你沒聽過的邏輯課：探索魔術、博奕、運動賽事背後的法則

得獎紀錄：▲《學校沒教的邏輯課》(2012)

2013年博客來「年度百大」人文類TOP17

2013年金石堂社會科學暢銷百大TOP7

▲《國文課沒教的事》(2011)

2012年臺北市101年度兒童深耕閱讀好書推薦

2012年臺北國際書展馬英九總統購書書單

▲《下課後的奇幻補習班》(2011)

2012年臺北國際書展馬英九總統購書書單

▲《一次看懂自然科學》(2010)

2010年開開卷年度好書獎最佳青少年圖書

馬英九總統推薦2011年暑期青年閱讀好書

2011年第35屆金鼎獎圖書類非文學獎科學類

2011年第33次中小學生優良課外讀物推介

▲《一次看懂社會科學》(2010)...

★從已知推算未知的「茶壺原理」

在數學裡，有一個有用且常用的解題法，叫做「茶壺原理」（Tea Kettle Principle），這可和清末明初國學大師辜鴻銘先生的「茶壺理論」無任何關聯。話說有一位工程師和一位數學家，同時被要求解答下列問題：

◎問題A：在廚房地板上，有一個空的茶壺，請提供一個方法，煮一壺開水來泡茶。

工程師回答：把茶壺提起來，打開水龍頭裝滿水，將茶壺放在爐子上，點燃爐火，靜待水被燒開；數學家說：我的方法也一樣。

接著，他們被要求解答下列問題：

◎問題B：爐子上放著一個茶壺，裡面裝滿水，請提供一個方法，煮一壺開水來泡茶。

工程師回答說：點燃爐火，靜待水被燒開；數學家說：把茶壺從爐子上提起來，把茶壺裡的水倒光，再把空的茶壺放在廚房地板上，於是，問題B就化成已經知道怎樣解答的問題A了。

這雖然是一個笑話，但是把待解答的問題化成已經解答的問題，卻是在數學、科學裡，甚至在生活裡，有用而且常用的方法，這就是「茶壺原理」。

★從「飲水思源」找解答

一位從香港來的朋友，打電話問我如何從臺北火車站到101大樓？我詳細地一步一步為他說明如何坐捷運、轉公車、再走路，果然一切順利。

第二天，他又打電話問我如何從龍山寺到101大樓去，我說您就坐計程車從龍山寺到火車站，在火車站再按照我昨天告訴您那條路線走就對了。這就是把一道待解答的問題，化成一道已經知道如何解答的問題，我就不用再多費唇舌了。這就是「茶壺原理」。

有人問一位老先生：「您今年貴庚了？」老先生說：「我40歲時，我的小兒子出生。」那人繼續問：「那麼您小兒子今年幾歲了？」老先生答：「他比鄰居的張博士小5歲。」「那麼張博士今年幾歲了？」老先生答：「張先生屬狗，剛從美國拿了博士學位回來。」假設今年是2012年，屬狗的是78、66、54、42、30、18或者6歲，所以，張博士應該是30歲，老先生的小兒子是25歲，老先生是25＋40＝65歲。

在這個問題當中，我們先把老先生是幾歲的問題，化成他小兒子是幾歲的問題，再把他小兒子是幾歲的問題，化成張博士是幾歲的問題。當我們找出來張博士是幾歲，就可以解答小兒子是幾歲，然後就可解答老先生是幾歲了。

上述例子指出應用「茶壺原理」的兩個要點：第一、我們先把一道待解答的問題，化成另一道待解答的問題；第二、最終我們要把一道待解答的問題，化成另一道已經知道如何解答的問題。這兩個要點也可以用兩句成語來描述：第一、前事不忘，後事之師；第二、飲水思源，可不是貼切得當嗎？

★文學中的茶壺原理--頂真格

談到這裡，相信大家對數學裡的「茶壺原理」有相當的瞭解和領悟。你知道嗎？其實文學家也不讓數學家專美於前；在文學修辭中，兩個句子裡，上一句結尾的幾個字，用來做為下一句開始的幾個字，就叫做「頂真格」，如林語堂先生所說的：「宅中有園，園中有屋，屋中有院，院中有樹，樹上見天，天中有月，不亦快哉！」

頂真格的句子，具有橋樑、和諧、緊湊、趣味四種特色，可以說是文學裡的「茶壺原理」。



★最公平的分配法

哥哥和弟弟放學回家，媽媽剛烤好一個蛋糕，就拿出刀來，把蛋糕切成兩塊，一塊給哥哥，一塊給弟弟。哥哥嘀咕著，埋怨媽媽偏心，給弟弟那塊比較大；弟弟也嘀咕著，埋怨媽媽偏心，給哥哥那塊比較大。媽媽說，那就讓你們自己來選吧！哥哥先選，弟弟馬上抗議，哥哥肯定把比較大那一塊先選走了。到底該怎麼做，才能皆大歡喜？

媽媽想出了一個主意：先請哥哥把蛋糕切成兩塊，然後再讓弟弟選。這一來，因為哥哥是負責把蛋糕分成兩等分的，他會認為他拿到的肯定是整塊蛋糕的二分之一，因此不會有任何妒忌和埋怨；同時，因為弟弟有優先選擇的機會，他也會認為自己拿到整個蛋糕的二分之一或以上，因此也不會有任何妒忌和埋怨。

★何先生的三門猜獎習題

美國曾有一個熱門電視猜獎節目Let's Make a Deal，主持人蒙提．霍爾（Monty Hall，以下簡稱何先生）常在節目中對參加猜獎的觀眾提出非常有名的「三門習題」（Monty Hall problem）。節目中，舞臺上會出現三道門，一道門後面是大獎，一台賓士汽車，另外兩道門後面是安慰獎，一台腳踏車，何先生在現場選出一位觀眾，讓他在三道門裡選一道，選定之後，就可以得到門後的獎品。

當觀眾選了一道門之後，譬如第一道門，在打開這道門之前，何先生會玩一個花樣，他會打開第二道門，在第二道門後的是一台腳踏車，這時，何先生就問這位觀眾：「您已經選了第一道門，我也讓您看到第二道門後是一台腳踏車，現在我提供您一個機會，您可以放棄第一道門，改選第三道門，請問您要不要改選？」

這個問題聽起來簡單，卻引起許多爭議，包括許多數學教授在內都紛紛加入討論，有人說一定要改選，有人說改選不改選沒有差別。

之所以會有爭議，原因是大家沒有弄清楚一個前提：何先生自己知不知道賓士汽車是在哪一道門後。在何先生是知道的這個前提之下，如果賓士汽車是在第一道門的後面，何先生就隨便打開第二道或者第三道門，讓這位觀眾看到一台腳踏車，如果觀眾改選，就吃虧了。但如果賓士汽車是在第二道門後面，何先生會打開第三道門，如果賓士汽車在第三道門後面，何先生會打門第二道門，在這兩種情形之下，改選就會得到大獎了，所以結論是採用不改選的策略的話，得到大獎的機率是1/3，採用改選的策略的話，得到大獎的機率是2/3。

這個答案可以從另外一個觀點來解釋，如果採用改選的策略，這位觀眾等於是在三道門裡選了兩道門，譬如說，這位觀眾猜想大獎是在第二道門或者第三道門後面，他就先選第一道門，等何先生開了一道背後是一台腳踏車的門之後，他就改選，那麼只要大獎是在第二道或者第三道門的後面，他都會得到大獎。

但是，在何先生根本不知道賓士汽車是在那一道門後面的前提之下，當這位觀眾選了第一道門之後，何先生就打開第二道門，如果賓士汽車在第二道門後面，何先生就趁勢收場，「您選錯門了，遊戲結束」；如果何先生打開第二道門，看到的是一台破爛的腳踏車，那麼賓士汽車在第一道門後面和在第三道門後面的機率都是1/2，改選不改選沒有差別。

從這幾個例子，我們得到一個教訓：必須把題目的含意弄清楚，以及正確地善用已知的部份資訊。有時直覺會告訴我們正確的答案，但是數學上的計算才是最可靠的。

★從已知推算未知的「茶壺原理」

在數學裡，有一個有用且常用的解題法，叫做「茶壺原理」（Tea Kettle Principle），這可和清末明初國學大師辜鴻銘先生的「茶壺理論」無任何關聯。話說有一位工程師和一位數學家，同時被要求解答下列問題：

◎問題A：在廚房地板上，有一個空的茶壺，請提供一個方法，煮一壺開水來泡茶。

工程師回答：把茶壺提起來，打開水龍頭裝滿水，將茶壺放在爐子上，點燃爐火，靜待水被燒開；數學家說：我的方法也一樣。

接著，他們被要求解答下列問題：

◎問題B：爐子上放著一個茶壺，裡面裝滿水，請提供一...

〈寶藏無限大 一切「從零講起〉 劉炯朗

從2005年秋天起，我在新竹IC之音廣播電台（FM97.5）主持一個獨白式的談話節目「我愛談天你愛笑」，內容由時報文化出版公司整理出版，這本書是這個系列的第九本。

常有人問我節目內容是怎樣選擇的，那的的確確是我天馬行空、隨心所欲地找一些自己有興趣的題目，盡量學習、探索和思考，並且以達到「敢站在學生面前大聲講」的理解程度作為目標。坦白說，我花相當多的時間來準備這個節目，因為其中很多是我從來沒涉獵過的東西。

對於我的第九本書，可能有人會說：「這本書講了很多數學，看起來似乎比較難懂。」我的「遁詞」和我其他的書一樣：我講的都是有趣的故事，天文、物理、經濟、法律、詩詞、流行歌曲，一律兼收並蓄、細大不捐。

其實，數學有許多觀念都是相當直覺的，尤其在廣播節目裡，沒有黑板，沒有投影片，所以我也以「光聽就能懂」為原則，書中的方程式和圖片都是後來加上去的。

無論節目或書的內容，都沒有特定對象，不過我都嘗試從「零」講起，不預設任何門檻或背景。相信這些內容，從剛剛參加國中會考的「毛頭小子」到「老嫗老翁」都能夠解讀。

我曾經用一個譬喻來闡述教育的三個「面向」(容我強調是「面向」，不是「層次」)。有一個寶藏，裡面有許多美麗、珍貴的珠寶，老師牽著學生的手一步步向寶藏走去，這就是「灌輸」（instruction）；老師也可以給學生一張地圖，讓他按著地圖往寶藏走去，這就是「引導」（introduction）；又或者老師也可為學生描述這些珠寶如何美麗、珍貴，讓學生自己去找方向，以自助旅行的方式，走到寶藏的所在，這就是「激發」（inspiration）。我衷心希望這本書能「激發」出讀者對數學裡、數學外一些事和物的興趣。

〈寶藏無限大 一切「從零講起〉 劉炯朗

從2005年秋天起，我在新竹IC之音廣播電台（FM97.5）主持一個獨白式的談話節目「我愛談天你愛笑」，內容由時報文化出版公司整理出版，這本書是這個系列的第九本。

常有人問我節目內容是怎樣選擇的，那的的確確是我天馬行空、隨心所欲地找一些自己有興趣的題目，盡量學習、探索和思考，並且以達到「敢站在學生面前大聲講」的理解程度作為目標。坦白說，我花相當多的時間來準備這個節目，因為其中很多是我從來沒涉獵過的東西。

對於我的第九本書，可能有人會說：「這本書講了很多數學，看起...

作者序 寶藏無限大 一切「從零講起」
★【Part I 日常生活中隱藏的邏輯】
◎從已知推算未知的「茶壺原理」
．「飲水思源」找解答
．輕鬆倒推薪水、存款或預算
．從綿延不絕的兔寶寶到費氏數列
．按高矮排列
．誰是海盜船上的幸運兒？
．文學中的茶壺原理——頂真格
◎最公平的分配法
．從切蛋糕到世界和平
．公平百百種，你選哪一種？
．滿足的公平
．沒有妒忌的公平
．各得其所的公平
．Sperner定理
．各得其所可能嗎？
◎預測群蟬亂舞的年份
．羽化登仙 遺世獨立
．冰河時期氣溫大巨變
．被打亂的生命週期
．在特定年份對撞的「質數蟬」
◎「尋找千里馬」的法則？
．慧眼識「書豪」
．從黃金比例找俊男美女
◎誰是美國職棒聯盟的潛力股？
．尋找明日之星——打擊手篇
．尋找明日之星——投手篇
．量化指標與MVP
◎《魔球》的啟示：打破慣性，締造傳奇
．球員出身的總經理
．力抗傳統的新思維
．電腦怪咖的分析
．用數據締造20連勝
◎科技時代的壓縮邏輯
★【Part II 魔術中的數學邏輯】
◎魔術和數學
◎條條道路通羅馬
◎漢蒙洗牌法
．三娘教子
．陰陽調和
．逢黑必反
． 一言驚醒夢中人
◎排列的秘密
．皇家同花順
．五中取一
．五子登科
．五子登科的延伸
．文學上相似的形式
◎吉爾布雷斯的梅花間竹式洗牌法
．吉爾布雷斯原則
．誠實和謊言
．五神
．第四十七頁
◎蒙日洗牌
．同性相吸
．Ace在哪裡
．慶祝婦女節
◎股票紅利
★ 【Part III 識破博奕背後的數學邏輯】
◎機率是什麼？
．用過去的經驗估算未來
◎從賠率算出的必勝賭盤
．穩賺不賠的運動博彩下注法
．賭客的必勝方程式
．馬塲為何能穩贏不賠？
◎獨立事件的機率
．如何預測同事的服裝搭配？
．飛機上有炸彈的機率
．為什麼賭客愛玩擲骰子遊戲？
．下一張黑白撲克牌是……
．老二是男孩的機率有多大？
．何先生的三門猜獎習題
．先釐清問題，再善用已知
◎受事件先後影響的機率
．互有影響的褲子襯衫搭配機率
．用貝氏定律算出球員被交易的機率
．罹患乳癌的機率
．血液檢查增加準確度
．先做血液檢查
．看不看醫生
．電子郵件過濾器
◎看穿賭博的勝敗邏輯
．為什麼賭客一定會破產
．賭客的加碼策略
．靠算牌打敗賭場
．如何獨得樂透彩
．預測輪盤的贏錢數

★【Part IV 來練數學邏輯基本功】
◎正整數與自然數
◎負整數
◎整數
◎有理數與無理數
◎代數數與超越數
◎實數和虛數
◎複數
◎規矩數
◎無窮大
◎郵票面額的配對
．一個有趣的例子
．一個古老的例子
◎畢氏定理
．幾何的觀點
．再談無理數
◎費瑪最後的定理
．法國數學家傑曼
．谷山豐、志村五郎的猜想
．懷爾斯的貢獻

作者序 寶藏無限大 一切「從零講起」
★【Part I 日常生活中隱藏的邏輯】
◎從已知推算未知的「茶壺原理」
．「飲水思源」找解答
．輕鬆倒推薪水、存款或預算
．從綿延不絕的兔寶寶到費氏數列
．按高矮排列
．誰是海盜船上的幸運兒？
．文學中的茶壺原理——頂真格
◎最公平的分配法
．從切蛋糕到世界和平
．公平百百種，你選哪一種？
．滿足的公平
．沒有妒忌的公平
．各得其所的公平
．Sperner定理
．各得其所可能嗎？
◎預測群蟬亂舞的年份
．羽化登仙 遺世獨立
．冰河時期氣溫大巨變
．被打亂的生命週期
．在特...