圖解數學

2-2 中世紀的數學：阿拉伯與印度

古希臘在滅亡之後，中世紀西方世界的文明處於停頓狀態，而數學發展也不例外。學者輾轉逃到了阿拉伯印度等地方，在此刻是印度與阿拉伯有較多的數學研究。古希臘的幾何學帶動了當地的文明，但我們要知道古希臘的代數並沒有那麼多深入研究，主要是阿拉伯人在研究數學。

阿拉伯數學家花拉子米(Khwarizmi) 開創了代數學，他的著作「還原與對消計算概要」(西元820年前後) 於12世紀被譯成拉丁文，在歐洲產生具大影響，見圖2。回教文化因宗教原因，建築，繪畫，裝飾都不能出現人像，因而發展出豐富的幾何藝術，阿拉伯世界發展出的幾何藝術，可說是近代數學藝術的始祖，見圖3~5。

印度人使用巴比倫人的位置制原則，建立了10進位體糸，並創了具有完整意義的" 零 "，此外，他們還開創了" 負數" 的概念。 早在7世紀印度為了要處理負債問題，發明了0與負數，但到14世紀才傳到歐洲，並且歐洲人很抗拒負數，認為一切不能用眼睛數出來的數字，都不是上帝發明的數，非自然界存在的數字，既然不能看見，所以不能使用。在一開始傳授負數的知識時，甚至被當作異教徒、瀆神者而被抓去處死。連許多數學家也不能接受負數，更甚至連偉大的數學家歐拉也說"雖然我不知負數到底是什麼，但在計算上可以符合數學式"。一直到17世紀，歐洲大多數學家抵制負數的概念才逐漸減緩。

印度與阿拉伯的代數研究內容與希臘的幾何知識，啟發了歐洲的文藝復興。

所以中世紀的數學研究，印度與阿拉伯具有著承先啟後的地位。

5-2 數學與音樂與顏色(二)

牛頓發現顏色在光譜的頻率關係，並且自己定下顏色與音階的關係。除了音樂家將和弦思考為有顏色性，表現的有色彩張力。也有畫家將畫作表現得有如音樂一般熱鬧。

二十世紀初抽象派畫家瓦西裡‧康定斯基(Kandinsky：1866-1944) 的作品，他曾在莫斯科大學成為教授之前學過經濟學和法學。康定斯基使用各種不同的幾何形狀和色彩，企圖使圖像呈現出音樂般的旋律及和聲，見圖10、11。

在1872- 1944年荷蘭的蒙德里安(Piet Cornelies Mondrian)是現代主義(Modernism)藝術的藝術家，開始時蒙德里安創作風景畫，後來他轉變為抽象的風格。蒙德里安最著名的是用水平和垂直的黑線為基礎再進行了很多他的畫作。蒙德里安認為，數學和藝術緊密相連。他用最簡單的幾何形狀和三原色：藍、紅、黃，表達現實、性質、邏輯，這是一個不同的觀點。蒙德里安的觀點：任何形狀用基本幾何形狀組成，以及任何顏色都可以用紅，藍和黃的不同組合來建立。而黃金矩形是一個基本的形狀，不斷出現在蒙德里安的藝術中。見圖12、13。

蒙德里安在1926、1942年做了這兩幅畫，圖中有很多黃金矩形，並以紅色，黃色和藍色組成。

同時1839-1906的法國畫家：保羅 賽尚(Paul Cézanne)，也有與蒙德里安類似的想法。他認為空間的形體可用圓錐、球等等立體幾何來構成，他的藝術概念經數學家研究後與空間拓樸學吻合。保羅•塞尚的風格介於印象派(Impressionism)到立體主義(Cubism)畫派之間。塞尚認為「線是不存在的，明暗也不存在，只存在色彩之間的對比。物象的體積是從色調準確的相互關係中表現出來」。他的作品大都是他自己藝術思想的體現，表現出結實的幾何體感，忽略物體的質感及造型的準確性，強調厚重、沉穩的體積感，物體之間的整體關係。有時候甚至為了尋求各種關係的和諧而放棄個體的獨立和真實性。塞尚認為：「畫畫並不意味著盲目地去複製現實，它意味著尋求各種關係的和諧。」從塞尚開始，西方畫家從追求真實地描畫自然，開始轉向表現自我，並開始出現形形色色的形式主義流派，形成現代繪畫的潮流。塞尚這種追求形式美感的藝術方法，為後來出現的現代油畫流派提供了引導，所以，其晚年為許多熱衷於現代藝術的畫家們所推崇，並尊稱他為「現代藝術之父」。見圖14、15

在1913俄羅斯的卡濟馬列維奇(Kazimir Malevich)創立至上主義(suprematism)，並在1915年聖彼得堡的宣布展覽，他展出的36件作品具有相似的風格。至上主義根據"純至上的抽象藝術藝術的感覺"，而不是物體的視覺描繪。至上主義側重於基本的幾何形狀，以圓形，方形，線條和矩形，並用有限的顏色創作，見圖16。

卡濟馬列維奇的學生李西茨基(El Lissitzky：1890-1941年12月30日），他是藝術家，設計師，印刷商，攝影師和建築師。他的至上主義藝術的內容影響構成主義Constructivism藝術運動的發展。因為他的風格特點和實踐，自1920到1930影響了生產技術和平面設計師。見圖17、18、19

我們可以觀察到數學與音樂與藝術一直互相影響。所以想要學習抽象的數學就要從抽象的藝術來引發興趣再來學習。

2-2 中世紀的數學：阿拉伯與印度

古希臘在滅亡之後，中世紀西方世界的文明處於停頓狀態，而數學發展也不例外。學者輾轉逃到了阿拉伯印度等地方，在此刻是印度與阿拉伯有較多的數學研究。古希臘的幾何學帶動了當地的文明，但我們要知道古希臘的代數並沒有那麼多深入研究，主要是阿拉伯人在研究數學。

阿拉伯數學家花拉子米(Khwarizmi) 開創了代數學，他的著作「還原與對消計算概要」(西元820年前後) 於12世紀被譯成拉丁文，在歐洲產生具大影響，見圖2。回教文化因宗教原因，建築，繪畫，裝飾都不能出現人像，因而發展出豐富的幾何藝術，阿...

前言

大多數人認為數學等於困難，並且會問為什麼學數學？數學有用，有用在哪裡？生活中充斥著數學，但又在哪裡？我們必須知道數學是科技進步的重要一環，但數學更是人類文明重要一環。而我們要如何學好數學？從人類學習的模式來看，以藝術領域中最抽象的音樂為例，我們到底是先學會唱歌(或聽音樂)，還是先學會看，寫五線譜？無庸置疑，當然是先會唱歌或聽音樂。以及我們在其他科目都是先學該科目的藝術面，再學習學術面，如國文課先賞析再解釋、歷史先聽故事再研究。但是我們的數學教育卻是順序顛倒：要學生花最多時間學會看，寫五線譜(列式子，背公式，解考題)，卻很少給學生唱歌或聽音樂的時間(看到數學，看到活生生的應用)。因此我們的方法是 "先學唱歌，再學樂理"，先看圖再看數學式，先看歷史、人文、藝術、應用，再來討論數學。進而減少背一大堆公式的必要及大量的機械式練習，重建對數學學習的信心和興趣。此方法已在教學實踐中證明是有效的。

本書是敘述數學之美的書，而不是敘說數學多有用的書。數學是一門最被人們誤解的學科，它常被誤認為是自然科學的一支。事實上，數學固然是所有科學的語言，但是數學的本質和內涵比較接近藝術(尤其是音樂)，反而與自然科學的本質相去較遠。本書從人類文明發展的脈絡來說明數學的本質：它像藝術一樣，是人類文化中深具想像力及美感的一部份。並且是學習民主的不二法門，培養邏輯唯一的道路。並且可以了解後，可以發現數學史就是人類發展史，數學發展到哪，世界就進步到哪。

為何會對數學誤解？其原因大致如下，我們的制式數學教育只注重快速解題，熟記題型以應付考試的需求，造成學生及家長對數學的刻版印象就是：一大堆作不完的測驗卷及背一大堆公式。在這種環境下，如何能期待多數的學生對數學有學習的動機和興趣？其結果是，用功的學生努力背題型，背公式以得到好成績，考上名校。就業後，除了理工科系外，其他人發現生活上只要會加減乘除就夠用了，以往多年痛苦的學習顯然只是為了考試，數學不但無趣也無用。至於沒那麼用功的學生早在國中階段就放棄數學了。因為就投資報酬率而言，數學要花太多時間，且考試成績未必和時間成正比，將這些時間用在別的學科比較有效益。

更糟的是，我們的社會謬誤將數學好不好和聰不聰明劃上等號。固然，數學很好的學生顯示他對抽象概念掌握能力不錯，僅此而己，不多也不少。至於數學不好的學生也只顯示他的抽象概念掌握能力有待加強，與聰明度無關。請問，我們會認定一個五音不全(音感不佳) 的人就是不聰明嗎？

此外，我們的教材有很大的改進空間。譬如說，專為考試設計的"假"應用題，然而最糟糕的是：為了在短時間內塞進太多內容，教材被簡化成一系列的解題技巧和公式。

事實上，數學絕對不是一系列的技巧，這些技巧不過是一小部份，它們遠不能代表數學，就好比調配顏色的技巧不能當作繪畫一樣。換言之，技巧就是將數學這門學問的激情，推理，美和深刻內涵抽離之後的產物。從人類文明的發展來看，數學如果脫離了其豐富的文化內涵，就會被簡化成一糸列的技巧，它的真實面貌就被完全扭曲了。其結果是：對於數學這樣一門基礎性的，富有生命力，想像力和美感的學科，大多數人的認知是數學既枯燥無味，又難學又難懂。在這種惡劣的學習環境及社會謬誤的影響下，學生及父母親或多或少都會產生數學焦慮症( Mathematics Anxiety)。這些症狀如：

(1) 考前準備這麼多，為何仍考不好？是不是題目作得不夠多？

(2) 數學成績不好，是否顯示我不夠聰明，以後如何能出人頭地？

(3) 除了交給補習班及名師之外，有沒有其它方法可以學好數學，不再怕數學， 甚至喜歡數學？

數學焦慮症不是一天造成的，因此它的"治療"也要循序漸進。首要是去除對數學的誤解和恐懼，再服用"解藥"(新且有效的學習方法、教材)。本書說明數學影響及於哲學思想和推理方法，塑造了眾多流派的繪畫和音樂，為政治學說和經濟理論提供了理性的依據。作為人類理性精神的化身，數學己經滲透到以前由權威，習慣，迷信所统冶的領域，而且取代它們成為思想和行動的指南。然而，更重要的是，數學在令人賞心悅目和美感價值方面，足以和任何藝術形式媲美。因此，我深信應該將數學的"非技巧"部份按歷史發展的脈絡納入教材，使學生感受到這門學科之美，從而啟發學習的動機。使得學生能大幅降低對數學的恐懼，增加信心，進而體會數學之美。同時，也因為更有自信，就能更有效率地學習"技巧"部分，大幅減少機械式的技巧練習，面對考試可以少背公式仍能得高分，澈底消除學生和家長的"數學焦慮症"。

前言

大多數人認為數學等於困難，並且會問為什麼學數學？數學有用，有用在哪裡？生活中充斥著數學，但又在哪裡？我們必須知道數學是科技進步的重要一環，但數學更是人類文明重要一環。而我們要如何學好數學？從人類學習的模式來看，以藝術領域中最抽象的音樂為例，我們到底是先學會唱歌(或聽音樂)，還是先學會看，寫五線譜？無庸置疑，當然是先會唱歌或聽音樂。以及我們在其他科目都是先學該科目的藝術面，再學習學術面，如國文課先賞析再解釋、歷史先聽故事再研究。但是我們的數學教育卻是順序顛倒：要學生花最多時間學會看，寫五線譜(列...

前言
第1章 西元前
1-1　認識各古文明的數字（一）：埃及
1-2　認識各古文明的數字（二）：巴比倫與馬雅
1-3　認識各古文明的數字（三）：中國
1-4　符號念法與用途（一）
1-5　符號念法與用途（二）
1-6　黃金比例
1-7　永遠跑不完的一百公尺
1-8　圓錐曲線（一）：拋物線I
1-9　三角函數（一）：三角函數的由來
1-10　三角函數（二）：河流有多寬
1-11　三角函數（三）：山有多高
1-12　三角函數（四）：地球多大、月亮多遠
1-13　三角函數（五）：日蝕、月蝕
1-14　三角函數（六）：地平線多遠
1-15　三角函數（七）：山有多遠
1-16　畢達哥拉斯（一）：畢氏定理與根號
1-17　畢達哥拉斯（二）：音階的由來
1-18　阿基米德（一）：第一個重要的無理數-圓周率π
1-19　阿基米德（二）：圓椎、球、圓柱的特殊關係
1-20　阿基米德（三）：密度的前身-排水法
1-21　阿基米德（四）：密度

第2章 中世紀
2-1　認識各古文明的數字（四）：印度、阿拉伯、羅馬　
2-2　中世紀的數學：阿拉伯、印度　
2-3　為什麼負負得正呢？　
2-4　指數（一）：神奇的河內塔.棋盤放米　

第3章 文藝復興時期
3-1　小數點、千記號的由來　
3-2　數學運算符號的由來　
3-3　椎體是柱體體積的3分之1倍　
3-4　納皮爾的對數　
3-5　笛卡兒的平面座標　
3-5　笛卡兒的平面座標　
3-6　太極圖是極座標作圖　
3-7　認識地圖-非洲比你想像的大很多　
3-8　數學與藝術（一）：投影幾何　

第4章 啟蒙時期
4-1　曲線下與x軸之間的面積－積分　
4-2　曲線上該點斜率－微分　
4-3　為什麼稱微積分　
4-4　第二個重要的無理數：尤拉數e 　
4-5　圓錐曲線（二）：拋物線II　
4-6　圓椎曲線（三）：橢圓I　
4-7　圓椎曲線（四）：橢圓II　
4-8　圓椎曲線（五）：雙曲線　
4-9　圓椎曲線（六）：圓錐曲線怎麼繪畫　
4-10　特殊的曲線（一）：懸鍊線　
4-11　特殊的曲線（二）：等時降線與最速降線　
4-12　為什麼角度要改成弧度（一）：弧度的起源　
4-13　為什麼角度要改成弧度（二）：為什麼 180度=π　
4-14　神奇的帕斯卡三角形　
4-15　數學與音樂（一）　

前言
第1章 西元前
1-1　認識各古文明的數字（一）：埃及
1-2　認識各古文明的數字（二）：巴比倫與馬雅
1-3　認識各古文明的數字（三）：中國
1-4　符號念法與用途（一）
1-5　符號念法與用途（二）
1-6　黃金比例
1-7　永遠跑不完的一百公尺
1-8　圓錐曲線（一）：拋物線I
1-9　三角函數（一）：三角函數的由來
1-10　三角函數（二）：河流有多寬
1-11　三角函數（三）：山有多高
1-12　三角函數（四）：地球多大、月亮多遠
1-13　三角函數（五）：日蝕、月蝕
1-14　三角函數（六）：地平線多遠
1-15　三...