專門用來打好幾何基礎的數學課本1

幾何學是古埃及人為每年尼羅河氾濫之後測量土地界限發展出來的一門科學。自

希臘數學家歐基里德（ Euclid，歐幾里德約生於公元前 330年─約卒於公元前

275年）之後就以一套嚴謹的邏輯方法來敘述幾何學，從一些幾何基本元素定義及幾個公認為正確的公理開始，根據這些公理及定義，逐一證明每一定理，建構成完整的幾何學。

幾何學上的一些性質大多可以經由觀察或實驗而歸納出結果，但必須經由證明才

能確認其正確性，因為觀察或實驗可能受儀器精密度的因素或因環境的影響產生視差錯覺，導致錯誤結果。例如圖 1及圖 2是兩條等長的線段，但因為視差的

關係，人們會將二線段看成並非等長的線段，所以，幾何的性質不能以觀察或是實驗的結果就認為其性質是正確的，必需經過嚴謹的數學推理證明，才能判斷幾何性質的正確性。

數學推理論證有嚴謹的過程，在論證過程中有幾個數學常用的名詞，說明如下：

定義：一些敘述用來解釋一個幾何學的名詞。

公理：基本假設，公認為正確的事實。公理是不需證明也無法證明。

定理：一件事理經過證明為正確的叫做定理。

定理都可以分為兩部份：

(1)假設或己知：已知條件或事項。

(2)結論：由已知條件推論導致的結果。

系（推理）：由一個定理可以直接推理得到的定理。

定理證明：由假設或已知的條件，根據定義、公理或已經證明的定理，逐步推論到結論為止，這個推論過程就是定理的證明。

幾何學是古埃及人為每年尼羅河氾濫之後測量土地界限發展出來的一門科學。自

希臘數學家歐基里德（ Euclid，歐幾里德約生於公元前 330年─約卒於公元前

275年）之後就以一套嚴謹的邏輯方法來敘述幾何學，從一些幾何基本元素定義及幾個公認為正確的公理開始，根據這些公理及定義，逐一證明每一定理，建構成完整的幾何學。

幾何學上的一些性質大多可以經由觀察或實驗而歸納出結果，但必須經由證明才

能確認其正確性，因為觀察或實驗可能受儀器精密度的因素或因環境的影響產生視差錯覺，導致錯誤結果。例如圖 1及圖 2是兩條等長的線段，但...

因為工作和教會的服事，常需要接觸中學生，指導他們的課業，因為求學時期的資料早已遺失，記憶也已淡忘了，因此一切都得重頭來過，還記得剛開始重新接觸國中幾何時，心中立即浮現一個疑問：現在的教材為何變得如此簡化？

我發現我們現在的幾何教科書一開始就教作圖，比方說，教小孩如何平分一個角。我問我的學生，你怎麼知道這樣做就可以平分一個角?他的回答是，他把那個圖剪下來，然後按照平分線來對摺，這樣就可以證明角已經被平分了。

我對這件事情極感難過，因為角平分線的原理是根據三角形全等證明而來。我小的時候絕對先學三角形全等，然後再學角平分線，我們當然不是把那個角剪下來，然後再對摺，我們是根據三角形全等的原理，可以證明我們所做的角平分線是正確的。

學幾何，其目的不是在於學有關於幾何的證明，而是要學會如何合乎邏輯地證明一個定理。現在我們的考試都不考證明題，所以學生其實是搞不清楚什麼叫做證明的。

我在成功中學唸幾何的時候，我記得非常清楚，我的老師一開始就強調幾何不可以做實驗，必須講證明。以後，我深深感覺到當年老師給我有關於幾何的教育，一輩子受用。現在我在教電子線路，我們當然可以做實驗，但是如果要解釋某一個電壓往上升，或者電流往下降，都必須要很合乎邏輯地證明電壓一定會往上升，或者電流一定會往下降，而不能做個實驗了事。

因此我在教學上，特別重視基本定理的證明，發現學生一旦理解了定理的證明過程，即使沒有背公式，在解題時也能夠一步步的推算出正確答案。從此，學生在學習上不再是背數學，而是以理解的方式學習。

當第一次見到由博幼基金會所編輯的幾何教材時，即認定它就是學生學習幾何所需要的一套教材。為何如此說呢？因為博幼的這套教材乃是藉由邏輯上的思考，來幫助學生從無到有建立起幾何學的概念，教材中的所有定理，都是由基本定義經過證明而得來；博幼教材是依照「點 線 面 體」的順序編輯而成，每個定理都是建立在前一個定理之上，各章節之間相互連結，其內容環環相扣，一氣呵成。本套教材共分10章，分為四本書出版，教材中明列了國中範圍的111個定義、8個公理以及證明了157個定理，凡是中學生所需要學習的幾何知識，在這套教材中全都找的到，而且都有詳細嚴謹的證明過程。

仔細看完本書，發現本書中的每一章節都是根據以下三個步驟來進行：

第一、基礎的基本定義介紹。

第二、利用基本定義來證明定理。

第三、將定理應用在幾何例題上。

為了建立學生學習的信心，每章節例題的編排方式都是由淺入深，等學生熟悉基本的題型之後，這才導入綜合的題型，並在每單元的最後引導學生作本章節內容的重點整理歸納，最後再加入歷屆基測考題來增強本教材的實用性。(全書約有80種題型、728個例題、564個習題以及歷年112個基測試題。)

因此，在學習上，學生可藉著博幼幾何教材清楚知道每個定理的由來，再以這些定理為基礎，解決各定理所延伸之種種題型，博幼的幾何教材絕對是最適合中學生學習的一套工具。

我敢說，博幼基金會的這一本幾何教科書是目前最完整的幾何教科書，其中有很多基本的教材，也有很難的教材，老師可以從中選擇教材來教。對於聰明的和不太聰明的孩子，這本書都適用。

李家同

因為工作和教會的服事，常需要接觸中學生，指導他們的課業，因為求學時期的資料早已遺失，記憶也已淡忘了，因此一切都得重頭來過，還記得剛開始重新接觸國中幾何時，心中立即浮現一個疑問：現在的教材為何變得如此簡化？

我發現我們現在的幾何教科書一開始就教作圖，比方說，教小孩如何平分一個角。我問我的學生，你怎麼知道這樣做就可以平分一個角?他的回答是，他把那個圖剪下來，然後按照平分線來對摺，這樣就可以證明角已經被平分了。

我對這件事情極感難過，因為角平分線的原理是根據三角形全等證明而來。我小的時候絕對先學三角形全...

第一章　幾何的基本元素
1.1節　點與線
1.2節　角
1.3節 角與角之間的關係
1.4節 垂直與平行
1.5節 幾何學的基本公理
1.6節 有關角的一些基本定理
1.7節 圓

第二章　三角形
2.1節　三角形的重要基本觀念
2.2節　兩邊夾一角三角形全等定理
2.3節 兩角夾一邊三角形全等定理
2.4節 三邊相等三角形全等定理
2.5節 三角形的邊角關係

第三章　垂直線與平行線
3.1節 垂直線
3.2節 平行線
3.3節 對稱圖形

第一章　幾何的基本元素
1.1節　點與線
1.2節　角
1.3節 角與角之間的關係
1.4節 垂直與平行
1.5節 幾何學的基本公理
1.6節 有關角的一些基本定理
1.7節 圓

第二章　三角形
2.1節　三角形的重要基本觀念
2.2節　兩邊夾一角三角形全等定理
2.3節 兩角夾一邊三角形全等定理
2.4節 三邊相等三角形全等定理
2.5節 三角形的邊角關係

第三章　垂直線與平行線
3.1節 垂直線
3.2節 平行線
3.3節 對稱圖形