你沒看過的數學

名人推薦：柯文哲 台北市市長

1.1數學與藝術

什麼是數學？如果你在路上抓幾個路人來問這個問題，答案可能都是「數學是研究數字的科學」。確實，「數學」在望文生義的情況下，大多數人都以為只和「數字」有關。事實上，這樣對數學的描述，早在兩千多年前的希臘文明就不正確了。我們就從人類文明進展的脈絡來探討“什麼是數學? ”

1.1.1 西元前五百年 -實用及經驗法則的數學

在西元前五百年，數學在當時的發展，確實只侷限於數字，無論是埃及、巴比倫、印度或中國等古文明，都是如此。當時的數學，僅限於數字的實際應用，如建造金字塔、建築城牆、發明武器、劃分農地、興建水利及道路工程等等。當時的數學就像是烹飪書一樣，針對某形態的問題，有一相對應的解法(公式)，數學的學習就像是背“烹飪書”，把數字套進正確的公式去就可以得到答案。這時期的數學僅局限於數字及簡單幾何圖形在實際生活的應用。見圖1到圖5。

數學重大的突破，發生在西元前五百年到西元後三百年這段期間的希臘文明。事實上，希臘人對數學和科學哲學的貢獻是人類文明發展極關鍵的一大步，希臘數學家/哲學家的貢獻主要在於幾何學及公理系統的建立。希臘人較不重視當時數學的實用性，他們感興趣的是數學作為掌握抽象概念的利器。他們發現，從簡單的點、線、面、圓的抽象概念開始，再依據嚴謹的邏輯推論，就可推導出許多重要的數學結果。譬如說，埃及人及巴比倫人早從實際應用知道畢氏定理，但只停留在” 知其然，但不知所以然” 的階段，而希臘人不但能從基本的幾何抽象概念證明出畢氏定理，而且還導出許多埃及人及巴比倫人不能從實用中得到的重要結果。

希臘數學家希帕霍斯(Hipparchus) 使用相似三角形的定理估算地球半徑為3944.3英里，這個數字與現代高科技測量到的地球半徑=3961.3英里只差17英里，誤差不到0.4% ! 真是“酷”極了。見圖6。

數學的定理是由公理經由演繹推理得到的結果，而非由觀察現象再加以「歸納」因此，在數學領域，對的東西永遠是對的，2000年前的定理到2000年後仍是對的，對的事實累積越來越多。當今大學的微積分和一百年前的微積分沒有太大不同，只是增加一些新內容。但在自然科學中，並非如此。例如物理學理論，新的發現不斷推翻舊有的理論，導出新理論。但數學卻是不斷累積起來的，所以數學與自然學科在本質上是不同的。舉例說明數學上的「演繹法」和自然科學常用的「歸納法」是大不同的，有何不同呢？譬如說你問一個物理學家，質數有哪些特性？他觀察數字1到13之後，用歸納法得到下列結論: 因為1、3、5、7、11，13都是質數也是奇數，只有2是質數卻是偶數，而 9是奇數但不是質數，因此所有的奇數都是質數，而2和9是例外，這就是用「歸納法」推論的結果。

再舉一例：有一外星人到地球研究人類，正巧降落在中國，於是他在觀察了約一億人之後，歸納出的結論是：「地球上所有人類都是黃皮膚。」

希臘人不強調數學應用在實務方面，而是用於智力訓練、智能發展、甚至用於美學上。現在，我們在課堂上所證明的幾何定理，大多沒有實用價值。而學習幾何證明題的目的，就是要讓大家學會嚴密推理、證明的方法。由於演繹推理能夠保證結論永遠邏輯正確，難怪希臘人認為埃及人和巴比倫人經由歸納觀察所積累的數學知識是空中樓閣，由沙子砌成的房子，一觸即潰。希臘人的目標是建造一座由大理石建成的永恆宮殿。而事實上，他們也達成這個目標: 演繹推理成為西方科學方法的主幹，演繹數學成為所有科學的語言直到今天。文藝復興時代的天才藝術家，科學家達文西也強調：「沒有通過數學檢驗的任何觀察和實驗都不能宣稱是科學。」

1.1數學與藝術

什麼是數學？如果你在路上抓幾個路人來問這個問題，答案可能都是「數學是研究數字的科學」。確實，「數學」在望文生義的情況下，大多數人都以為只和「數字」有關。事實上，這樣對數學的描述，早在兩千多年前的希臘文明就不正確了。我們就從人類文明進展的脈絡來探討“什麼是數學? ”

1.1.1 西元前五百年 -實用及經驗法則的數學

在西元前五百年，數學在當時的發展，確實只侷限於數字，無論是埃及、巴比倫、印度或中國等古文明，都是如此。當時的數學，僅限於數字的實際應用，如建造金字塔、建築城牆、發明武器、劃分農地、...

這是一本敘述數學之美的書，而不是敘說數學多有用的書。數學是一門最被人們誤解的學科，它常被誤認為是自然科學的一支。事實上，數學固然是所有科學的語言，但是數學的本質和內涵比較接近藝術(尤其是音樂)，反而與自然科學的本質相去較遠。本書嘗試從人類文明發展的脈絡來說明數學的本質：它像藝術一樣，是人類文化中深具想像力及美感的一部份。

為何人們對數學會有如此大的誤解，其原因大致如下：

我們的制式數學教育只注重快速解題，熟記題型以應付考試的需求，造成學生及家長對數學的刻版印象就是：一大堆作不完的測驗卷及背一大堆公式。在這種環境下，如何能期待多數的學生對數學有學習的動機和興趣？其結果是，用功的學生努力背題型，背公式以得到好成績，考上名校。就業後，除了理工科系外，發現只要會加減乘除就夠用了，以往多年痛苦的學習顯然只是為了考試，數學不但無趣也無用。至於沒那麼用功的學生早在國中階段就放棄數學了。因為就投資報酬率而言，數學要花太多時間，且考試成績未必和時間成正比，將這些時間用在別的學科比較有效益。

更糟的是，我們的社會謬誤將數學好不好和聰不聰明劃上等號。固然，數學很好的學生顯示他對抽象概念掌握能力不錯，僅此而己，不多也不少。至於數學不好的學生也只顯示他的抽象概念掌握能力有待加強，與聰明度無關。請問，我們會認定一個五音不全(音感不佳) 的人就是不聰明嗎？

此外，我們的教材有很大的改進空間。譬如說，專為考試設計的”假”應用題，然而最糟糕的是：為了在短時間內塞進太多內容，教材被簡化成一系列的解題技巧和公式。

事實上，數學絕對不是一系列的技巧，這些技巧不過是一小部份，它們遠不能代表數學，就好比調配顏色的技巧不能當作繪畫一樣。換言之，技巧就是將數學這門學問的激情，推理，美和深刻內涵抽離之後的產物。從人類文明的發展來看，數學如果脫離了其豐富的文化內涵，就會被簡化成一糸列的技巧，它的真實面貌就被完全扭曲了。其結果是：對於數學這樣一門基礎性的，富有生命力，想像力和美感的學科，大多數人的認知是數學既枯燥無味，又難學又難懂。在這種惡劣的學習環境及社會謬誤的影響下，學生及父母親或多或少都會產生數學焦慮症( Mathematics Anxiety)。

這些症狀如：

(1) 考前準備這麼多，為何仍考不好？是不是題目作得不夠多？

(2) 數學成績不好，是否顯示我不夠聰明，以後如何能出人頭地？

(3) 除了交給補習班及名師之外，有沒有其它方法可以學好數學，不再怕數學， 甚至喜歡數學？

數學焦慮症不是一天造成的，因此它的”治療”也要循序漸進。首要是去除對數學的誤解和恐懼，再服用”解藥”(新且有效的學習方法、教材)。

本書首先說明數學是西方文明的一個有機組成部份，它的影響及於哲學思想和推理方法，塑造了眾多流派的繪畫和音樂，為政治學說和經濟理論提供了理性的依據。作為人類理性精神的化身，數學己經滲透到以前由權威，習慣，迷信所统冶的領域，而且取代它們成為思想和行動的指南。然而更重要的是，數學在令人賞心悅目和美感價值方面，足以和任何藝術形式媲美。因此我深信應該將數學的”非技巧”部份按歷史發展的脈絡納入教材，使學生感受到這門學科之美，從而啟發學習的動機。

以我們的國文教學為例，學生同時學習技巧(寫字、拼音、造句)和美學(詩詞、文學欣賞)。同樣的道理，如果數學教學和國文教學一樣，技巧與美感並重，將會大大降低學生對數學的厭惡和恐懼。其次，本書敘述作者學習及領悟數學的心路歷程，並藉此說明數學推理和獨力思考能力的關係。

最後，我會提出一個冶療”數學焦慮症”的解藥，就是一套全新的數學教法和教材。本人最大的願望就是經由這些教材的自我學習，使得學生能大幅降低對數學的恐懼，增加信心，進而體會數學之美。同時，也因為更有自信，就能更有效率地學習”技巧”部分，大幅減少機械式的技巧練習，面對考試可以少背公式仍能得高分，澈底消除學生和家長的“數學焦慮症”。

這是一本敘述數學之美的書，而不是敘說數學多有用的書。數學是一門最被人們誤解的學科，它常被誤認為是自然科學的一支。事實上，數學固然是所有科學的語言，但是數學的本質和內涵比較接近藝術(尤其是音樂)，反而與自然科學的本質相去較遠。本書嘗試從人類文明發展的脈絡來說明數學的本質：它像藝術一樣，是人類文化中深具想像力及美感的一部份。

為何人們對數學會有如此大的誤解，其原因大致如下：

我們的制式數學教育只注重快速解題，熟記題型以應付考試的需求，造成學生及家長對數學的刻版印象就是：一大堆作不完的測驗卷及背一大堆公...

1 什麼是數學
1.1 數學與藝術
1.2 數學與音樂

2 數學與理性精神
2.1 為什麼學數學
2.2 數學與民主
2.3 數學與科學
2.4 諾貝爾科學類與菲爾茲獎各國得獎人數，帶來的啟示
2.5 數學與哲學，邏輯的重要性
2.6 數學是西方文化之母－數學素養是理性社會的基礎
2.7 由數學來看選舉

3 數學與邏輯
3.1 邏輯有什麼用
3.2 邏輯是什麼
3.3 認識集合與敘述
3.4 邏輯
*3.5利用邏輯的證明方法

4 認識生活中的數學，降低數學恐懼
4.1 將數學放回人類文明中
4.2 生活上必須懂的數學：M型社會與GDP
4.3 數學教育-數學成績的意義
4.4 數學成績與聰明才智的關係
4.5 成績重要還是理解重要
4.6 獨立思考與創造力-吳教授的馬蓋先故事
4.7 克服數學恐懼情緒
4.8 出社會後數學很多用不到，為什麼要大家學那麼多？數學到底該學什麼？
4.9 高斯的故事－不要恐嚇式教學，活用創造力
4.10 為什麼那麼多數學幾何證明
4.11 樹狀圖的思維，讓生活更有條理

1 什麼是數學
1.1 數學與藝術
1.2 數學與音樂

2 數學與理性精神
2.1 為什麼學數學
2.2 數學與民主
2.3 數學與科學
2.4 諾貝爾科學類與菲爾茲獎各國得獎人數，帶來的啟示
2.5 數學與哲學，邏輯的重要性
2.6 數學是西方文化之母－數學素養是理性社會的基礎
2.7 由數學來看選舉

3 數學與邏輯
3.1 邏輯有什麼用
3.2 邏輯是什麼
3.3 認識集合與敘述
3.4 邏輯
*3.5利用邏輯的證明方法

4 認識生活中的數學，降低數學恐懼
4.1 將數學放回人類文明中
4.2 生活上必須懂的數學：M型社會與GDP
4.3 數學教育-數學成績的意義
...