偏概全的歸納法。

作者之前出版《統計原來這麼生活》（博雅，2011夏至），這本書的主軸圍繞統計方法過程的理論與應用，機率只有一個章節簡略的介紹而已。為了補足這個缺洞，也為了完整介紹機率的基本觀念與應用，這兩原因構成撰寫本書的動機。

本書廣泛使用常見的隨機現象與日常用語，祈望讀者能夠藉以充實機率相關的背景、技術、方法與應用的基本知識。

第一章我們列舉數個常見用語說明機率與決策的關聯，藉以反思人們行動之前忽略估計事件發生的機率的不良後果。第二章首先介紹模式化隨機現象的隨機試驗，提出一個階層圖彙集機率問題的分類過程，以明確計算機率的步驟，然後說明傳統機率與經驗機率的意義。

由於計算事件發生的機率必須能夠計數隨機試驗的樣本空間，以及我們關切的事件包含簡單事件的數目，第三章介紹達到這個目的常用的技術與方法。確知某一事件已經發生的條件下，另一事件發生的機率稱為條件機率。這個觀念方便當我們獲得額外資訊時，計算之後事件發生的機率，它的理論基礎稱為貝氏定理。這兩個主題構成第四章內容的主軸。

第五章包括隨機變數與期望值運算的性質與應用。隨機變數的觀念方便我們利用代數與函數處理機率的問題，而期望值符號運算使得我們能夠一致性的表示描述隨機現象的隨機變數的機率函數的參數。

除了運作骰子、紙牌或樂透等人造機制的不可預測性外，一般模式化自然界的隨機現象的隨機試驗，大都無法明確界定它的樣本空間，當然也無法定義相對應的隨機變數的機率函數。我們只能根據有限或可以獲得的觀察值，利用統計推論找尋適合的理論機率分配，也就是定義產生這些觀察值的隨機變數的理論機率分配函數。理論機率函數比起從觀察值直接彙整的經驗機率函數更符實際，因為前者含蓋從未但可能出現的觀察值也能消除可取得的資料集合的不規則性。第六章我們介紹數個實用的隨機變數的理論機率分配與應用時機。

個人以為學習機率統計，不但能夠增進處理隨機問題的能力，也幫助我們比較能夠坦然面對無可避免的人生無常與世事難料的窘境：

人生旅程的種種際遇，

導致一連串喜怒哀樂的事件，

是純屬偶然的隨機過程？

或是因果循環的必然演化？

若是能夠試著：

養成求知的習慣；

定義問題邏輯的相關人事物；

建立系統輸入與輸出的概念模式；

進行模式模擬或預演並計算可預見場景出現的機率；

運用智慧制定決策。

是否可以減少無知而得意忘形，

與無助的驚慌失措？

除了師長、學生、父母與家人外，作者衷心感謝，耐心仔細閱讀本書的讀者；本書發行者五南圖書公司；副總編輯張毓芬小姐；責任編輯侯家嵐小姐；文字編輯錢麗安小姐；插圖設計蕭育幸小姐；封面設計盧盈良先生。

許玟斌

前言

不要將所有雞蛋放在同一個籃子；人們不能預知未來，如同樹上的鳥兒不知甚麼時候會被獵人射殺；人生常苦，沒有人知曉生老病死的時刻。面對這麼多的不確定性與不可預測性，聖經傳道書建議人們努力工作盡情享受渡過虛空的一生；佛家則勸導我們努力修行，嘗試去除貪嗔癡慢疑等煩惱的根基。這些教導無非勸戒人們在天意難違的情況下，努力生活或修行，期望來日順利的進入天堂或西方極樂世界。

山不轉路轉、路不轉人轉，只是順服天意、看天吃飯的人生態度。雖說人算不如天算，但是自古以來，人們也是不斷嘗試改運，其中諸葛亮借...

第一章　人生無處不機率　　
天體運轉沒有明確規則　
養生妙方能確保健康？　
名人代言　保證有效？　
充實知識　累積經驗　
理性投資　追求財富　
卜卦算命能掌握未來？　
挑戰體能極限的運動員　
天災與人禍　
公共政策成敗的基礎　
作奸犯科心存僥倖　
相信理性？還是憑直覺？　

第二章　計算事件發生的機率　　
模式化隨機現象的隨機試驗　
明確樣本空間　
假設樣本空間　
母體與樣本　
模式化隨機現象的流程　
機率公理與集合運算　
傳統機率：公正的骰子　
經驗機率：不能確定是否公正的骰子　
連續母體的隨機試驗　

第三章　計數事件與樣本空間　　
投擲兩顆骰子的隨機試驗　
選民投票行為的樣本空間　
拱豬紙牌遊戲的名次　
組織大樓住戶停車管理委員會　
樂透5/39中獎機率　
商業午餐菜色的隨機組合　
哇，一桿進洞！　
隨意搭配上衣與褲子　
選中車子或山羊？　
最近樂透常常出現連號，奇怪嗎？
隨機配對共乘機車去郊遊　
選中車子或山羊？
不會經過某一個十字路口的機率　
隨機配對共乘機車去郊遊　

第四章　條件機率與貝氏定理　　
預報下雨機率不高，出門不用帶雨具？　
選賢與能投下神聖的一票！　
先抽先贏？　
今天真幸運，上學途中一路綠燈！　
隨機配對共乘機車去郊遊　
真巧，每人各拿一張A　
計算第二階段考試過關的機率　
班對的另一個孩子也是女生？　
不實或糊塗申報所得稅？　
選中大獎的機率　
碰上恐龍法官了嗎？　
順利贏取工作機會　
掛心兒子口試是否過關的父親　
沒有消息就是好消息嗎？　
隨身碟到底掉在哪裡？


第五章　隨機變數與期望值　　
隨機變數是甚麼？　
計算隨機變數的期望值　
上下班途中碰上紅燈交通號誌的期望值　
購買台灣彩券5/39的期望值　
市井小民的小小賭局　
設計公平遊戲 　
敘述天氣狀況的經驗機率函數　
計算投資組合的期望報酬　
等車時間的機率函數　


第六章　常見理論機率分配函數　　
理論機率分配函數　
新生嬰兒的體重　
從精英俱樂部申請資格談起　
蔬果農藥殘餘量超標比例　
國父孫中山先生任何一次革命成功的機率　
蘋果越選越小　
不常到課的學生人數　
交通事故死亡人數統計　
病患送達急診室間隔時間　
熱中彩券明牌的下場　
發生全月蝕的機率　
一年之間出現x天降下大雨或以上的機率　
磁磚破裂數量合理嗎？　
智者千慮必有一失　
最近常常下雨，異常嗎？ 　
汽車耗油量合理嗎？　

第一章　人生無處不機率　　
天體運轉沒有明確規則　
養生妙方能確保健康？　
名人代言　保證有效？　
充實知識　累積經驗　
理性投資　追求財富　
卜卦算命能掌握未來？　
挑戰體能極限的運動員　
天災與人禍　
公共政策成敗的基礎　
作奸犯科心存僥倖　
相信理性？還是憑直覺？　

第二章　計算事件發生的機率　　
模式化隨機現象的隨機試驗　
明確樣本空間　
假設樣本空間　
母體與樣本　
模式化隨機現象的流程　
機率公理與集合運算　
傳統機率：公正的骰子　
經驗機率：不能確定是否公正的骰子　
連續母體的隨...