數學之書

名人推薦：皮寇弗，一位多產作家且頗孚眾望的博學之士，匯聚各方資訊完成這本令人讚嘆的工具書。書中二百五十個簡短的條目聚焦在最偉大的數學定理以及那些發現這些定理的天才們身上，構成名符其實的數學史。……在這本精美鉅作中的字裡行間，透露著皮寇弗博士對於數學無盡的熱愛，以及他對於數學難解奧義的敬畏之心；光是用來解說的那些圖案就已經足以讓這本書物超所值。──暢銷科普作家馬丁．賈德納（Martin Gardner）

皮寇弗縝密思維所構成的王國，已超越一般人所認知的現實世界。──《紐約時報》

皮寇弗是當今世上最負有原創性與想...

約西元前一百萬年／為質數而生的蟬

蟬是在大約一百八十萬年前、當覆蓋北美大陸的冰河消退後，於更新世時期，演化而成的有翅昆蟲，其中有一種叫做週期蟬（Magicicada）的品種，會在地底度過生命中絕大多數的時間，靠吸吮樹根的汁液為生，隨後會以很快的速度經歷成長、交配及死亡的過程。這種生物有一種令人吃驚的特性：牠們變成成蟲的時間，通常會跟13或17這樣的質數年份同步（質數就是11、13或17這類只能被1跟本身兩個數字整除的整數）。當在地底度過13或17年後，這些對時間週期有感應的週期蟬，會在那年春天一起挖掘一條通往地面的通道，此時一英畝的面積裡大概會有一百五十萬隻以上的成蟬。這些週期蟬就是採取以量制勝的方式，面對鳥類這樣的掠食天敵，只要鳥類沒辦法把牠們一次全部吃光，剩下的週期蟬就能存活下去。

有些學者推測這種對應質數的生命週期，是為了避免被壽命較短的掠食者及寄生蟲吞噬、增加成蟬存活率的演化成果，就好比以12年的生命週期為例，則所有壽命介於2、3、4、6年的掠食者都能更輕易地把蟬吞進五臟廟裡。德國多特蒙德馬克斯普朗克研究所分子生理學家馬庫斯（Mario Markus）及其研究團隊，發現這種質數化的生命週期，可以從掠食者與獵物間互動演化的數學模型中自然地得到解釋；他們先隨機設定生命週期年份不等的成蟬構成母體，經過電腦模擬一段時間的演變後，幾乎所有實驗結果，都會導出這種穩定質數化生命週期的現象。

這個研究還處於初步發展階段，當然還有很多可被質疑之處，譬如說，為什麼恰好是13跟17這兩個質數？到底又是哪些掠食者跟寄生蟲促成蟬演化出這樣的生命週期？而另外一個仍舊無解的謎題則是—在全球1,500多種分類中，為什麼只有週期蟬這樣少數的品種，才具備質數化生命週期的特性？

約西元前600年／畢氏定理與三角形

波利亞（George Pólya，西元1887年~西元1985年）

有些小朋友可能是在西元1939年米高梅（MGM）電影《綠野仙蹤》（The Wizard of Oz）中，當稻草人終於有了自己的大腦並開口覆誦畢氏定理時，頭一次聽到這個赫赫有名的定理。唉！可是劇中的稻草人卻將這麼有名的定理給背錯了！

畢氏定理指的是在每一個直角三角形中，斜邊長c的平方必定等於其餘較短兩邊a跟b的平方和—算式寫成a2 ＋ b2 ＝ c2。這是一個被用最多方法證明過的定理，在盧米斯（Elisha Scott Loomis）那本《畢氏命題》（Pythagorean Proposition）中就舉例了367種不同的證明方式。

畢氏三角形（Pythagorean Triangle, PT）指的是三邊均為整數的直角三角形。「3-4-5」畢氏三角形—即兩短邊邊長分別是3跟4，斜邊長為5—是唯一一個由連續三個整數構成三邊的畢氏三角形，也是唯一一個三邊長總和數（12）恰為面積數（6）兩倍的直角三角形。排在「3-4-5」之後、下一個由連續數字構成邊長的畢氏三角形是「21-20-29」；以此類推到第10個這樣的三角形可就大得多了：「27304197-27304196-38613965」。

法國數學家費馬（Pierre de Fermat）在西元1643年問了一個問題：請找出一個不論斜邊c或者是兩短邊總和(a ＋ b)都是平方數的畢氏三角形，令人吃驚的是，符合這個條件的最小三個數字分別是：4,565,486,027,761、1,061,652,293,520以及4,687,298,610,289。顯然下一個符合上述條件的畢氏三角形將大到若以呎為單位的話，其邊長將超過太陽與地球之間的距離！

雖然我們都把畢氏定理的構成歸功給畢達哥拉斯，不過，卻有證據顯示在更早幾世紀的印度數學家波達亞納（Baudhayana）約在西元前800年左右就在其所著《波達亞納繩法經》（Baudhayana Sulba Sutra）上發展這個定理，甚至歷史更久遠的巴比倫人也早就知道畢氏三角形的特性了。

約西元前445年／季諾悖論

伊利亞的季諾（Zeno of Elea，約西元前490年~約西元前430年）

哲學家跟數學家花了超過一千年的時間想要了解季諾悖論（Zeno’s Paradoxes）—關於某些運動若非應該辦不到就根本是個幻覺的一組謎題。季諾是居住在南義大利、早於蘇格拉底的一位希臘哲學家，最有名的季諾悖論談及希臘英雄阿基里斯（Achilles）與一隻遲緩的烏龜賽跑時，只要烏龜在起點擁有些許領先優勢的話，阿基里斯就絕不可能在賽跑途中超越烏龜。事實上，這個悖論還可以蘊涵我們絕對無法離開所處房間—當朝房門走去要離開房間時，我們必須先走完這段距離中的一半，接下來得走完剩餘那半段距離中的再一半，再接著一直重複把剩餘距離減半的動作；結果，我們將永遠不可能在有限的跨步中抵達房門！在數學上，我們可以把這種無窮序列的動作之極限透過（1/2＋1/4＋1/8…）的無窮級數總和來表現。一個近代的想法，是堅持這個無窮級數的總和為1，以解決季諾悖論。只要每一跨步都耗去前一步所需的時間之一半，則完成這一連串無止境跨步所花費的時間，就跟現實生活中走出房間所需耗費的時間一樣。

可是這種論證方式並不夠圓滿，因為它並無法解釋我們如何能完成逐一走過無窮多個跨步點，因此現在的數學家採用無限小量（無法想像的極小數量，小到幾乎是卻又不等於0）的微觀概念分析季諾悖論。結合一個稱之為非標準分析（nonstandard analysis）的數學分支以及特別地，內含集合論（internal set theory），或許我們可以解釋季諾悖論，但相關的論辯並不會因此歇止，譬如就有些人認為當時、空兩者是離散的時候，從甲地前往乙地所需要的跨步數就一定會是有限的。

西元1921年／超空間迷航記

波達亞納（Baudhayana，約西元前800年），

薩莫斯的畢達哥拉斯（Pythagoras of Samos，約西元前580年~約西元前500年）

想像在一條扭曲的水管中有一隻機器甲蟲，而且這個小傢伙就在水管內不限次數隨機地往前或往後移動，並假設這是一條無限長的水管，請問這隻機器甲蟲無論如何隨機亂走，最終卻還是回到起點的機率，是多少？

匈牙利數學家波利亞在西元1921年證明該機率為1──在一維空間內不限次數隨機亂走後，最終一定會回到原點。如果把這隻機器甲蟲放到二維空間（平面）中的原點，同樣也是朝東西南北任一方向不限次數地隨機亂走，則機器甲蟲最終回到原點的機率還是一樣是1。

波利亞也同時證明了我們所處三維空間世界的特殊性：三維空間是第一個有可能讓機器甲蟲永遠迷航的歐幾里得空間。將機器甲蟲置於三維空間不限次數隨機亂走的話，最終還能回到原點的機率只有百分之三十四。在更高維度的n維空間裡，機器甲蟲回到原點的機率就更低了，大約只剩 1/(2n) 的機率；這1/(2n) 的機率恰巧也是機器甲蟲第二步就走回原點的機率，換句話說，如果機器甲蟲在更高維度空間裡無法盡早退回原點的話，恐怕就得永遠迷航下去了。

雖然波利亞的雙親都是猶太人，但是兩人在波利亞出生前一年就改信羅馬天主教。波利亞誕生於匈牙利布達佩斯，隨後在西元1940年代成為史丹佛大學數學系教授。波利亞所著《怎樣解題》（How to Solve it）一書不但賣出超過一百萬冊，他本人更被許多人視為二十世紀最具有影響力的數學家之一。

西元1637年／費馬最後定理

費馬（Pierre de Fermat，西元1601年~西元1665年），

懷爾斯（Andrew Wiles，西元1953年生），

狄利克雷（Johann Dirichlet，西元1805年~西元1859年），

拉梅（Gabriel Lame，西元1795年~西元1870年）

費馬是一位十七世紀初期的法國律師，他在數論領域發現相當多了不起的結果。雖然費馬只是一位「業餘」的數學家，卻創造出費馬最後定理（Fermat’s Last Theorem, FLT）這個艱困的數學挑戰，一直要到西元1994年才被英裔美籍的數學家懷爾斯解決。懷爾斯一生中有七年的時間都耗在證明這個定理上，它也是數學史上被嘗試證明最多次的定理。

費馬最後定理，指的是xn ＋ yn ＝ zn 這個方程式在 n＞2 的時候，並不存在一組非無聊的x、y、z整數解。費馬於西元1637年在自己收藏的戴奧芬特斯《算術書》中用一段話描述這個定理：「對於這個定理，我自己真的有一套美妙的證明方式，只可惜這裡的頁邊空間不夠我把證明方式記下來。」如今，我們認為費馬本人當時應該還不知道該如何證明。

說實在的，費馬絕不符合我們一般對於律師的印象，他被認為是足以跟巴斯卡並列的機率論開山鼻祖，並且跟笛卡兒共同開創解析幾何的領域。可以說費馬稱得上是首屈一指的現代數學家也不為過。費馬還曾經思考過一個問題—試著找出一個直角三角形，使其斜邊跟另兩邊邊長的和都是平方數；我們現在已經知道，符合這個條件的最小一組數字其實非常大，分別是：

4,565,486,027,761、1,061,652,293,520以及4,687,298,610,289。

從費馬還在世的時候起，費馬最後定理一直牽引出很多有意思的數學研究和全新的證明方式。西元1832年，德國數學家狄利克雷證明費馬最後定理在 n ＝ 14 時成立；西元1839年，法國數學家拉梅證明當 n ＝ 7 的時候也成立。艾克塞爾（Amir Aczel）評論說：「費馬最後定理已經成為世上最難以言喻的數學謎題。費馬最後定理簡潔、優雅又（看似）根本無從證明起，引得三世紀以來不論專業或業餘的數學家都想在這個議題上有所突破，其中有些人甚至對這個定理產生奇妙的情愫，讓他們逐步邁進一個充滿騙局、陰謀以及精神錯亂的陷阱。」

西元1922年／巨蛋穹頂

鮑斯菲爾德（Walther Bauersfeld，西元1879年∼西元1959年），

富勒（Richard Buckminster “Bucky” Fuller，西元1895年∼西元1983年）

把柏拉圖正多面體（Platonic Solid）或是其他多面體三角化（triangulating），是創造巨蛋穹頂（geodesic dome，直譯為「測地線拱頂」）的一種方法，如此一來，不但穹頂表面會覆蓋著平整的三角形，穹頂外觀也會相當接近球面或半球面。在各種創造巨蛋穹頂的方法中，以一個由十二個五邊形所構成的正十二面體為例，我們可以在每一個五邊形中間取一個點，並從該點往五個頂點畫出五條線，接著再把這個點往外提升到一個環繞住正十二面體的想像球體上，這時我們手中將會有一個以六十個三角形所組成的新多面體，也就是一個簡易版的巨蛋穹頂。只要我們繼續把新多面體的每一面繼續三角形劃分下去，這個穹頂的外觀就會越來越接近一般的球體。

巨蛋穹頂的三角形表面可以有效分散整個結構的壓力，就理論上而言，這個堅固耐用的結構可以被放大到難以想像的尺寸。全世界第一個巨蛋穹頂出自德國工程師鮑斯菲爾德在耶拿所設計的天文館，該館於西元1922年落成後對外開放。西元1940年代末期，美國建築師富勒也憑一己之力創造出巨蛋穹頂，並以此設計獲得美國專利。美國軍方對這樣的建築結構印象深刻，還聘請富勒擔任軍事用途巨蛋穹頂設計圖的審查人。除了堅固耐用之外，能用相對少的表面積覆蓋住廣大空間，有效提升建材使用效率，並減少熱量損耗，則是其他巨蛋穹頂受到歡迎的特性。富勒本人就在這樣的建築結構中渡過不少歲月，並發現巨蛋穹頂的低風阻可以抵禦颶風來襲。一向懷有遠大夢想的富勒，曾經大膽提出一個試圖用直徑達兩英里（約3.2公里）長、中心高度達一英里（約1.6公里）的巨蛋穹頂，覆蓋住整個紐約市的計畫，好讓巨蛋裡面的居民可以在受控管的氣候下，免除下雨或降雪的煩惱！

西元1925年／希爾伯特旅館悖論

希爾伯特（David Hilbert，西元1862年~西元1943年）

在某個有五百間客房的旅館中，每個房間都有旅客入住；在下午時分抵達旅館的你被告知已經沒有多餘的客房，正當你打算無助地離開時，希爾伯特旅館悖論（the paradox of Hilbert’s Grand Hotel）登場了。想像一下這間旅館有著無數間客房，同樣每一間也都住了旅客；儘管旅館已經客滿了，櫃台還是可以挪出一間客房給你。這怎麼可能呢？更奇妙的是，就算同一天有數不清的旅客為了參加研討會而下榻同一間旅館，櫃台同樣可以滿足所有人的要求安排房間，藉此機會海削一票！

德國數學家希爾伯特在西元1920年代提出這個悖論，藉以描述無限這個概念不可思議的特質。讓我們來看看你究竟是如何住進希爾伯特的大旅館。當你隻身一人抵達客滿的旅館時，櫃台將原本住在一號房的客人挪到二號房、把原本住在二號房的客人挪到三號房⋯⋯以此類推，所以現在一號房就成為你的專屬客房了。而為了安排陸續抵達且無法盡數的旅客，櫃台就把已經入住的旅客通通移到偶數號的房間（原一號房改成二號房，原二號房成四號房，原三號房改成六號房⋯⋯），再把這些晚到的旅客通通安排進所有空出來的奇數號碼房。

康托爾的超限數（Cantor’s Transfinite number）理論可以用來解釋希爾伯特旅館悖論，亦即儘管在一間正常的旅館中，奇數號碼的房間數一定小於旅館的全部客房數，但是在一間有著無數客房的旅館中，奇數房的「數量」可不見得小於旅館全部客房的「數量」（數學家使用「基數」這個詞彙比較這些以無限客房為元素所組成的集合大小）。

西元1960年／紐康伯悖論

紐康伯（William A. Newcomb，西元1927年~西元1999年），

諾齊克（Robert Nozick，西元1938年~西元2002年）

在你面前有兩個法櫃，或者簡單一點說，有兩個箱子，分別標示著「一號箱」跟「二號箱」。一位天使對你說，「一號箱」裡面有支黃金打造的酒杯，價值一千美元；「二號箱」裡面要嘛是隻毫無價值的蜘蛛，要嘛就是價值連城的蒙娜麗莎畫作。現在你可以有兩個選擇：一口氣帶走兩個箱子，或者只把「二號箱」帶走。

不過，天使接下來這句話讓你變得難以下手：「我們已經預測了你的選擇，而且你也知道，我們的預測幾乎可以說是百分之百正確。當我們預測你會同時帶走兩個箱子時，我們會在『二號箱』放進毫無價值的蜘蛛；當我們認為你只會帶走『二號箱』時，我們會把蒙娜麗莎的畫作放在裡面。至於『一號箱』嘛，不論我們對你的行為預測為何，裡面永遠都是價值一千美元的黃金酒杯。」

因此你會認為應該只帶走「二號箱」就好了，反正天使的預測不會出錯，那麼你就可以把蒙娜麗紗的畫作帶回家。如果你打算兩個箱子都帶走的話，天使一定早就預測了你的行為，所以「二號箱」裡面只會有一隻蜘蛛罷了，也就是說，你只會得到一千美元的黃金酒杯跟一隻蜘蛛。

可是就在這個時候，天使又開口打亂你的思緒：「我們早在四十天前就預測了你的行為，所以我們早就把蒙娜麗紗的畫作或是一隻蜘蛛放進『二號箱』裡面了。不過我們可不會告訴你『二號箱』裡面究竟是什麼東西。」

如此一來，你會認為應該把兩個箱子都帶走才能一網打盡。如果只是傻傻地拿走「二號箱」的話，最多也只能把蒙娜麗紗的畫作帶回家—為什麼要白白浪費那支價值一千美元的黃金酒杯呢？

上述這個過程就是紐康伯悖論（Newcomb’s paradox）的內容架構，是由物理學家紐康伯在西元1960年所提出的疑問，之後則由哲學家諾齊克在西元1969年提出更完整的論述。時至今日，專家們就算想破了頭，也無法解決這兩難的選擇，對於到底該怎麼做才是你的最佳策略這一點，也還一直爭論不休。

西元2001年／床單問題

賈莉雯（Britney Gallivan，西元1985年生）

某個失眠的夜晚讓你決定換張床單改變氣氛。這張床單只有0.4公釐那麼薄，對摺一次會變成0.8公釐厚，請問你需要對摺幾次才能讓床單厚度跟地球到月亮之間的距離一樣？這個床單問題（bed sheet problem）神奇的答案是：只要把床單對摺四十次以後，你就可以睡在月球上面了！這個問題其他版本的說法是：如果你可以把手中厚 0.1公釐的紙張連續對摺五十一次的話，堆起來的高度甚至比地球到太陽的距離還遠！

儘管如此，現實生活中其實不可能把一個物體連續對摺到那麼多次，以往在二十世紀大家普遍認定一張真正的紙不論有多大，最多也只能對摺七次到八次而已，可是，一位高中生賈莉雯卻在西元2002年，出乎世界意料之外地把一張紙整整對摺了十二次。

賈莉雯在西元2001年找到方程式，用以刻劃按單一方向對摺一張已知大小的紙張的次數上限。以厚度為 t的紙張為例，如果要對摺 n 次的話，則一開始這張紙最短的邊長必須是：L ＝ [(πt)/6] × (2n ＋ 4) × (2n － 1)。仔細研究 (2n ＋ 4) × (2n － 1)這條算式，從 n ＝ 0 開始，其計算結果分別是0、1、4、14、50、186、714、2,794、11,050、43,946、175,274、700,074…的整數數列，這表示當對摺到第十一次的時候，為了裝訂留邊所損失的材料，會是第一次對摺所損失的 700,074 倍。

約西元前一百萬年／為質數而生的蟬

蟬是在大約一百八十萬年前、當覆蓋北美大陸的冰河消退後，於更新世時期，演化而成的有翅昆蟲，其中有一種叫做週期蟬（Magicicada）的品種，會在地底度過生命中絕大多數的時間，靠吸吮樹根的汁液為生，隨後會以很快的速度經歷成長、交配及死亡的過程。這種生物有一種令人吃驚的特性：牠們變成成蟲的時間，通常會跟13或17這樣的質數年份同步（質數就是11、13或17這類只能被1跟本身兩個數字整除的整數）。當在地底度過13或17年後，這些對時間週期有感應的週期蟬，會在那年春天一起挖掘一條通往地面的通...

洪萬生／台灣師範大學數學系退休教授

這是一本類似百科全書的數學普及讀物。全書共有250個數學發展之里程碑條目，作者按照年代編寫，試圖勾勒人類數學發展的整體風貌。同時，作者在各個條目之後，納入相關的參照條目（都本書所包含），方便讀者交叉閱讀與參引。還有，凡是條目涉及數學家等等之貢獻者，都清楚表彰姓名於條目之下，冀收見賢思齊之效！

就條目的規劃來說，除了純數學、（傳統）應用數學領域與計算機科學之外，本書還納入具有意義深長的生物數學、遊戲背景的謎題，以及一般讀者深感興趣的悖論。當然，從人類文化關懷的角度切入，作者也非常努力全面關照各個種族在歷史長河中，所曾經創造或參與的數學知識活動。儘管力有未逮，譬如他對中國與日本算學發展的說明，就顯得心有餘而力不足，但是，他的用心還是值得肯定。另一方面，作者為1900年之後的數學保留了近半的篇幅，則充分反映二十世紀數學的飛耀發展，也見證了計算機如何介入數學研究的各個層面。

就書寫的敘事來說，由於作者並非數學本科畢業，以致於他在描述近現代的數學專業知識時，手法難免比較生澀，而這一「不足」在數學史脈絡的適當烘托下，有時候反倒顯得樸拙可以親近。至於作者對於數學與數學史之理解，或許主要得自於他自身的博雅閱讀經驗，於是，他在某些脈絡中，依賴少數幾位科普作家的觀點或評論，應該也是情有可原。

有關本書之閱讀與參考使用，我要特別針對中學數學教師與學生，提出一些建議。對教師來說，本書條目有益於教學的內容，可以粗略分為兩大類：(1) 生活經驗中的趣味數學；(2) 歷史文化（含人類學面向）中的數學。前者主要源自人類的熱愛遊戲謎題的好奇心，後者則是基於數學的美感與效用之雙重動機。當教師有意將本書某些素材引進課堂，並藉以分享數學知識活動的趣味時，則不妨將它們包裝成為一個遊戲，讓抗拒學習的學生無法自外於此一活動。譬如說，本書1702年條目〈繞地求一圈的彩帶〉，十分簡單，人人都可以參與討論，但結果卻是大大地令人感到不可思議的謎題。

另一方面，教師也可利用本書條目，來組織一個教學單元，比如說初等代數發展的輪廓，讓學生在不斷演練求解方程式之餘，也能多少領會代數認知與方法演化的趣味與意義。針對此一主題，我推薦的條目有如下列：〈萊因德紙草文件〉、〈戴奧芬特斯的《數論》〉、〈數字0〉、〈阿爾．花拉子密的《代數》〉、〈摩訶吠羅的算術書〉、〈印度數學璀璨的章節〉、〈奧瑪、海亞姆的《代數問題的論著》〉、〈阿爾、薩馬瓦爾的《耀眼的代數》〉、〈費波那契的《計算書》〉、〈特維索算術〉、〈卡丹諾的《大術》〉、〈簡明摘要〉、〈虛數〉以及〈笛卡兒的《幾何學》〉等等。上述這些條目的內容已經相當豐富，足以說明西方代數發展之大概，以及三、四次方程解法之意義。當然，如能補上十三世紀中國的天元術，乃至於十七世紀日本的點竄術與旁書法這些東方代數進路，那麼，我們對於代數思維的演化，就可以掌握全面的結構了。

總之，這是一本非數學專家所寫的相當大部頭的數學普及讀物。作者的學術專長在於生物物理與生物化學，不過，他顯然非常聰明幹練，而且求知若渴，因而可以成功介入一些與數學有關的謎題之研究。此外，由於他擁有遠較於其他科學作家更加豐富的寫作經驗（以每年出版一版書為準），因此，本書敘事多於論證，既凸顯了它的文類（科普）定位，也見證了作者的通識素養。至於有關本書作者的有些史識的「一家之言」，我們就不必過度在意了。

洪萬生／台灣師範大學數學系退休教授

這是一本類似百科全書的數學普及讀物。全書共有250個數學發展之里程碑條目，作者按照年代編寫，試圖勾勒人類數學發展的整體風貌。同時，作者在各個條目之後，納入相關的參照條目（都本書所包含），方便讀者交叉閱讀與參引。還有，凡是條目涉及數學家等等之貢獻者，都清楚表彰姓名於條目之下，冀收見賢思齊之效！

就條目的規劃來說，除了純數學、（傳統）應用數學領域與計算機科學之外，本書還納入具有意義深長的生物數學、遊戲背景的謎題，以及一般讀者深感興趣的悖論。當然，從人類文化關懷...

數學之美與效用

數學已經滲入每一個需要費盡心思的科學領域，並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學跟工程等方面取得無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分佈的情況，也可以用來說明人類的大腦結構。數學幫助我們打造超音速飛機跟雲霄飛車，模擬地球天然資源流轉的方式，進入次原子的量子世界探索，甚至讓我們得以想像遙遠的銀河系。數學可以說是改變了我們看待宇宙的方式。

在本書中，我希望運用少量數學公式提供一點數學品味，而鼓勵讀者發揮想像力。對大多數讀者而言，這本書所談論的應該不只是能滿足好奇心卻缺乏實用價值的單元，根據美國教育部實際調查的結果顯示，能夠順利完成高中數學課程的學生升上大學後不論選讀哪一個科系，都能夠展現出比較優秀的學習能力。

數學的實用性讓我們可以建造太空船，探索所處宇宙的幾何結構。數字也可能是我們跟有智能的外星生物間所採用的第一種溝通手段。有些物理學家認為在掌握更高空間維度和拓樸學（topology，探索形狀與彼此間相互關係的一門學問）或許有一天當現在這個宇宙處於在極熱或極冷的末日之際，我們就能逃出，在所有不同的時空環境下安身立命。

數學史上不乏許多人同步有重大發現的例子，就以這本書裡面的莫比烏斯帶（The Mobius Strip）為例。德國數學家莫比烏斯（August Mobius）和當時另一位德國數學家利斯廷（Johann Benedict Listing）同時在西元1858年各自發現莫比烏斯帶（一個只有單面，神奇的扭曲物體）。這種同步發現的現象就跟英國博學多聞的牛頓（Isaac Newton）與德國數學家萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）各自同時發現微積分的例子相似。這些例子讓我不禁懷疑科學領域為何經常有不同人，在相同時間，獨立發現同一件事情的情況？其他例子還包括英國博物學家達爾文（Charles Darwin）和華萊士（Alfred Wallace）都在相同時間各別提出演化論的觀點，匈牙利數學家鮑耶（Janos Bolyai）和俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）似乎也是在同一時間各別提出雙曲幾何的想法。

最有可能解釋同步重大發現的理由，是因為人類在那些時間點對於即將誕生的發現，已經累積足夠的知識，這些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出來；可能兩位科學家都受到當代其他研究人員同一篇先導研究論文的影響。另一種帶有神祕色彩的解釋，會從較深層的觀點說明這種巧合。奧地利生物學家卡梅納（Paul Kammerer）曾表示：「或許我們可以說，儘管打散、重組的過程在現實世界繁華的表面下與宇宙無垠的千變萬化中不斷重複發生，但是物以類聚的現象也會同時在這些過程中產生」；卡梅納把現實世界的重大事件比喻成海洋波濤的頂端，彼此間看起來各自孤立，毫無瓜葛，不過根據他充滿爭議性的理論，我們其實只看到上層的波浪，卻沒注意到海面下可能存在某種同步機制，詭譎地把世上各種重大事件串在一起，才顯現出這種一波又一波的風潮。

易法拉（Georges Ifrah）在《數目溯源》（The Universal History of Numbers）一書中談論馬雅數學時，順便論及了這種同步情況：

我們因此又再一次地見證到，散居在廣大時空環境的下互不認識的人⋯⋯也會有非常類似甚至是一模一樣想法。⋯⋯有些例子的解釋；是因為他們接觸了另一群不一樣的人並受到對方的影響，⋯⋯真正的有效解釋是因為前面提過的深層文化融合：智人這種生物的智力具有共通性，把世界各個角落統整串連的潛力非常可觀。

古代的希臘人深深受到數目字的吸引。在這個不停變動世界的艱困年代，會不會只有數目字才是唯一恆常不變的？對於源自一門古希臘學派、畢達哥拉斯理念的追隨者而言，數目字是具體不變、和緩永恆的—比所有朋友更值得信賴，卻不像阿波羅或宙斯般讓人無法親近。

本書中有很多條目都跟整數有關，聰穎的數學家艾狄胥（Paul Erdos）醉心於數論—有關於整數課題—的研究，他經常能輕易使用整數提出問題，儘管問題的陳述很簡單，但是每一題卻都是出了名的難解。艾狄胥認為如果有任何數學問題提出後經過一個世紀依然無解的話，那一定是個跟數論有關的問題。

有很多宇宙萬物可以用整數表達之，譬如用整數描述菊花花瓣構成的方式、兔子的繁衍、行星的軌道、音樂的合弦，以及週期表元素間的關係。德國代數學家暨數論大師克羅內克（Leopold Kronecker）曾經說過：「只有整數來自於上帝，其他都是人造的。」這句話也暗示整數是一切數學的最主要根源。

自從畢達哥拉斯的年代以來，按照整數比例演奏出的音樂，就相當受到歡迎，更重要的是，在人類理解科學的演進過程中，整數也扮演著相關關鍵的角色，像是法國化學家拉瓦節（Antoine Lavoisier）就是依照整數比調配組成化合物的元素，顯示出原子存在的強烈證據。西元1925年，激態原子放射出一定整數比的光譜波長，也是當時發現原子結構的一項證據。幾乎按照整數比呈現的原子量，顯示原子核是由整數個數的相似核子（質子跟中子）所組成，與整數比的誤差則促成同位素（基本元素的變形體，擁有幾乎一樣的化學特性，只在中子數的個數上有所差異）的發現。

純同位素（pure isotope）原子量無法完全以整數比呈現的微小差異，確認了愛因斯坦（Albert Einstein）著名方程式 E ＝ mc2是成立的，也顯示出生產原子彈的可能。在原子物理領域隨處可見整數的存在。整數關係是組成數學最基本的一股勢力—或者引用高斯（Carl Friedrich Gauss）的說法：「數學是所有科學的女王—而數論則是數學中的天后。」

用數學描述宇宙這門學科成長迅速，但是，我們的思考方式跟語言表達能力卻還有待好好加強。我們一直發現或創造出新的數學，但是，我們還需要用更先進的思維才能加以理解。譬如最近這幾年已經有人針對數學史上幾個最著名問題提出證明，可是，他們的論證方式非常冗長又複雜，就連專家們也都沒辦法確定這些論證是否正確。數學家哈里斯（Thomas Hales）將一篇幾何學論文投稿到《數學會誌》（Annals of Mathematics）期刊後，整整花了五年的時間等待專家審查意見—專家們最後的結論是找不到這篇論文哪裡有錯，建議該期刊加以發表，可是必須加上免責聲明—他們無法肯定這個證明是對的！另一個例子來自數學家德福林（Keith Devlin），他在《紐約時報》（New York Times）刊出的文章中承認：「數學已經進展到一個相當抽象的程度，甚至就連專家有時都無法理解最新的研究課題到底在講什麼。」如果就連專家都有這樣的困擾，想要把這些資訊傳遞給普羅大眾當然更是困難重重，我們只好竭盡所能，盡力而為。雖然數學家們在建構理論、執行運算這些方面很在行，不過他們在融會貫通、解說傳達先進觀念的能力恐怕還是有所不足。

在此引用物理作為類比。當海森堡（Werner Heisenberg）擔心一般人可能永遠也無法真正理解原子是怎麼一回事時，波耳（Niels Bohr）顯得相對樂觀。西元1920年代，波耳在一封回給海森堡的信中提到：「我認為這是有可能的，但是要配合我們重新認識『理解』這個詞彙真正意涵的過程。」我們現在使用電腦進行研究的真正原因，是因為我們直觀能力有限，透過電腦實驗實際上已經讓數學家們取得更進一步的發現與洞見，這是在電腦普及以前作夢也想不到的結果。電腦及其繪圖功能，讓數學家們早在有辦法正式完成證明之前，就先看到結果，也開啟了一項全新的數學研究領域，就連試算表這種簡單的電腦工具，也能讓現代數學家擁有高斯、歐拉（Leonhard Euler）、牛頓等人渴望的數學功力。隨便舉個例子，西元1990年代末由貝利（David Bailey）跟佛格森（Helaman Ferguson）兩人設計的電腦程式用一條新公式把圓周率π、log 5跟其他兩個常數串在一塊，如同克拉瑞克（Erica Klarreich）在《科學新知》（Science News）上的報導，只要電腦能把公式先找出來，事後完成證明的工作就簡單多了，畢竟在完成數學證明的過程中，簡單地知道答案這項工作，通常也是最難以跨越的障礙。

我們有時候會用數學理論預測某些要經過好幾年後才能確認的現象，譬如以物理學家麥斯威爾（James Clerk Maxwell）命名的麥斯威爾方程式（Maxwell equation）預測了無線電波的存在；愛因斯坦場論方程式（fields equation）指出重力可以折彎光線及宇宙擴張論。物理學家狄拉克（Paul Dirac）曾說過，今天研究的數學課題可以讓我們偷偷瞄見未來的物理理論，事實上，狄拉克的方程式預測了之後才陸陸續續發現的反物質（antimatter）存在。數學家羅巴切夫斯基也說過類似的話：「就算再抽象的數學分支，也總有一天會運用在詮釋現實世界的物理現象上。」

在這本書裡，讀者們將會碰上許多被認為掌握宇宙之鑰、相當有趣的幾何學家。伽利略（Galileo Galilei）曾說過：「大自然的鬼斧神工不外乎是數學符號寫成的篇章。」克卜勒（Johannes Kepler）曾使用正十二面體之類的柏拉圖正多面體，建構太陽系的模型。西元1960年代的物理學家維格納（Eugene Wigner）對於「數學在自然科學中具有超乎常理的效用」感到印象深刻；像是E8這種大李群（large Lie Group）—請參照條目：探索特殊E8李群的旅程（西元2007年）—則可能在某一天協助我們創造一統物理學的終極理論。西元2007年，瑞典裔的美國宇宙學家泰格馬克（Max Tegmark）發表一篇相當受到歡迎、談論數理宇宙假說的科學文章，指出我們看到的物理實體其實都是數學結構；也就是說，我們不只可以用數學描述所處的宇宙，甚至可以說—宇宙本身就是數學。

數學之美與效用

數學已經滲入每一個需要費盡心思的科學領域，並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學跟工程等方面取得無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分佈的情況，也可以用來說明人類的大腦結構。數學幫助我們打造超音速飛機跟雲霄飛車，模擬地球天然資源流轉的方式，進入次原子的量子世界探索，甚至讓我們得以想像遙遠的銀河系。數學可以說是改變了我們看待宇宙的方式。

在本書中，我希望運用少量數學公式提供一點數學品味，而鼓勵讀者發揮想像力。對大多數讀者而言，這本書所談論的應該不只是能滿足好奇心卻缺乏...

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