孩子不再害怕數學：10招爸爸輕鬆教的生活數學 （邏輯思維篇）

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楊凱琳 臺灣師範大學數學系教授

陳嘉皇 臺中教育大學數學教育學系系主任

梁淑坤 中山大學教育研究所教授

Ashley 媽媽部落客

兔包 插畫家

芊爸 親子天下駐站作家

樂爸 作家

第 1 招

音符裡藏著數學規律

◎學習鋼琴能直接影響孩子對分數的理解。我學習分數的時候，特別喜歡1/7、2/7、3/7，就是因為能從中找到音階，哼出調子來。

◎家庭中，有大量生活細節可以幫助孩子播下各種數學的種子。等到了課堂上，他們一下子就能把新學到的術語詞彙與這些種子連接。

直到上了北京師範大學數學系，我才看到《唐老鴨漫遊數學奇境》的動畫片，也才知道古希臘數學家畢達哥拉斯是最早用分數來確定音符的人。撥動一條線上不同比例的地方，就可以聽到不同的聲音，並透過確定比例的數字來標定這個聲音，這樣就可以重複同一個聲音了。

回顧過去，鋼琴我只學過這一個假期，不到兩個月，後來手風琴倒是學了4年。在音樂中，我找到了許多跟數學相通的東西。比如，Do（1）Re（2）Mi（3）Fa（4）Sol（5）La（6）Si（7）加上升階Do（14），在鋼琴鍵盤上，這8個琴鍵是白色的，還有5個黑色的琴鍵，加起來就是13個，排列起來就是5、8、13，恰好是斐波那契數列（編註：或稱黃金分割數列、費式數列）中的一段。

爸爸輕鬆學兒童心理

波士頓兒童醫院附屬認知神經科學實驗室在過去15年的研究中發現，從小學一年級開始接觸音樂的孩子，在數學測試中的表現和對概念的理解，都比沒有接觸過音樂的孩子高出許多。哈佛大學兒童發展研究中心過去50年的研究中也得出了相同的結論。

學習鋼琴能夠直接影響孩子對分數的理解。小學五年級開始學習分數，其實是不容易的。

在數學的發展歷史上，分數是從畢達哥拉斯製作弦開始的。一根弦拉長，繃直，手指劃過，發出聲音。畢達哥拉斯將弦截半，再拉長，繃直，手指劃過，又有一個聲音。然後繼續下去，畢達哥拉斯分別記錄了自己的做法，以及對應的聲音。從此便有更多的人開始探索聲音的不同組合，並嘗試用符號表示，這時，分數的樣子就出來了。

我學習樂譜的過程，與多數人不同。多數人都是先認識譜子，知道發音，然後用手指找到鋼琴上對應的那個鍵。我恰好相反，是從聽到的調子中尋找鋼琴上的鍵，來核對聽到的音。這大概就是爸爸的教育給我的大腦留下的一種痕跡，不從公式去操作，而是從操作中自己感受其中蘊含的規律，並漸漸體驗，讓自己對自己發現的規律熟練起來。這種做事和處理事情的方式叫實用主義。

這種思維方式的好處就是不會被現有條件限制。沒有鋼琴？沒事，用盛有不同數量的水的啤酒瓶，也能夠找到《丟手絹》的曲調，用任何能夠發音的東西，都能夠奏出曲調。同樣，做加法、做減法，不用去記所謂的「湊十法」（源自小學老師教孩子巧妙處理數學運算的一種方法。比如：3＋5＋7的運算，可以先做3和7的加法，就是10，然後快速心算出答案為15），而是用自己感悟到的「雙手合十法」就可以了。「雙手合十法」是我把自己的雙手當作視覺工具解釋「湊十法」的形象化說法，拿出雙手，一眼看過去就是10根手指，形象、有趣，讓人印象深刻，比來自老師的黑板、來自紙張上的「湊十法」要更有切身感受。

爸爸從事的是樂曲創作，辦公室有各種能夠發出聲音的樂器。其中有一個豎琴，一直立在爸爸辦公室的角落裡。有時我用鋼琴找到《丟手絹》的調子後，又用豎琴去找。長長的一根弦，我從中間開始撥，聽到聲音後，又從這個中點向上撥，聽聲音，再從中點向下撥，再聽聲音。我體會到的是，一半，一半的一半。等到課堂上，老師講分數的時候，我腦海中直接反應出的就是弦的一半，以及一半的一半。

我腦海中是先有了數量被切分的認識，再接觸數學中的說法。而多數同學是沒有整體切分的認識，便直接接觸了分數的說法。

多數同學的這個認識，在認知心理學上叫附著資訊，而我大腦中的那種認識過程是原生資訊的發展，就是先有了一個來自實際的認識，再接觸到抽象的、提煉出來的術語。這時，新的術語便直接在腦海中生了根，因為這個根底下原本就埋下了一顆種子，而新的術語在種子上發芽、發育、發展，便會一直堅實，不會走樣。

實用主義與系統知識進入大腦的次序不同，會影響人對內容的理解程度。從實用主義出發，人的目的性更強。次序顛倒，便難以理解，就只是為公式而公式了。

很多孩子沒有這樣幸運，他們沒有那個根，所以，附著到大腦裡的新術語只能依靠不斷地重複、不斷地練習來強化記憶，而不是靠理解。透過大量的練習，有的孩子能把在大腦中與現實中的事情結合起來，也就生根了。但有的孩子卻難以做到生根，10年後，這些分數的概念就變成了習慣，但並不是真正透徹地理解。不能做到理解，從分數擴展出來的相關術語也就漸漸遺忘了，比如真分數（最簡分數）、假分數、帶分數這些術語，都是無根的，也就遺忘了。根，就是那種實用的目的。

家庭中，有大量生活細節可以幫助孩子播下各種數學的種子。等孩子到了課堂上，一下子就能把新學到的術語詞彙與這些種子連接起來。種子周圍是有土壤的，這片土壤就是周圍的腦神經元，它們能夠讓種子發芽、發育、發展得更好。在我家，媽媽負責讓我不懼怕數學，同時產生興趣，而爸爸則擴展了我的靈活性。

數學思維需要準確的理解、靈活的思考以及嚴謹的操作。這三個思維層面的耕耘都來自爸爸。

準確的理解：重要的是次序，必須先有對一個事物的直觀認識，然後才是文字符號。

比如分數1/2，必須先理解這是一個實物的一半，然後才去認識白紙黑字上的1/2。類似的例子出現在我日記中的還有概率(可能性)、周長、面積、體積、溫度等。源自現實中可以看到、摸到的都是直觀事物，對這些熟悉後，輪到老師講術語了，一點就通。

感謝我父親沒有那麼多的文化知識，他自己沒有上完小學，就找工作掙錢，養家糊口了。這樣一來，他自己也不懂術語，從小我就是在玩的過程中自己領悟的，包括生活中的數量、數量的變化、數量的關係等，都是出於實用主義的現實。

第 1 招

音符裡藏著數學規律

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讓孩子喜歡數學是不可能的任務嗎? 還是我們尚未找到可行的方法呢?

《孩子不再討厭數學: 10招媽媽輕鬆教的生活數學》、《孩子不再害怕數學: 10招爸爸輕鬆教的生活數學》這兩本書提供了動手做、動腦想、動眼讀、動口說的實際活動，讓家長也能夠一起參與孩子學習數學的過程，幫助孩子或自己重新喜歡上數學! 這些活動不僅能讓孩子從生活情境中理解隱藏的數學規則，也讓家長認識數學學習的機制：理解力、記憶力、自我監控力等。

媽媽的10招以日常生活中的實際例子先去除孩子對數學的恐懼，領略數學的樂趣。再接著爸爸的10招則引導孩子進一步地去了解背後的數學規則，讓孩子的數學思考變得更有效、數學學習變得更主動。

透過這兩本書，不但可以讓家長重新啟發孩子對數學的興趣，孩子的數學素養奠定良好基礎，在過程中更會不知不覺地和孩子一同愛上數學，親近數學！

──臺灣師範大學數學系教授 楊凱琳



數學是門體現、擴展與探索真、善、美的科目，在歷史發展上，人們透過觀察自然的現象，歸納出數學的法則，進而演繹出公理，利用它順利地解決面臨的問題；所以數學的學習始於觀察，終於應用解題。

中小學學生為何討厭數學？為何對數學產生恐懼害怕呢？原因雖部分源於數學本質的奧妙之外，最重要的原因應來自於師長的教學方式和引導方法，造成孩子對數學學習的誤解和厭惡。如何讓學生自小開始培養喜愛數學的態度、樂於接受挑戰，是數學教育應積極努力的方向。

書中的數學問題皆由生活情境或故事引出，透過父母親的引導與鼓勵，讓孩子盡情地揮灑思考，在辯證、說理的過程中獲致答案，這個步驟是孩子樂於學習數學的起點，為了維持孩子的動機並願意接受挑戰，書中另安排了一些較複雜和困難的題目讓孩子挑戰，但仍是有趣的。此種作法符合了學習中溫故知新的法則，讓孩子能將數學知識加以應用和轉換。本書可為一本啟發師長教導孩子數學的工具書，大人們若能妥善利用作者提出的數學示例與學習的心理法則，相信孩子必能樂於數學，從數學中獲致數學的真諦──擁有真善美的人生。

──國立台中教育大學數學教育學系主任 陳嘉皇

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後記

媽媽說

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