50則非知不可的數學概念

賽局理論

有人說，約翰是世界上最聰明的人。約翰‧馮‧紐曼（John von Neumann）是個天才兒童，後來他在數學界更成為一個傳奇。當人們聽說他在坐計程車前往開會的路上就草草寫出賽局理論中的「大中取小定理」時，他們可能只會點點頭，因為這確實就是馮‧紐曼會做出的那種事情。馮‧紐曼對於量子力學、邏輯、代數都有所貢獻，因此賽局理論怎麼可能逃得過他的法眼？他與奧斯卡‧摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）合著了影響深遠的《賽局理論與經濟行為》（Theory of Games and Economic Behavior）。廣義來說，賽局理論是門古老的學科，但馮‧紐曼是將「兩人零和賽局」理論變得鮮明的關鍵人物。

兩人零和賽局

雖然聽來複雜，但兩人零和賽局，簡單來說就是兩個人、兩家公司或兩個團隊一起參加比賽，在這場賽局中有一方勝利而另一方失敗。如果A贏了200英鎊，那B就輸了200英鎊；這就是所謂零和的意義。A跟B合作是沒有意義的，這是場單純的競賽，只有一方是贏家、另一方則是輸家。「雙贏」表達的是A贏得200英鎊而B贏得-200英鎊，總和是200 + (-200) = 0。這就是「零和」這個名詞的由來。

我們可以想像有兩家電視公司ATV和BTV正在競標，希望能在蘇格蘭（Sctoland）或英格蘭（England）經營另一家新聞通訊社。每家公司只能投標一個國家，他們會根據增加的觀眾數量來做決定。媒體分析師已經預估了觀眾的增加量，兩家公司都可以使用他們的研究資料。這些資料都記載在「償付表」（payoff table）中以供參考，測量的單位是百萬觀眾。

如果AVT和BTV都決定在蘇格蘭經營，那麼ATV會得到五百萬觀眾，但BTV會失去五百萬觀眾。在償付表中，負號的意思是ATV損失的觀眾，如償付-3，代表ATV會失去三百萬觀眾。正償付對ATV有利，而負償付則是對BTV有利。

我們假設，公司會根據償付表做出一次性的決定，兩家公司皆以密封投標的方式同時競標。顯然，兩家公司都依據自己的最佳利益來行動。如果ATV選擇蘇格蘭，可能發生的最糟情況是損失三百萬觀眾。如果他投標英格蘭，最糟的情況是獲得兩百萬觀眾。對於ATV公司而言，最明確的策略是選擇英格蘭。這樣無論BTV做什麼選擇，最糟就是得到兩百萬的觀眾。

BTV的地位處於弱勢，但還是能找出一個限制潛在損失的策略，寄望在下一年可以有較佳的償付表。如果BTV選擇蘇格蘭。可能發生的最糟情況是損失五百萬觀眾；如果他選擇的是英格蘭，那麼最糟將會是損失四百萬觀眾。BTV的安全策略是選擇英格蘭，這樣最多就只會損失四百萬、而不是五百萬觀眾。無論ATV的選擇為何，他都不可能失去四百萬以上的觀眾。

這些是對各個參賽者最安全的策略，如果依此行事，ATV會得到額外的四百萬觀眾而BTV則是失去這些觀眾。

美麗境界

2001年上映的電影「美麗境界」（A Beautiful Mind），是根據約翰‧奈許（John Nash）（1928年生）混亂的一生改編而成，他在1994年因為賽局理論的貢獻而獲得諾貝爾經濟學獎。

奈許和其他人將賽局理論擴展至兩人以上的參賽者以及參賽者間出現合作的情況，包括聯合對付第三個參賽者。「奈許均衡」（像是鞍點均衡）提出比馮‧紐曼所制訂的更廣泛許多的觀點，讓人們對於經濟情勢能有更好的理解。

賽局理論

有人說，約翰是世界上最聰明的人。約翰‧馮‧紐曼（John von Neumann）是個天才兒童，後來他在數學界更成為一個傳奇。當人們聽說他在坐計程車前往開會的路上就草草寫出賽局理論中的「大中取小定理」時，他們可能只會點點頭，因為這確實就是馮‧紐曼會做出的那種事情。馮‧紐曼對於量子力學、邏輯、代數都有所貢獻，因此賽局理論怎麼可能逃得過他的法眼？他與奧斯卡‧摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）合著了影響深遠的《賽局理論與經濟行為》（Theory of Games and Economic Behavior）。廣義來說，賽局理論是門古老的學科，但馮‧紐曼...

簡介

01 零
02 數字系統
03 分數
04 平方與平方根
05 π
06 e
07 無限大
08 虛數
09 質數
10 完全數
11 斐波那契數
12 黃金矩形
13 巴斯卡三角形
14 代數
15 歐幾里得演算法
16 邏輯
17 證明
18 集合
19 微積分
20 作圖
21 三角形
22 曲線
23 拓撲學
24 維
25 碎形
26 混沌
27 平行公設
28 離散幾何
29 圖
30 四色問題
31 機率
32 貝氏理論
33 生日問題
34 分布
35 常態曲線
36 連結資料
37 遺傳學
38 群
39 矩陣
40 數碼
41 進階計數
42 魔術方陣
43 拉丁方陣
44 金錢數學
45 飲食問題
46 出差問題
47 賽局理論
48 相對論
49 費馬大定理
50 黎曼猜想

詞彙表

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01 零
02 數字系統
03 分數
04 平方與平方根
05 π
06 e
07 無限大
08 虛數
09 質數
10 完全數
11 斐波那契數
12 黃金矩形
13 巴斯卡三角形
14 代數
15 歐幾里得演算法
16 邏輯
17 證明
18 集合
19 微積分
20 作圖
21 三角形
22 曲線
23 拓撲學
24 維
25 碎形
26 混沌
27 平行公設
28 離散幾何
29 圖
30 四色問題
31 機率
32 貝氏理論
33 生日問題
34 分布
35 常態曲線
36 連結資料
37 遺傳學
38 群
39 矩...