X的奇幻旅程：從零到無限的數學

名人推薦：洪萬生

台灣數學家

國立臺灣師範大學數學系退休教授

我見過最棒的認識數字的方法，是在《芝麻街》（ Sesame Street）的錄影帶〔1〕中，那一集叫做《和我一起數數》（

123 Count with Me），他們用最清楚、最有趣的方式來解釋數字是什麼，以及為什麼我們需要數字。全身披著粉紅色的皮毛，長有一個綠色鼻子的漢弗萊待人親切，只是腦筋不太靈活，他在毛茸茸飯店值午班時，接到客房的電話，有一大群企鵝要訂午餐。漢弗萊仔細聆聽他們點的餐，然後對廚房說：「魚、魚、魚、魚、魚、魚」。這讓一旁的爾尼忍不住想教他使用數字六的好處。孩子可以從中學到使用數字的好處，明白這能夠大幅縮短我們要說的話。漢弗萊可以使用六這個更為強大的概念來取代重複說出和企鵝相同數目的「魚」這個字。

然而，在成人的眼中，我們可能會注意到數字有一潛在的缺點。當然，它們非常節省時間，但卻極度的抽象。和六條魚相

比，六顯得虛無飄渺，這全然是因為數字比較概略與普遍的緣故。它同樣適用於描述：六大板塊、六隻企鵝、六次發出「魚」

這個字的聲音；這是上述一切的共同點，但卻難以言喻。

從這個角度來看，數字開始顯得有點神秘。它們顯然存在於某種超越現實的柏拉圖式境界中。就這點而言，它們更像是其他

崇高的概念（如真理和正義），而不若日常生活中的普通事物。

再進一步思考的話，它們的哲學地位變得模糊不清。數字到底從何而來？是人類發明出來的，或只是發現的？

數字（和所有其他的數學概念）還有另一個微妙的特性，即它們擁有自己的生命〔2〕，不受我們控制。即便它們存在於我們

的意識中，一旦被定義，我們就無權干涉它們的行為。它們服從一定的規律，有一定的屬性、個性以及和其他數字結合的方式，除了觀看，並嘗試了解，我們沒有什麼可以做的。在這個意義上，它們其實很詭異，讓人聯想到原子和恆星，它們都是超出我們控制範圍但遵守運行法則的事物，和數字十分類似，只是這些東西位於我們的腦袋之外。

數字的這種雙重性，一部分超然於外，一部分又極度實際地貼近日常生活，這或許是它們最弔詭的特性，但也是它們最有用的地方。想必這正是物理學家尤金‧維格納（ Eugene Wigner），在寫下「在自然科學中，數學具有不合理的有效性」〔3〕時的想法。

要是你還是不明白我的意思，弄不清楚數字的生命和不可控制的行為到底是什麼的話，就讓我們再回到毛茸茸旅店。假設在

漢弗萊替企鵝點菜前，突然接到另一間客房的電話，裡面住的房客，剛好也是相同數量的企鵝，而且也都是要吃魚。在接完這兩

通電話後，漢弗萊該跟廚房說什麼？要是他什麼都沒學會，他得為每隻企鵝都喊一次「魚」。要是他會用數字，便可以告訴廚師他需要為第一間客房訂六份魚，另外還要六份魚給第二間客房。

但他真正需要的其實是個新概念：加法。一旦他學會了，他可以很自豪地說，他需要六加六份魚（或者，要是他很愛現的話，可以說他要十二份）。

這裡的創意就像開始使用數字一樣。正如數字是一個一個計數的捷徑，加法便是計算任何數量的捷徑。這就是數學成長的方

式，正確的抽象化會帶來新的見解、新的力量。要不了多久，就是連漢弗萊都會明白他可以無止境地計算下去。

然而，儘管演算是無邊無際的，但我們的創造力總是有所限制。我們可以決定「 6」和「 +」代表什麼，但一旦定義好之後，

6+6這樣的式子的結果，就不是我們所能控制的。邏輯使我們別無選擇。正是在這層意義上，數學一定會包含發明和發現

這兩個過程：我們發明概念，但是我們發現其後果。在接下來的幾章中，我們將會看到，在數學中，我們僅有提出問題和選擇解決問題的方式的自由，但答案只會在某處等待著我們。

我見過最棒的認識數字的方法，是在《芝麻街》（ Sesame Street）的錄影帶〔1〕中，那一集叫做《和我一起數數》（

123 Count with Me），他們用最清楚、最有趣的方式來解釋數字是什麼，以及為什麼我們需要數字。全身披著粉紅色的皮毛，長有一個綠色鼻子的漢弗萊待人親切，只是腦筋不太靈活，他在毛茸茸飯店值午班時，接到客房的電話，有一大群企鵝要訂午餐。漢弗萊仔細聆聽他們點的餐，然後對廚房說：「魚、魚、魚、魚、魚、魚」。這讓一旁的爾尼忍不住想教他使用數字六的好處。孩子可以從中學到使用數字的好處，明白這能夠大幅縮短我們要...

前言

我有個朋友，對科學懷有莫大的興趣，但他其實是個藝術家。每當我們聚在一起，他總是會聊一些心理學或量子力學的最新進展。但只要一談到數學，他總是一頭霧水，搞不清楚狀況，這令他非常難過。奇怪的數學符號讓他產生疏離感。他說，他甚至連這些符號要怎麼唸都不知道。

事實上，他對數學的疏離感不僅是來自於符號，還有更深一層的原因。他不知道數學家到底在做什麼，也不明白他們為什麼會說一個證明是「優雅的」。有時候我們開玩笑地說，我應該在他身旁坐下來，從1 + 1 = 2開始教起，看看能讓他懂多少。

聽起來很瘋狂嗎？但這就是我想在這本書中嘗試做的。這將是一場數學基礎要素的導覽，提供給所有想要有第二次機會認識數學的人，不論是學齡前的孩童，還是研究所學生，都可以參加，只不過這次是從成年人的角度來介紹。這不是為了補救教學，而是要讓你對數學產生好感，明白它是什麼，以及為何瞭解它的人都會如此著迷的原因。

在這場旅程中，我們將會發現麥可‧喬丹（Michael Jordan）的灌籃竟然可以用來協助我們解釋微積分的基本演算。我還會提供你一個簡單但絕對是扣人心弦（令人興奮）的方式，來理解幾何的基本要素：畢氏定理。我們會觸及到一些生活的奧秘，有的大有的小，比如說：辛普森真的謀殺了他的前妻嗎？應該要如何翻轉床墊才能發揮其最大效用？在確定終身伴侶前，至少要和多少人交往？另外，我們還會探討為何有些無限會比其他的無限還要大。

只要你能明白箇中巧妙，就會發現數學無所不在。我們會在斑馬條紋中看到正弦波形，在獨立宣言中聽到歐幾里得的迴音，並且在第一次世界大戰爆發前詭譎多變的情勢中看出負號的作用。最後，我們將對今日的生活審視一番，看看我們是如何受到新形態的數學所影響，不論是在網路上搜尋餐廳，還是嘗試理解股市可怕的波動，至於股海求生那就是另一門學問了。

這本書是在我剛滿五十歲時誕生的，對於一本關於數字的書，這也算是個巧合。當時紐約時報的專欄編輯大衛‧希普利（David Shipley），在這個大日子邀請我共進午餐（他並不知這一天是我年近半百的日子），並問我是否考慮過為報紙的讀者寫一系列關於數學的文章。我喜歡這個提議，也覺得能夠將數學的樂趣分享給除了我那位好奇的藝術家朋友外的其他視聽大眾，是件很棒的事。

於是乎，在2010年1月下旬，我們在網路上推出了「數學的要素」（The Elements of Math）的專欄，為期十五個星期。我得到了許多來自各年齡層讀者的回應，有人寫信，有人留言。這當中有許多不乏是學生和教師，其他的則是懷有好奇心的人，他們過去因為種種原因，跟不上學校的數學課程，但覺得錯失了一些值得學習的事情，希望能夠再次嘗試。最讓我開心的是，我收到許多心懷感激的父母的留言，感謝我的文章幫助他們能夠向孩子解釋數學，而且在這過程中，也幫助他們重新認識數學。就連我的同事和一些同行的數學狂熱分子，似乎在閱讀我的作品時也覺得興味盎然，只要他們不用提出什麼改進的建議（當然也有人是在指正我之後，感到特別開心！）。

所有的一切，讓我相信普羅大眾其實很想進一步了解數學，但多數人並沒有認知到這個事實。儘管我們不斷聽到數學恐懼症，還是有很多人想要更進一步了解這個主題。而且，一旦他們真的瞭解了，就會對數學上癮。

《X的樂趣》這本書是旨在介紹數學中最引人注目，同時也是最深遠的想法。每一章的內容都能夠輕易咀嚼與消化，而且幾乎是相互獨立的，有些其實是時代網站上原始的文章，可以隨意閱讀。如果你想要更深入瞭解某個主題，在本書後面的附註提供了更多細節和深入閱讀的建議。

為了讓喜歡按部就班的讀者閱讀起來方便，我將本書區分成六個部分，依照傳統課程的方式解說。

在第一部「數字」中，我們的旅程從幼童和學校的數學運算開始，強調數字其實非常有用，以它們來描述世界時可以發揮驚人的效果。

在第二部「關係」中，概述數字與數字之間的關係，這些概念是代數的核心。它們之所以如此重要，主要是因為這是用於描述一件事如何影響另一件的第一種工具，這其中的關係可以是因果關係、供需關係或是劑量和反應等種種讓世界複雜且豐富的關係。

第三部「形狀」，我們從數字和符號轉至形狀和空間，進入幾何和三角學的世界。隨著將所有看得見的東西特徵化，這些主題透過邏輯和證明，將數學的嚴謹程度提高到新的層次。

在第四部「變化」中，我們將進入微積分的世界，這是數學中最為廣泛，而且是最有成果的一個分支。因為有微積分，我們才得以預測行星的運動、潮汐週期乃至於任何一種形式的連續變化，不論是在宇宙中，還是人類本身。我將以「無限」來貫穿這部分的主題。在數學的進程中，就是因為採用無限的概念，才有了突破，發明出微積分來運算方式。藉助無限強大的力量，可才得以用微積分來解決許多長久以來的問題，超越先人，最終催生出科學革命和現代世界。

第五部「數據」涉及到機率、統計、網絡和數據挖掘（data mining），這些都算是相對晚近的學科，它們乃是受到機會和運氣、不確定性、風險、波動、隨機與相聯性這些我們生活中諸多的雜亂面相所激發出來的。只要選對正確的數學工具，再加上正確的數據，就能在一團混亂中看出個所以然來。

在我們旅程的尾聲，也就是第六部「前線」，我們會接近數學知識的邊緣，造訪已知與未知之間那塊難以捉摸的疆界。我們將重溫之前各章節的主題，從關係、形狀、變化到無限，不過這次會更深入地探討，並討論其在現代生活中的化身。

我希望即將呈現的這些想法將帶給你樂趣和許多「原來如此」的時刻，讓你恍然大悟，對數學刮目相看。千里之行，始於足下，就讓我們從數數這個最簡單卻也最神奇的行為開始我們的旅程吧！

前言

我有個朋友，對科學懷有莫大的興趣，但他其實是個藝術家。每當我們聚在一起，他總是會聊一些心理學或量子力學的最新進展。但只要一談到數學，他總是一頭霧水，搞不清楚狀況，這令他非常難過。奇怪的數學符號讓他產生疏離感。他說，他甚至連這些符號要怎麼唸都不知道。

事實上，他對數學的疏離感不僅是來自於符號，還有更深一層的原因。他不知道數學家到底在做什麼，也不明白他們為什麼會說一個證明是「優雅的」。有時候我們開玩笑地說，我應該在他身旁坐下來，從1 + 1 = 2開始教起，看看能讓他懂多少。

聽起來很瘋狂嗎？但這就是我...

第一部 數字
第一章 從魚到無限
第二章 一堆石頭
第三章 我敵人的敵人
第四章 換算
第五章 讓人抓狂的除法
第六章 位置、位置、位置
第二部 關係
第七章 X的樂趣
第八章 尋找你的根
第九章 滿出來的浴缸
第十章 二次方程式
第十一章 強大的工具
第三部 形狀
第十二章 方塊舞
第十三章 無中生有
第十四章 圓錐的陰謀
第十五章 必要條件
第十六章 極限
第四部 改變
第十七章 改變我們所能相信的
第十八章 切片、切塊
第十九章 都是為了e
第二十章 你愛我，你不愛我
第二十一章 進入光的世界
第五部 資料
第二十二章 新的常態
第二十三章 機會有多大
第二十四章 解開網絡
第六部 邊境
第二十五章 最孤單的數字
第二十六章 群體思考
第二十七章 扭轉和喊叫
第二十八章 全球思維
第二十九章 分析這個！
第三十章 希爾伯特大飯店

第一部 數字
第一章 從魚到無限
第二章 一堆石頭
第三章 我敵人的敵人
第四章 換算
第五章 讓人抓狂的除法
第六章 位置、位置、位置
第二部 關係
第七章 X的樂趣
第八章 尋找你的根
第九章 滿出來的浴缸
第十章 二次方程式
第十一章 強大的工具
第三部 形狀
第十二章 方塊舞
第十三章 無中生有
第十四章 圓錐的陰謀
第十五章 必要條件
第十六章 極限
第四部 改變
第十七章 改變我們所能相信的
第十八章 切片、切塊
第十九章 都是為了e
第二十章 你愛我，你不愛我
第二十一章 進入光的世界
第五部 資料
第二十二...