黎曼猜想漫談

「與死神賽跑的數學家」



身為數學家的韋伊怎麼會跑到監獄裡去的呢？這還得從他早年的一些經歷說起。

韋伊是一位早熟的數學家，自九歲開始就在一份中學數學刊物上嶄露頭角，對數學的喜愛可以說是達到了著迷的程度。據說有一次韋伊不小心摔了一跤，他那後來成為哲學家的妹妹所想到的安慰辦法，居然是立刻去把他的數學書找來。十六歲時，韋伊進了一所名為École Normale Supérieure 的學校，這個校名翻譯成中文是一個很土的名字，叫做「高等師範學校」。但莫看名字不起眼，它實際上卻是一所為法國先後培養過十二位諾貝爾獎得主及十位菲爾茲獎得主的一流學府。在那裡，韋伊參加了曾經證明過質數定理（參閱第7 章）的著名數學家阿達馬的討論班，並開始研讀包括黎曼在內的一些數學大師的著作。此外，他還結交了精研印度及東方文化的教授列維（Sylvain Lévi, 1863-1935）。受後者影響，韋伊一生都對印度文化懷有濃厚興趣。自十九歲起，韋伊開始在歐洲各地遊歷，每到一處都結交了不少朋友。1930-1932 年間，他到自己神往已久的印度生活了兩年多，親自接觸了這個古老國度的古老文化。1935 年，他還訪問了蘇聯，結識了一些蘇聯數學家。

但他萬萬不曾想到的是，對印度文化的鍾愛及與蘇聯數學家的友誼在不久之後將給他帶來巨大的麻煩，甚至險些讓他葬身在異國他鄉。

受印度教中某些和平主義思想的影響，在「第二次世界大戰」前夕的1939 年夏天，韋伊作出了逃避兵役的決定。為此，他和妻子來到了北歐國家芬蘭，打算以此為跳板前往國。在芬蘭期間，他沿襲了自己喜好遊歷的習慣，一邊在各處旅行，一邊與幾位蘇聯數學家展開通信聯絡，討論數學問題。幾個月後，「第二次世界大戰」爆發，芬蘭與蘇聯的關係趨於緊張，韋伊與蘇聯人的通信開始引起芬蘭方面的警惕： 一個外國人，不遠千里，來到芬蘭，專門與蘇聯人聯繫，這是什麼行為？芬蘭方面的警惕很快就變成了韋伊的厄運。1939 年11月底，蘇芬戰爭爆發，韋伊這位曾經訪問過蘇聯，當時仍與蘇聯人頻繁通信，甚至還很巧合地在戰爭爆發前夕遊歷到蘇芬邊境過的法國人，幾乎立刻就被當成蘇聯間諜抓捕歸案。

在韋伊的物品中，芬蘭員警發現了俄文信件，其中還夾帶著疑似間諜符號的奇怪記號（其實是數學符號）。此外，芬蘭員警還發現了一個名叫布林巴基的可疑人物的卡片。這就讓事情更說不清了，因為布林巴基是韋伊等人為布林巴基學派所取的筆名（跟間諜的化名差不多），而那卡片則只不過是韋伊等人發揮自己的幽默感製作出的道具。可惜戰雲籠罩下的芬蘭員警沒有心情玩幽默，數學符號也好，幽默道具也罷，通通被視為了間諜證據─至於你信不信，芬蘭員警反正信了。

韋伊幫蘇聯人做間諜一事就這樣被定了罪─而且是死罪。他的人生之旅走到了最危險的時刻。

在這冰天雪地的異國他鄉，有什麼人能將他從死神手裡救回呢？

臨刑前的傍晚，韋伊在冰冷的死牢中等待最後一個黑夜的降臨，當地的警察局局長卻正在參加一個熱鬧的晚宴。人生的際遇有時是很有戲劇性的。與蘇聯人討論數學看似無害，卻為韋伊帶來了死罪；而警察局局長的晚宴看似無益，卻成為了韋伊的救命稻草。因為參加晚宴的賓客中有一位數學家名叫奈望林納（Rolf Nevanlinna, 1895-1980）。此人恰好是韋伊的朋友。韋伊在被審訊時曾經提到過這位朋友，可惜沒有什麼作用，因為誰也不相信一位「蘇聯間諜」的話，更懶得去核實。奈望林納是赫爾辛基大學的數學教授，在全世界數學家的行列裡雖排不到前列，在芬蘭卻是很著名的數學家， 名聲之大甚至連警察局局長也認識。於是警察局局長走到奈望林納身旁，與他聊起了近日的「打黑」成果。他告訴奈望林納：「 我們明天將處決一名間諜，他聲稱認識您。通常我是不會為這類瑣事打擾您的，但既然我們都在這裡，我很高興能有機會直接向您諮詢一下。」奈望林納就問：「他叫什麼名字？」警察局局長回答說：「韋伊。」奈望林納大吃了一驚，自己的朋友居然變成間諜，這真是匪夷所思啊！當然，他對事情的原委是一無所知的，不過他還是建議警察局局長不要處決韋伊，而改為驅逐出境。

這一建議救了韋伊的命。他被芬蘭警方送往瑞典邊境驅逐出境，瑞典警方隨即逮捕他，將他送往英國，如此幾經接力，韋伊於1940 年2 月被送回到了法國警方手裡。法國警方則以「逃避兵役」（desertion）為由，將他收押在前面提到的海濱城市盧昂的軍事監獄中，等候判決。

我們在第20 章中介紹「獨行俠」賽爾伯格時曾經提到過，戰爭造成的孤立在賽爾伯格眼裡有一種全然不同的感覺，他將之比喻為是處在一座監獄裡，雖然與世隔絕，卻有機會把注意力集中在自己的想法上，對研究來說，是有許多有利之處。賽爾伯格後來果真利用那段

孤立的時光，在黎曼猜想研究中取得了重要進展（即臨界線定理）。現在，我們有了一個更好的例子來印證賽爾伯格的感覺，那就是韋伊。與賽爾伯格的比喻不同，韋伊可是貨真價實地蹲了監獄，他所取得的成果也確實不枉那樣的經歷。而且很巧的是，他那成果也與黎曼猜想有關─確切地說是跟「山寨版」的黎曼猜想有關。他那成果原本是應該等到出獄之後才發佈的，但死裡逃生的經歷使他對命運感到了迷惘，為防不測，他決定將成果寫成信件先發出去，於是就有了嘉當所收到的那封監獄來信。

韋伊的經歷和成果引起了一些數學家的「眼紅」。昂利．嘉當在讀了父親轉給他朋友韋伊的監獄來信後，毫不隱諱地向韋伊表示了「羡慕」之心：「我們都沒那麼幸運，能像你那樣不受干擾地坐下來工作。」韋伊的印度朋友、哈代的學生維賈伊拉卡文（Tirukkannapuram Vijayaraghavan, 1902-1955）則不止一次地感慨道：「如果能有六個月或一年時間蹲監獄的話，我肯定能證明黎曼猜想。」這種幽默感想必是從他老師哈代那兒學來的，其可信度當然也只能與哈代的明信片相提並論。事實上，如果蹲六個月或一年的監獄就能證明黎曼猜想的話，數學家們必定是會搶破頭去蹲大牢的，畢竟，與我們題記所引的蒙哥馬利那句話相比，蹲幾個月監獄這種代價實在算不上什麼。韋伊本人對自己在監獄裡取得的成果也深感自豪，在給妻子的信中表示：「我的數學工作進展得超乎我最大膽的期望，我甚至有點擔心─假如只有在監獄裡才工作得這麼好的話，我是不是每年都該把自己關起來兩三個月？」

不過，這樣「不受干擾」的「好日子」並沒有持續太久。1940年5 月初，對韋伊的判決下來了，他因逃避兵役被判五年監禁。但這一判決帶有一個寬限條件，那就是假如他願意到戰鬥部隊去服役的話，就可以免除監禁。韋伊接受了這一條件（幽默歸幽默，坐牢的滋味畢竟是不好受的）。他沒有想到的是，這一選擇使他在與死神的賽跑中又一次鬼使神差般地脫了身，因為隨著法國在「第二次世界大戰」中的快速退敗，僅僅一個多月後，海濱城市盧昂就落入了德國人手中，尚被關押在軍事監獄裡的囚犯則全部遭到了德軍的槍殺。

戰爭仍在繼續，但不久之後，韋伊利用一份偽造的肺炎證明騙過軍方，如願以償地進行了當初前往芬蘭時就擬定的赴美計畫。1941年年初，韋伊全家抵達紐約，開始了全新的生活。到達美國後，他在理海大學、芝加哥大學等地任過教，最終則任職於普林斯頓高等研究

所，安然度過了自己的學術晚年。韋伊的一生在數學上有著頗多建樹，「山寨版」的黎曼猜想只是他的研究方向之一。韋伊在這一方向上的研究持續了很多年，他雖不是這一方向的開創者，卻對其發展產生了承前啟後的作用，並且還因這一方向上的研究，而對代數幾何（algebraic geometry）的發展發揮了促進作用。

賣了半天關子，這「山寨版」的黎曼猜想究竟是什麼樣子的呢？說起來有些出人意料，它雖然只是「山寨版」比起「正版」也過於簡

單，但對多數讀者來說，它的表述卻遠比「正版」複雜得多，對科普來說更是堪稱堅果。接下來，我們就要來啃一啃這枚堅果（不排除崩壞牙齒的可能性）。

「與死神賽跑的數學家」



身為數學家的韋伊怎麼會跑到監獄裡去的呢？這還得從他早年的一些經歷說起。

韋伊是一位早熟的數學家，自九歲開始就在一份中學數學刊物上嶄露頭角，對數學的喜愛可以說是達到了著迷的程度。據說有一次韋伊不小心摔了一跤，他那後來成為哲學家的妹妹所想到的安慰辦法，居然是立刻去把他的數學書找來。十六歲時，韋伊進了一所名為École Normale Supérieure 的學校，這個校名翻譯成中文是一個很土的名字，叫做「高等師範學校」。但莫看名字不起眼，它實際上卻是一所為法國先後培養過十二位諾貝爾獎得主及...

隨著公眾數學水準的逐漸提高，愈來愈多的人知道黎曼（Riemann）猜想這個問題，我們將它記為RH。特別是RH 曾被希爾伯特（Hilbert）列入他的二十三個問題的第八問題，現在又被列為克萊數學研究所提出的千禧年七大待解決難題之一，備受關注。不少人已經知道RH 是數學中第一號重要問題。

但RH 是個什麼問題？為什麼重要？至今似未見一篇有相當深度的普及文章來加以解釋，往往需要參見數學專業著作與文獻，才能窺知一二。因此，一般人恐怕僅僅只知道有這麼一個問題而已。

盧昌海在《數學文化》上的六期連載文章《黎曼猜想漫談》，對RH 相關問題作了詳細的解釋。文章中關於數學的闡述是嚴謹的，數學概念是清晰的。文字流暢，其間並穿插了一些流傳的故事，以增加趣味性與可讀性。從這幾方面來看，都是一篇很好的雅俗共賞的數學普及文章。

盧昌海的文章還有以下優點：在述及一些重大結果時，作者對這些結果的重要前期成就都作了介紹。例如質數定理、賽爾伯格關於σ= 上的零點個數估計，及韋伊關於山寨版RH 的證明等。又為了釐清文章中涉及的一些概念，作者還特別舉例加以說明。例如在解釋戴德金L 函數時，涉及「理想」這個概念，作者以有理數域Q 與二次域作為例子來說明，所以是深入淺出的。我認為數學系本科高年級學生是可以看懂這篇文章所講的問題、結果與數學概念的含義。對於專職數學家與教師，甚至數論學家，也值得閱讀。我想他們對於RH的瞭解基本上是在學習與研究數學的過程中，零星地與積累地瞭解到的。如果有機會系統地瞭解一下RH ，也會極有好處。因此我願意向大家推薦盧昌海的文章。

我還想提出一點意見：若僅從題意表面來看，RH 只是研究一個特殊的亞純函數ζ(s) 的零點性質。若從亞純函數的理論來看，它只是一個例子而已。就像研究FLT 與GC 一樣，研究它們的目的主要在於發展數學中的新思想與新方法。具體言之，這兩個問題都是數學中「下金蛋的母雞」。

從過去的研究來看，RH 當然是數學中下金蛋的母雞，但研究它的目的，遠遠不止於此。它之所以成為數學中第一重要問題，主要是由於一系列的數學中重大問題的解決都依賴於各種RH 的解決。一旦這些RH 解決了，人類就站在一個不知比現在高多少的數學平臺上，看到更遠得多的風景。

到底各種RH 可以推出多少數學結果？要求弄清楚這麼多東西恐怕是太難了。如果盧昌海這篇文章還要繼續寫下去，也許可以考慮寫一些各種RH 的推廣。這會使讀者更能瞭解到解決各種RH 的巨大意義。

最後，我願借此機會祝盧昌海文章的成功，並盼望見到它能夠成書出版，使更多讀者能讀到，並從中受益。

隨著公眾數學水準的逐漸提高，愈來愈多的人知道黎曼（Riemann）猜想這個問題，我們將它記為RH。特別是RH 曾被希爾伯特（Hilbert）列入他的二十三個問題的第八問題，現在又被列為克萊數學研究所提出的千禧年七大待解決難題之一，備受關注。不少人已經知道RH 是數學中第一號重要問題。

但RH 是個什麼問題？為什麼重要？至今似未見一篇有相當深度的普及文章來加以解釋，往往需要參見數學專業著作與文獻，才能窺知一二。因此，一般人恐怕僅僅只知道有這麼一個問題而已。

盧昌海在《數學文化》上的六期連載文章《黎曼猜想漫談...

1 哈代的明信片　
2 黎曼ζ 函數與黎曼猜想　
3 質數的分佈　
4 黎曼的論文—— 基本思維　
5 黎曼的論文—— 零點分佈與質數分佈　
6 錯釣的大魚　
7 從零點分佈到質數定理　
8 零點在哪裡　
9 黎曼的手稿　
10 探求天書　
11 黎曼—— 西格爾公式　
12 休閒課題：圍捕零點　
13 從紙筆到機器　
14 最昂貴的葡萄酒　
15 更高、更快、更強　
16 零點的統計關聯　
17 茶室邂逅　
18 隨機矩陣理論　
19 蒙哥馬利—— 歐德里茲科定律　
20 希爾伯特—— 波利亞猜想　
21 黎曼體系何處覓　
22 波耳—— 蘭道定理　
23 哈代定理　
24 哈代—— 李特爾伍德定理　
25 數學世界的「獨行俠」　
26 臨界線定理　
27 萊文森方法　
28 艱難推進　
29 哪裡沒有零點　
30 監獄來信　
31 與死神賽跑的數學家　
32 從模算術到有限域　
33 「山寨版」黎曼猜想　
34 「豪華版」黎曼猜想　
35 未竟的探索　
附錄A 尤拉乘積公式　
附錄B 超越ZetaGrid　
附錄C 黎曼猜想大事記　

1 哈代的明信片　
2 黎曼ζ 函數與黎曼猜想　
3 質數的分佈　
4 黎曼的論文—— 基本思維　
5 黎曼的論文—— 零點分佈與質數分佈　
6 錯釣的大魚　
7 從零點分佈到質數定理　
8 零點在哪裡　
9 黎曼的手稿　
10 探求天書　
11 黎曼—— 西格爾公式　
12 休閒課題：圍捕零點　
13 從紙筆到機器　
14 最昂貴的葡萄酒　
15 更高、更快、更強　
16 零點的統計關聯　
17 茶室邂逅　
18 隨機矩陣理論　
19 蒙哥馬利—— 歐德里茲科定律　
20 希爾伯特—— 波利亞猜想　
21 黎曼體系何處覓　
22 波耳—— 蘭道定理　
23 哈...