經濟與財務數學：使用R語言

拜電腦科技之賜，現代的人很容易使用手機或（平板）電腦等工具；但是，講到商科專業於電腦上的應用，似乎就不是那麼得心應手了。究其原因，原來商科專業上的學習或訓練並沒有隨著資訊科技的進步而跟上腳步，也許我們應該思索傳統的學習或訓練方式是否仍存在改善空間。直覺而言，似乎還欠缺什麼；原來，科技進步並不是沒有代價的，我們反而比以前需多學一些知識與技巧。就商科的學生而言，專業上的訓練竟然較少利用電腦輔助工具，雖說EXCEL 或EVIEWS 等商業套裝軟體是經常被提及或應用，不過上述套裝軟體可以應用的範圍卻相當狹隘；那是否存在一種電腦輔助工具或語言，能幫我們處理各種專業？依筆者的看法，未來R 語言（底下簡稱R）可能是其中一種選項。

完成《財金統計學：使用R 語言》一書（五南出版）（底下簡稱《財統》）後，筆者開始思考《財統》的「後傳」應該長成什麼樣子？不過，「好幾次上課之前，看到黑板上密密麻麻的數學式子，大概前一節是數學或微積分等課」，筆者突然有一個念頭：黑板上只是數學的推導過程，我們是否也可以用R 來表示；也就是說，R 應該也可以被當作一種數學學習的輔助工具。因此，筆者開始思考如何利用R 來當作數學學習，尤其是用R 來做為學習經濟與財務數學的一種輔助工具。

本書就是在上述思考過程中完成的。R 是一種免費的統計軟體，筆者發現R竟然也可以用來學習數學或微積分；因此，若R 也能勝任後者的角色，則R 的學習不是「一舉多得」嗎？R 既可以用來學習統計學，也可以用來學習數學或（隨機）微積分，則當初（被迫）學習R，懷疑R 的功效的不信任度自然可以降低；不過，若是質疑R 的功用，那我們不是仍要找出一個工具取代R 嗎？換言之，數學的推導過程是重要的，也是無法避免的，不過，若能將複雜的數學式子顯示於電腦內，則不就是可以提高我們對該數學式子的了解嗎？就我們而言，除了基本的數學推導過程外，一些繁瑣的數學模型或推導過程，若沒有電腦模擬的幫忙，則可能仍永遠處於「不知它在講什麼？」的狀態。可惜的是，我們仍不習慣或擅長於電腦的模擬。

因此，若數學的推導過程是屬於數學學習的第二階段，則第三階段應是電腦的模擬或計算；也許，有些時候第三階段可以取代第二階段。舉例來說，衍生性商品的介紹，多少會提到標的資產價格屬於「幾何布朗運動（GBM）」，GBM的觀念與推導過程是抽象且繁瑣的，沒有電腦模擬的輔助，應該不容易了解其背後的原理原則；另一方面，若能寫出GBM 的程式語言，豈不是更能了解它背後所隱含的意思嗎？另外再舉一個簡單的例子，若看到一個短期總成本函數如，我們是否可以輕易地繪製出其圖形或計算出其數值？有了電腦工具的輔助，許多專業學科的學習，應該能更了解它的內涵或更上一層樓。讀者以為呢？我們已經學習R 了，當然也希望R 能幫我們做更多的事。本書的目的就是提供另外一種方式來學習經濟與財務數學，當然，本書並不是強調完全可以用R 來取代數學的推導過程；相反地，若不知後者，則如何能寫出對應的R 指令？筆者只是覺得應該可以用R 來幫助我們學習數學，有意思的是，至目前為止，我們竟然還不習慣利用電腦輔助工具來學習數學！也許，許多專業的訓練或課程，可以適度地使用電腦。就經濟與財務數學而言，基礎數學與深入（或稱進階）的數學之間的差距，通常是不易跨過的，本書的內容剛好就介於上述二者之間；因此，本書的閱讀對象，主要是以大學部的學生為主，若想深入了解經濟與財務領域，但進階的經濟與財務書籍又不容易入手，則本書倒是提供了一種入門的途徑。如同《財統》，書名雖有「使用R 語言」，但是該書最主要是要介紹財金統計學；於本書，筆者最主要是要介紹數學，尤其是於經濟與財務上的應用，二書的內容皆只是將R 視為一種輔助工具而已。

　　本書全書總共有14 章，其中第1-8 章與第11-13 章的內容，主要是以傳統微積分的範圍為主4，當然筆者皆是將其轉成於經濟與財務上的應用（因此讀者要有修過經濟學與財務管理等課程的背景)；至於第9-10 章與第14 章的內容，則是以欲進入進階的經濟與財務數學預作準備。由於進階的經濟與財務數學大多強調「隨機動態過程」，而欲了解後者，則必須要有關於機率的觀念與計算；因此，本書第9～10 章的內容，則與《財統》有關。事實上，就全書內容的銜接而言，本書部分內容亦可看到《財統》之「前傳」的影子。至於本書第14 章的內容，主要是給即將接觸財務工程數學的同學參考；也就是說，若要了解該領域，筆者反而更要強烈建議，同學要有寫電腦程式語言的能力。

本書的編寫方式類似於《財統》，為了要讓讀者沒有「遺珠之憾」，書內只要有使用資料、繪圖、計算、製表或模擬等過程，皆有對應的R 指令；當然，讀者未必要完全複製出書內的所有內容，只是若對書內的部分內容有興趣或覺得可以延伸應用，而筆者卻沒有即時提供可參考的R 指令，豈不是有點遺憾。換個角度思考，本書鼓勵讀者用電腦語言來模擬或計算，若筆者無法提供可參考應用的範例，則讀者應如何思索將一些觀念或想法轉成對應的R 指令？這是筆者於當學生時的遺憾，看到「不錯」的內容，結果仍不知如何於電腦上操作，豈不是讓人扼腕，讓人沮喪。此種遺憾沮喪，應該可以避免。就筆者而言，學習電腦語言的最好方式，就是逐一於電腦內輸入指令（當然若覺得太麻煩，可用剪貼的方式)，若無許多範例可參考，即使知道許多指令的意思，我們卻仍不知如何思考，如何著手。因此，反而是R 程式的應用範例才吸引人，而不是單獨R 指令的介紹；當然，這些範例，最好是讀者熟悉的專業應用。

就是上述的思考邏輯才促成《財統》與本書的完成，也就是說，筆者實現了筆者於學生時期的想法；換言之，筆者於學生時期想要看到的書，最後竟由筆者親自完成。回想起來倒也有一些意思，「不曉得筆者於學生時期遇到筆者這種老師會如何？」。為了方便讀者輸入R 指令，有些指令是直接置於內文，讀者應該不至於也被密密麻麻的指令給震懾住了。「應該不怕太多太麻煩，只怕沒有範例可供參考」；如此，增加了本書的厚度，讀者可否接受？讀者不妨自行練習看看：「每當閱讀《財統》以及本書的內容時，也許會認為可以應用或推廣，故應隨時思考可否用R 計算、估計、模擬或繪圖，若可以，那該如何做？」。若能如此做，讀者認為需要多久時間，自然就會使用R 了？

本書的特色是大量使用R 內的強大繪圖功能以及容易操作的模擬方法（因單色印刷，讀者看到圖形時，可先執行對應的R 程式，就可以看到所解釋的彩色的圖形），此應該是不容易於其他同類型的教科書內看到，如同《財統》內所言，筆者當然也希望能寫出一本讀者能看得懂，同時也知如何操作的教科書。本書內的所有章節後皆附有練習與習題，除了問答或簡答題之外（答案大多於內文內)，每一練習與習題皆附有對應的R 指令（解答)；因此，不怕沒有太多R 範例可供參考，只怕讀者仍認為自己不需要或不適合學習電腦語言如R。就筆者而言，既然已經接觸或使用R 了，我們應該要具有「程式設計」的能力才對，否則如何能達到用R 來幫我們模擬或做其他的事？因此，《財統》與本書的特色是皆附有許多R 程式的應用範例，此應該是初學者所樂見的。筆者初次接觸電腦語言時，就是因為沒有許多範例可供參考，結果反而多走了許多「冤枉路」。

本書內的股市資料大多取自「台灣經濟新報資料庫（TEJ）」，由於版權的關係，此次本書無法提供對應的樣本資料；還好，TEJ 的資料大多用於練習或習題內，影響不大，雖說如此，讀者應該也可以自行練習如何於TEJ 內下載股市或衍生性商品如期貨或選擇權的歷史資料。本書內的小藝廊仍附有兒子的一些作品，雖說與本書的內容無關，不過應該也有扮演一些賞心悅目以及調劑的功能；另一方面，筆者與兒子之間，無形之中，竟然也形成一種「相互勉勵、相互較勁」的味道。最後，沒有內人的文筆校正與潤飾，本書的樣貌應該還是屬於「半生不熟」的狀態。

本書附有一片光碟，內有書內的所有程式碼以及樣本資料（TEJ 除外），祝操作順利。筆者才疏識淺，倉促出書，錯誤難免，望各界先進指正。

林進益

寫於屏東台糖園區

拜電腦科技之賜，現代的人很容易使用手機或（平板）電腦等工具；但是，講到商科專業於電腦上的應用，似乎就不是那麼得心應手了。究其原因，原來商科專業上的學習或訓練並沒有隨著資訊科技的進步而跟上腳步，也許我們應該思索傳統的學習或訓練方式是否仍存在改善空間。直覺而言，似乎還欠缺什麼；原來，科技進步並不是沒有代價的，我們反而比以前需多學一些知識與技巧。就商科的學生而言，專業上的訓練竟然較少利用電腦輔助工具，雖說EXCEL 或EVIEWS 等商業套裝軟體是經常被提及或應用，不過上述套裝軟體可以應用的範圍卻相當狹隘；那是否存...

Chapter 1　算術
第一節　算術的四則運算
第二節　多項的計算
第三節　使用括號
第四節　分數
第五節　小數
第六節　負數
第七節　冪（次方）（power）
第八節　根與分數冪
第九節　對數
本章習題

Chapter 2　代數：財務上的應用
第一節　利率
　1.1　簡單利息
　1.2　複利
第二節　債券
　2.1　現值與未來值
　2.2　附息債券
　2.3　零息債券
第三節　到期收益率、貼現收益率與報酬率
　3.1　貼現率
　3.2　報酬率
第四節　價值理論與資本預算
　4.1　理性的投資決策
　4.2　NPV 法
　4.3　IRR 法
第五節　結論
附錄
本章習題

Chapter 3　直線與圖形
第一節　線性等式與不等式
　1.1　線性方程式
　1.2　線性不等式
第二節　直線
　2.1　座標體系與直線
　2.2　一些應用
本章習題
附錄

Chapter 4　非線性函數與圖形
第一節　多項式函數
　1.1　二項式函數
　1.2　函數與圖形
　1.3　多項式
第二節　其他非線性函數
　2.1　買權與賣權的到期收益曲線
　2.2　固定成長函數（模型）
　2.3　冪函數
本章習題
附錄
　附1：中華電2013:1∼2015:12 月收盤價與本益比資料
　附2： 台積電2013:1∼2015:12 月收盤價、本益比與週轉率資料

Chapter 5　特殊的函數
第一節　直角雙曲線
第二節　對數與指數
　2.1　對數律
　2.2　指數律
　2.3　冪次律
第三節　三角函數
　3.1　弧度的衡量
　3.2　基本的三角函數
　3.3　週期性、圖形與轉換
本章習題

Chapter 6　極限與微分
第一節　極限
　1.1　極限的定義
　1.2　商數差異之極限
　1.3　無限極限以及於無限值下之極限
第二節　連續性
第三節　切線與斜率
第四節　微分
本章習題

Chapter 7　微分技巧及應用
第一節　微分的技巧
第二節　第二階及高階微分
第三節　極大值與極小值
第四節　一些應用：牛頓求解法
本章習題

Chapter 8　積分及其應用
第一節　預備
　1.1　反導函數
第二節　不定積分
　1.2.1　不定積分之技巧與性質
　1.2.2　代換積分法
　1.2.3　微分方程式之求解以及應用
　1.3　有限加總
第二節　積分
　1.1　以有限加總估計
　2.2　定積分
　2.3　定積分的性質與技巧
　2.4　微積分的基本定理
附錄：動態與定差方程式
附錄1 蛛網模型
附錄2 定差方程式之求解
本章習題

Chapter 9　機率論
第一節　實證模型
　1.1　隨機內的規則性
　1.2　大數法則
第二節　機率理論
　2.1　事件空間
　2.2　機率空間
第三節　隨機變數與機率分配
　3.1　隨機變數
　3.2　機率分配的性質
第四節　機率模型
　4.1　一些特殊的機率模型
　4.2　參數與動差
本章習題

Chapter 10　機率的計算
第一節　機率的計算
　1.1　間斷的機率分配
　1.2　連續的機率分配
　1.3　蒙地卡羅模擬
第二節　隨機過程
　2.1　馬可夫性質
　2.2　維納過程
　2.3　幾何布朗運動
本章習題

Chapter 11　級數的應用
第一節　數列與級數
　1.1　數列
　1.2　級數
第二節　年金
　2.1　普通年金
　2.2　期初年金
　2.3　年金之現值
第三節　泰勒與麥克勞林級數的應用
　3.1　泰勒級數
　3.2　投資人的偏好
　3.3　風險貼水的衡量
本章習題

Chapter 12　線性代數
第一節　線性體系
第二節　解聯立方程式體系
　2.1　替代法與消除法
　2.2　克萊姆法則
第三節矩陣代數
　3.1　矩陣之加法與乘法
　3.2　特殊的矩陣
第四節　歐基里德空間
　4.1　向量
　4.2　 向量的代數
　4.3　 長度與內積
　4.4　 一些有用的觀念
　4.5　 特性根（向量）與主成分
本章習題

Chapter 13　多元變數函數
第一節　微分
　1.1　偏微分
　1.2　線性化
　1.3　隱函數
第二節　最適化
　2.1　二階（以上）的偏微分
　2.2　正負定矩陣
　2.3　極值之計算
第三節　迴歸線之估計
　3.1　線性迴歸
　3.2　非線性迴歸
本章習題

Chapter 14　初會隨機微積分
第一節　基本的機率理論
　1.1　實數值的隨機變數
　1.2　隨機向量
　1.3　條件機率與預期
第二節　再談隨機過程
　2.1　隨機漫步
　2.2　維納過程
第三節　隨機微積分
　3.1　隨機積分
　3.2　隨機微分方程式
第四節　Itô’s Lemma
　4.1　泰勒級數的應用
　4.2　跳動- 擴散模型
本章習題

附錄：R的簡介
第一節　基本的指令
　1.1　輸入資料
　1.2　簡單的操作
　1.3　矩陣的操作
　1.4　特殊的機率分配
第二節　繪圖
　2.1　散佈圖與直方圖
　2.2　圖內的標記
　2.3　標記數學式與面積
第三節　迴圈與條件

中文索引
英文索引

Chapter 1　算術
第一節　算術的四則運算
第二節　多項的計算
第三節　使用括號
第四節　分數
第五節　小數
第六節　負數
第七節　冪（次方）（power）
第八節　根與分數冪
第九節　對數
本章習題

Chapter 2　代數：財務上的應用
第一節　利率
　1.1　簡單利息
　1.2　複利
第二節　債券
　2.1　現值與未來值
　2.2　附息債券
　2.3　零息債券
第三節　到期收益率、貼現收益率與報酬率
　3.1　貼現率
　3.2　報酬率
第四節　價值理論與資本預算
　4.1　理性的投資決策
　4.2　NPV 法
　4.3　...