數學恩仇錄：數學史上的十大爭端

一五四五年，義大利物理學家和數學家吉羅拉莫．卡爾達諾，以一本代數學方面的書在數學界掀起了一場軒然大波。這本書在今天被稱為《大技術或代數學的規則》。（簡稱為《大技術》）直到現在，它仍然被眾多學者認為是文藝復興時期的科學傑作之一。

一本代數書，什麼東西如此重要？

《大技術》以一些介紹性的材料開頭，這些材料包括標準的線性和二次方程式的解法。但是它很快就躍進到未知的領域，首次展示了求解三次和四次代數方程式的完整過程。

這本書的確有著驚人的成就，在十六世紀剩下的大部分時間裡，它將為推動歐洲數學的發展扮演重要角色。直到像法蘭西斯．韋達（一五四○—一六○三）和勒內．笛卡兒（一五九六—一六五○）這種水平的數學家出現後，這本書的貢獻才被取代。

但這本書的影響不僅在數學領域內，因為文藝復興也是科學世界的一個形成期，卡爾達諾的書在這方面同樣起了重要作用。正如傑出的數學史家莫里斯．克萊因所說的：「很多人把現代科學的出現歸功於試驗方法的引進，並相信數學只是作為一個方便的工具偶爾起點作用。真實的情況⋯⋯恰恰相反，文藝復興時期的科學家是作為數學家進入自然科學研究領域的⋯⋯實驗提供的幫助很小，甚至沒有。科學家在當時指望從這些原理推導出新的定律。」【1】

卡爾達諾除了讓長期潛伏的數學領域逐漸充滿生氣，也為科學的發展提供了動力。比如，數學史家隆納德．卡林格就視卡爾達諾為文藝復興時期新科學的奠基人之一。於是，人們把《大技術》和維薩里的《人體構造》及哥白尼的《天體運行論》相提並論——後兩者幾乎和《大技術》同時出現。

然而，維薩里是比利時人，哥白尼是波蘭人。很顯然的，看到自家人當中的任何一位對數學的發展做出如此非凡的貢獻，義大利的數學家們充滿了自豪。

確實，他們確實如此——除了一個人大大不服之外。《大技術》剛剛出版時，一位義大利數學家塔爾塔利亞——他通常以這個單名為人所知——開始攻擊卡爾達諾。雖然卡爾達諾在書中和好幾個場合清楚地聲明過，書中一個基本的三次方程式解法應歸功於塔爾塔利亞，但塔爾塔利亞說，這不是問題所在。在他看來，卡爾達諾背信棄義。義憤填膺的塔爾塔利亞堅持說，當他向卡爾達諾展示他的解法時，卡爾達諾——作為一個基督徒和紳士——信誓旦旦地承諾會在塔爾塔利亞的書之後才出版自己的書。

要理解塔爾塔利亞的抗議，以及因之而起的爭端的奇怪後果，我們應該回到十六世紀初看一看。

重生

開始於十四世紀的歐洲文藝復興，是歐洲智慧在沉睡了一千年後的甦醒和重生。藝術家和學者們——特別是在義大利——不斷重新發現過去的寶藏，並且將它發揚光大。科學家、工程師和數學家們雖然腳步慢了點，但也開始甦醒，而且毫不遜色。

近十五世紀末時，代數學裡出現了數學史上第一個激動人心的時刻。正如文藝復興其他方面的表現一樣，這些成果很大程度上是先前工作的再發現。這些輝煌的成就都是古希臘、阿拉伯和印度的數學家們創造的。他們在很多個世紀以前就找到了線性方程式和二次方程式的解法。

阿拉伯的數學家們早在九世紀（或許更早）就解決了某些三次方程式，但都是針對某些特定數字問題的幾何解法，甚至是猜想的解法。極度需要解決的是普通三次方程式的解法，這也是大家積極尋求的。在《大技術》之前，義大利數學界最有影響力的數學家盧卡．帕喬利在一四九四年主張，這樣的解法是找不出來的。

後來，在一五一○年到一五一五年之間的某個時候，波隆納大學的數學教授希皮奧內．德爾．費羅（一四六五—一五二六）提出了第一個三次方程式的代數學解法。他發明了一個解決﹁ 壓縮的三次方程式﹂（缺少二次項的三次方程式）的代數公式。換句話說，他找到了形如x3 + ax = b 的方程式的通用解法，這裡a和b都是正數。這是一個真正的突破，但他嚴加保密了十二年——或許更久！如何解釋這種奇怪的行為呢？

首先，十六世紀在數學史上的轉變，並不是一個「發表或者消失」的時代。當時，沒有同行評議的期刊，沒有網際網路。實際上，對於一項新發現的主人來說，最有可能的做法就是將之嚴格保密，並只在能設法證明它確實有利時才公開地用它——如果他確實要這樣做的話。

例如，「任期制」的想法是在很久以後才出現，所以數學上的學術職務變得很微妙。席位是依據地位和名望來安排的，而且隨時要迎接公開的挑戰。論戰有時會引起公開的、大規模的爭辯，爭論者的學生和支持者通常會參與其中。有些事例中，論戰不但吸引了很多人，還有激烈的打賭。德爾．費羅顯然相信，如果有人挑戰他，拿著一堆問題要他解答，他能一直用他的解法作為有效的還擊手段。

德爾．費羅是否曾經這樣用過他的解法，歷史沒有記載。但我們確知，在一五二六年他去世的時候，寫有這種解法的論文傳給了他的女婿兼繼任者安尼貝勒．德拉．納夫。更重要的是，他傳給了一個學生安東尼奧．馬立雅．費爾。【2】

費爾認為他握有一個無價之寶，於是回到家鄉威尼斯，希望成為一位數學老師。他讓大眾知道他在解三次方程式方面有特殊才能，但他經常聽人說，這其實沒什麼特別的，因為還有別人也有相同的能耐。他聽到的名字是塔爾塔利亞——一位威尼斯和維洛納的數學老師，他聲稱自己也會解三次方程式。

費爾考慮向塔爾塔利亞公開下戰帖，因為，如果塔爾塔利亞誇大其詞——這看起來非常有可能，那麼，這次挑戰將是撕毀他偽裝的面具，並為自己樹立名聲的絕佳時機。

一五四五年，義大利物理學家和數學家吉羅拉莫．卡爾達諾，以一本代數學方面的書在數學界掀起了一場軒然大波。這本書在今天被稱為《大技術或代數學的規則》。（簡稱為《大技術》）直到現在，它仍然被眾多學者認為是文藝復興時期的科學傑作之一。

一本代數書，什麼東西如此重要？

《大技術》以一些介紹性的材料開頭，這些材料包括標準的線性和二次方程式的解法。但是它很快就躍進到未知的領域，首次展示了求解三次和四次代數方程式的完整過程。

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汪　宇：數學的江湖恩仇錄
第一章　塔爾塔利亞和卡爾達諾：求解三次方程式
第二章　笛卡兒與費馬：解析幾何與光學
第三章　牛頓和萊布尼茲：微積分發明之爭
第四章　伯努利兄弟：史上排名第一的鬩牆之爭
第五章　西爾維斯特和赫胥黎：數學——象牙塔還是真實的世界？
第六章　克羅內克與康托爾：數學的騙局
第七章　波賴爾和策梅洛：「聲名遠播」的公理
第八章　龐加萊與羅素：數學的邏輯基礎
第九章　希爾伯特與布勞威爾：形式主義與直覺主義
第十章　絕對主義者／柏拉圖主義者與易誤論者／建構主義者：數學上的進步是發現還是發明？

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