圖解向量與解析幾何

1-2 數學與物理的關係

數學與物理的關係，這個問題可以連同「為什麼要學一堆幾何證明」一起回答。很多學生對於幾何證明的題目太多，感到有疑問，為什麼要練習那麼大量的幾何證明？幾何證明固然可以學習邏輯，但基礎概念理解後其他僅是練習，為什麼有那麼多題目？因為中世紀的僧侶，因戰爭避世，並肩負傳承知識，認為「上帝就是幾何學家（God is Geometer）」、「宇宙的建築師（Architect of the Universe）」，所以僧侶研究幾何問題產生大量的證明；同時文藝復興時期的歐洲人認為希臘的數學是哲學的基礎，故大量練習幾何證明（歐式幾何），更成為近代教科書的內容。

僧侶為什麼要研究數學？因為在西方的文化，理性占文化很大一部分，並且神學、哲學、數學的關係是密不可分的。同時更早希臘時期的大哲學家—柏拉圖也曾說過「經驗世界是真實世界的投影」。其意義為我們處的世界具有很多數學規則，有些已經理解成為了經驗，有些是由這些組合成為新的經驗，但仍不夠完善。所以要學習數學的目的是為了解神創造世界的原理。

為什麼他們從數學切入，而不是從其他科目切入，如：物理、化學？因為科目本質性的不同，可以從幾個角度來討論原因。

1.出錯修正的機率

數學是零修正，唯一需要修正的情形，僅是取有效位數產生的誤差，如：圓周率，微積分（200年來都沒變，且不需要改變）。

物理、化學則是隨時代進步而修正模型公式。

2.研究的方式

數學是演繹邏輯的學問。

物理、化學是經驗結果論（歸納邏輯）的科學，科技進步就會更改，如：拋物線的軌跡、四大元素到現在週期表。

3.由真實經驗假設最基礎的情形

數學是可以理解的、不必再質疑準確性的公理做為最小元件。

如：1 + 1 = 2。再以此基礎來組合定義新的數學式，且不需質疑與驗證。

並且數學進步可視作由小元件到大物品的組合。

物理、化學是以現在的科技能觀察到的情形，做為元件，因科技進步，觀察到在更大的情形不符合，就必須修正。如：牛頓力學與愛因斯坦的相對論，或是要說明此方程式對於此情形是正確的，須實驗確定真實性。並且物理、化學進步可視作元件由半成品到大物品的組合，但須驗證，因為不清楚此半成品的理論是否正確，可能會導致大物品的實驗產生錯誤；以及半成品是否可以分解為更細小的元件。如：四大元素→週期表→電子中子→夸克→超弦理論。

4.數學家與物理、化學家目標不同：

數學家組合出新數學式後，並不一定知道可以用在哪裡，只知道演繹出來的結果是正確的，並認為這是具藝術美感，不知道也不在乎有何意義，可能未來有一天就有用了。

例子1：數論學家哈代明確指出，他的數論研究就是一堆與現實沒關係卻正確而美麗的數學，但在50年後卻被大量用在密碼學上。

例子2：虛數 的意義是什麼？一開始源自卡當的三次方程式求解。但在實際生活應用上不知能做什麼，但在19世紀發展成複變函數理論，成為近代通訊、與物理的基礎。

例子3：複數的奇異點討論，是以純數學的角度在討論，完全不知道與大自然有何關連性，但是近代物理學家發現黑洞的概念完全吻合奇異點的數學描述。

物理學家與數學家相當不同，大部分是先有目標，再尋找適當的數學式，並驗證，但有可能不符合而需要修正，有些時候也會與數學家合作找出適當的數學式。

當然在早期的科學，也是有著研究出不知能做什麼用的情形，如：法拉第對於電磁學的研究，做出了馬達，見圖1，他展示給國王看。國王問說能做什麼用？法拉第回：不知道，但總有一天能從此物品延伸的器械上抽取稅賦。之後果然可以抽取稅賦。

結論：討論數學對於研究真理是具有成效的。也要明白數學不是科學，而是幫助描述科學的語言。如果我們對數學學習感覺不舒服、不直覺，這是不對的。數學建構在邏輯之上，不熟悉要多練習、不理解要多思考。但總不會突兀的多了一個新的方法，令人不舒服、不直覺。數學的產生雖不像物理、化學全因現實需要而產生關係式，但也是因計算需要而產生關係式。這可以引用數學家龐加萊的話「如果我們想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。」

同理如果對於學習不舒服、不直覺，將會干擾學習的熱忱，並且對數學家產生神化的感覺。同時臺灣的數學教育大多利用背公式而不去理解，將會降低創意與思考，變相來說就是影響了數學未來的發展。所以可以把數學家龐加萊這段話延伸到另一個層面，「如果我們想要學習數學的保持直覺性與創意性，適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。」

補充1：戰爭避世產生一堆幾何證明，好比黑死病時期部分人躲在城堡中寫吸血鬼、狼人小說。

補充2：複數的奇異點討論，近代物理學家發現吻合黑洞的概念。因此近代物理學家，開始思考是否有更多的純數學理論可以吻合大自然。而實際上的情形的確如此，如：超弦理論。為什麼可以這樣作？因為數學的演繹邏輯不會有錯誤，而物理的歸納邏輯有時會出現問題。這樣的情況再次說明：「在自然科學中，數學不可理喻的有效性。」

1-3 數學的歷史

在學習數學過程中，從1、2、3、……的整數，到分數，到小數，到未知數，到負數，也到了虛數與複數；圖形觀念也從規則的幾何形狀，到不規則的拓樸等；同時也從二度空間走向三度，甚至是多維度，及無窮維度空間的討論。

有趣的是，數學歷史可以自成一個脈絡，不用夾雜其他的科目，順利的延伸。但在臺灣的數學教育有關於行列式、向量、矩陣，卻必須加入物理概念，相當混亂。作者猜測是為了幫助簡化學習而設計的課程，但卻會令人感覺相當突兀，太多的名詞，與突如其來的定義。而這些問題從歷史上來看就一目了然，由原本的方法太過麻煩並且無法推廣，不斷的更新與修正。

首先從傳統幾何意義與座標系開始，也就是解析幾何，其實已經可以解決當時很多問題。但當數學家將代數問題慢慢推廣後發現原本的方法不夠使用，首先出現了行列式（這與現在課本順序不同），接著出現矩陣的概念；同時物理學家為了解決所遇到的數學式問題，將行列式拆開成一行一行來研究，發明出向量的概念。

而後數學家也將物理學家向量的概念繼續發展，使得更加完善。可以發現數學的起源，也需要其他科目的靈感來加以茁壯。最後這三個概念（行列式、矩陣、向量）內容的相互討論，就是現在的高中數學內容。

向量與矩陣是現代數學的一個分支，也是電腦動畫的根本。需要了解到，數學的知識必須走在科技前面，即便是數學知識在當下不知能否用到，但在未來的某一天它可能成為科技的重要基礎。參考圖1，了解歷史順序。

1-2 數學與物理的關係

數學與物理的關係，這個問題可以連同「為什麼要學一堆幾何證明」一起回答。很多學生對於幾何證明的題目太多，感到有疑問，為什麼要練習那麼大量的幾何證明？幾何證明固然可以學習邏輯，但基礎概念理解後其他僅是練習，為什麼有那麼多題目？因為中世紀的僧侶，因戰爭避世，並肩負傳承知識，認為「上帝就是幾何學家（God is Geometer）」、「宇宙的建築師（Architect of the Universe）」，所以僧侶研究幾何問題產生大量的證明；同時文藝復興時期的歐洲人認為希臘的數學是哲學的基礎，故大量練習幾何證明（歐式幾何）...

前言

本書是針對高中生學習「向量」時，產生大量疑惑而寫的一部著作。高中數學課本從物理學的功、力矩的定義導入向量內積、外積的概念，造成學生極大的困惑，並誤以為僅能經由功、力矩的概念，才能推導出向量的內積與外積，這是相當大的錯誤認知。其中最大的問題是：

1. 如果沒有「功」和「力矩」的概念，就沒有「內積」和「外積」嗎？

2. 沒有「內積」和「外積」，就不能將解析幾何，由二度空間推廣到三度空間嗎？

3. 為什麼會用物理概念來推論數學，不是說數學是科學的語言嗎？

有鑑於此，作者從歷史演進說明及數學推導傳統解析幾何根本不需要「向量」的概念，就能夠推廣至三度空間，只是相當繁瑣而己。誠然物理學家創造了向量的概念，並啟發了數學家。換句話說，物理為了正確描述力學現象，建立一套數學語言，而後由數學家接手，建構了向量分析、線性代數，及希爾伯特空間（Hilbert Space），也就是n維度空間。但我們仍然不可以將數學與物理混為一談、這樣會導致兩者關係的混亂，誤會數學需要物理，事實上數學不需借助外力，本身就可說明清楚，也就是自圓其說。

作者在本書所要釐清的重點是：

1. 高中數學使用向量學習三度空間內容，是因為比傳統方法簡潔，而非必要，這個重點應該讓學生清楚知道，並讓學生知道數學不該存在破綻，一門演繹邏輯的科目，不該被誤解為歸納邏輯。

2. 本書依實際發生過的歷史進展過程詳加說明，徹底去除學生因課本的陳述方式，所產生的歷史錯亂與困惑感，如：柯西不等式、行列式、參數式。為了解決這種問題，本書將不屬於向量範疇的內容移除，以免學生誤會一定要先會向量才能學會那些內容，並了解傳統解析幾何就足以推導，但較為繁瑣，必須知道不用借助向量也可以推導。

3. 點出數學與物理之間的關係，數學是物理的語言，數學可以和物理緊密相關，也可能亳不相關。然而有趣的是，表面上和物理不相關的數學，竟然常常被物理學家或工程師使用在新的領域。有興趣的讀者可參考物理學家Eugene Wigner有名的論述：「在自然科學中，數學不可理喻的有效性。」原文是：「The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences」。

4. 了解內積、外積在數學、物理兩方的關係，而不是混為一談。數學「餘弦定理」會對應到物理的「功」，其運算動作都稱為「內積」；數學「平面方程式係數」會對應到物理的「力矩」，其運算動作都稱為「外積」。現行的內積、外積教學方式，大抵如下述：內積直接用物理來定義，硬套用到數學，不一定解釋。外積用公垂向量解釋外積，或直接用物理來定義，硬套用到數學，不一定解釋。本書詳細說明向量在數學及物理的歷史發展，並說明數學支撐物理。

5. 認識向量是基礎數學和基礎物理的交界點之一，高中數學從物理應用切入三度空間的數學，導致許多學生產生困惑。雖然數學和物理有錯綜複雜的關係，但我們仍然不該混為一談。必須理解到數學是建構在演繹邏輯的語言，而物理是建構在歸納邏輯的自然科學，只是用數學語言來表達，物理與數學兩者高度相關，但不相同。作者將所有產生困惑的原因全面清理，期望學生或教師們終能理解。

6. 如果不說明清楚向量概念的原由，將失去一次可以說明數學與物理之間的關係（另一次是拋物線的內容）。而數學與物理之間的關係，實際上是數學支撐物理，而不是物理來說明數學。如果不了解兩者關係，使得有一部分的人將數學當作物理，也就是誤會數學公式如同物理公式一般，會隨著時代被修正，也就是將演繹邏輯當歸納邏輯。

作者認為數學教科書應該使學習者學習順暢，而非死背定義。現行教科書用向量作為定理來說明解析幾何，也就是用物理概念強迫學生學向量，再處理數學的解析幾何問題。學生可能不明白內積的意義，若要死背公式（內積）來硬套數學題目，必然會令學習者相當困惑。

但作者也能理解到傳統解析幾何非常繁瑣，所以也不希望完全走回原本的老路，最起碼也應該用數學餘弦定理的概念來說明內積，用公垂向量來說明外積，避開物理概念的硬套，才能讓學生接受。如果非要用物理也應該說清楚從何而來，為什麼物理與數學可以相互呼應。為此本書說明了物理為什麼需要創造向量與內積、外積。

作者之一多年來，在求學與教學深受上述問題困擾，因為用物理說明數學會導致學生不理解、造成教學困難。作者認為死背定義的數學學習方式，或說不清楚的數學，根本不配稱為好的數學教育。因為數學是一門可以被說清楚的演繹邏輯，不能說清楚的部分愈少愈好。因此本書盡可能將向量產生的疑惑納入討論，希望學生不再有困惑，心裡不再存在疙瘩。

本書詳述了非常多的細節部分，但實際的核心價值是「釐清內積、外積在數學與物理的混亂」，想要快速解除困惑可以參考CH1、CH5、CH6的6-1到6-5、CH7、CH9，至於細節部分可以斟酌跳過。

「如果我做的物理問題呈現意料外的豐富數學結構，那麼這個物理理論一定是正確的。我們都知道這個假說曾經被驚人的驗證過，例如愛因斯坦的重力理論與狄拉克的電子理論。」

徐一鴻，華裔美國物理學家

本書雖經多次修訂，缺點與錯誤在所難免，歡迎各界批評指正，得以不斷改善。如有問題也可以連絡作者，作者信箱praxismathwu@gmail.com

前言

本書是針對高中生學習「向量」時，產生大量疑惑而寫的一部著作。高中數學課本從物理學的功、力矩的定義導入向量內積、外積的概念，造成學生極大的困惑，並誤以為僅能經由功、力矩的概念，才能推導出向量的內積與外積，這是相當大的錯誤認知。其中最大的問題是：

1. 如果沒有「功」和「力矩」的概念，就沒有「內積」和「外積」嗎？

2. 沒有「內積」和「外積」，就不能將解析幾何，由二度空間推廣到三度空間嗎？

3. 為什麼會用物理概念來推論數學，不是說數學是科學的語言嗎？

有鑑於此，作者從歷史演進說明及數學推導傳統解析幾何...

前言

第1章　疑惑與歷史
1-1 向量常見的疑惑　
1-2 數學與物理的關係　
1-3 數學的歷史　
1-4 太多新的定義　
1-5 向量的教學順序令人困惑　

第2章　傳統解析幾何
2-1 笛卡兒的平面座標　
2-2 平面座標系的直線方程式(1)：由來　
2-3 平面座標系的直線方程式(2)：斜截式　
2-4 平面座標系的直線方程式(3)：點斜式、截距式　
2-5 平面座標系的直線方程式(4)：兩點式　
2-6 平面座標系的直線方程式(5)：參數式　
2-7 空間座標系的平面方程式(1)：由來　
2-8 空間座標系的平面方程式(2)：表示方法　
2-9 空間座標系的直線方程式　
2-10 平面座標系的兩直線夾角　
2-11 空間座標系的兩直線夾角　
2-12 平面座標系、空間座標系的距離問題　
2-13 平面座標系的點到線的距離(1)：畢氏定理　
2-14 平面座標系的點到線的距離(2)：三角函數　
2-15 平面座標系的點到線的距離(3)：參數式　
2-16 空間座標系的點到線的距離、兩平行線的距離　
2-17 空間座標系的點到面的距離　
2-18 各個平行情況的距離　
2-19 空間座標系的兩歪斜線的距離　
2-20 空間座標系的兩平面相交直線方程式　
2-21 空間座標系的兩平面夾角　
2-22 整合此章的數學式　
2-23 參數式的起源：拋物線　

第3章　行列式
3-1 解聯立方程式：兩變數　
3-2 解聯立方程組：三變數　
3-3 行列式的運算(1)：二階　
3-4 行列式的運算(2)：三階　
3-5 克拉碼行列式求平面方程式　
3-6 二階行列式與面積關係　
3-7 三階行列式與體積關係　
3-8 變形的二階行列式（測量員公式）求多邊形面積(1)　
3-9 變形的二階行列式（測量員公式）求多邊形面積(2)　

第4章　高斯列運算
4-1 加減消去法與列運算(1)：兩變數　
4-2 加減消去法與列運算(2)：三變數　
4-3 高斯列運算求平面方程式　

第5章　向量在物理的意義
5-1 向量在物理的意義　
5-2 功與內積　
5-3 力矩與外積　
5-4 向量的定義　
5-5 向量的基礎計算(1)　
5-6 向量的基礎計算(2)　
5-7 向量的基礎計算(3)　
5-8 正射影與正射影長　
5-9 向量與藝術：投影幾何　
5-10 向量數學式總結　

第6章　向量改變數學的教法
6-1 數學的夾角與內積　
6-2 向量與平面上的直線方程式關係　
6-3 數學的平面方程式係數與外積(1)：解析幾何方法　
6-4 數學的平面方程式係數與外積(2)：法向量與力矩　
6-5 數學的平面方程式係數與外積(3)：法向量怎麼求　
6-6 利用向量求平面上點到線的距離　
6-7 利用向量求空間中點到平面的距離　
6-8 利用向量表示傾斜程度（斜率）　
6-9 向量與柯西不等式(1)：如何證明　
6-10 向量與柯西不等式(2)：柯西不等式與配方法的關係　
6-11 向量與柯西不等式(3)：如何記憶　
6-12 利用向量與二階行列式，求平面座標系的三角形面積　
6-13 利用向量與三階行列式，求平面座標系三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積　
6-14 利用向量與二階行列式，求空間座標系的三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積　
6-15 空間座標系的「兩向量張出的平行四邊形面積值」等於「兩向量外積後的公垂向量長度值」　
6-16 三角錐體積與行列式(1)：拉格朗日　
6-17 三角椎體積與行列式(2)：向量方法　
6-18 空間座標系的三向量張出平行六面體體積　
6-19 空間座標系的點到線的距離(1)　
6-20 空間座標系的點到線的距離(2)　
6-21 歪斜線的向量討論(1)　
6-22 歪斜線的向量討論(2)　
6-23 三垂線定理的討論　
6-24 向量方法證明畢氏定理、三角不等式　
6-25 傳統解析幾何的分點公式與向量的三點共線定理　
6-26 計算三角形重心　
6-27 計算三角形內心(1)：向量方法　
6-28 計算三角形內心(2)：傳統解析幾何　
6-29 外心、垂心的向量性質　
6-30 兩面角與兩平面交線的向量求法　
6-31 二度空間的角平分線與三度空間的角平分面　
6-32 三度空間的角平分線　

第7章　向量從物理到數學，再回到物理
7-1 物理數學家與數學物理家　
7-2 向量對數學的意義　
7-3 數學與物理互相幫助　

第8章　矩陣
8.1 動畫的由來(1)　
8-2 動畫的由來(2)　
8-3 動畫的由來(3)　
8.4 矩陣的由來　
8-5 矩陣的運算(1)：二階矩陣PART1　
8-6 矩陣的運算(2)：二階矩陣PART2　
8-7 矩陣的運算(3)：二階矩陣PART3　
8-8 矩陣的運算(4)：三階矩陣　
8-9 矩陣的運算(5)：二階矩陣的反矩陣的由來　
8-10 矩陣的運算(6)：三階矩陣的反矩陣的由來與記法　
8-11 矩陣的應用(1)：轉移矩陣的概念　
8-12 矩陣的應用(2)：如何求轉移矩陣　
8-13 矩陣的應用(3)：血型的轉移矩陣　

第9章　總結
9-1 相關歷史　
9-2 結論　

附錄
附錄1.為什麼負負得正呢？　
附錄2.為什麼阿拉伯數字會長這樣？　
附錄3.配方法與雙重配方法　
附錄4.相關聯結　

前言

第1章　疑惑與歷史
1-1 向量常見的疑惑　
1-2 數學與物理的關係　
1-3 數學的歷史　
1-4 太多新的定義　
1-5 向量的教學順序令人困惑　

第2章　傳統解析幾何
2-1 笛卡兒的平面座標　
2-2 平面座標系的直線方程式(1)：由來　
2-3 平面座標系的直線方程式(2)：斜截式　
2-4 平面座標系的直線方程式(3)：點斜式、截距式　
2-5 平面座標系的直線方程式(4)：兩點式　
2-6 平面座標系的直線方程式(5)：參數式　
2-7 空間座標系的平面方程式(1)：由來　
2-8 空間座標系的平面方程式(2)：表示方法　
2-9 空間座標系的直線...