翻轉你的數學腦：數學如何改變我們的生活

第三章沒有數字的生活(摘錄)
在蔚藍的天空下，有個人正駕著船，沿著亞馬遜雨林心臟地帶的邁西河(Maici)順流而下。河岸上有個小部落，幾乎從未與外面的世界有過接觸。這個人每年都會來一次，希望帶回去盡可能多的巴西堅果、橡膠和其他的天然物產。他的船上照例滿載著威士忌、菸草，還有更多的威士忌，來做交易。
和皮拉罕人(Piraha)做生意是一種挑戰。他們和外界做了200年的生意，仍然只懂幾句葡萄牙語。幸運的是那已經足夠讓這個人得到自己想要的東西：價值不菲的巴西堅果和橡膠，其價格足以讓其他商人妒羨不已。然而，價格差異幅度極大，有時候皮拉罕人用一桶巴西堅果交換一根香菸，有時候一小把的堅果就要價整包煙草。除此之外，事情很簡單，皮拉罕人從他的船上挑選貨物，直到他開始抗議為止。
皮拉罕人用完全不同的態度看待交易。雖然巴西商人搞不清楚他們的威士忌或菸草價值多少，皮拉罕人卻不認為這有什麼問題。他們沒有數字的概念。他們不用固定的價格，因為他們不知道怎麼做。他們也看不出有什麼理由要這麼做，但是他們心裡對不同的商人有著清晰的印象。他們知道哪一個誠實，哪一個總是想少付一點。
這些都是丹尼爾‧艾弗列特(Daniel Everett)的發現，他是一位美國的研究人員，曾在皮拉罕人中住過好多年，是極少數能說皮拉罕語的外來人。艾弗列特發現皮拉罕語中沒有數字。他們有時候談及一個大約的量，卻甚至沒有「一」這個字(他們也沒有「紅」這個字，還有表達完成式的方法)。這使得皮拉罕是極少數完全不使用數學的文化。他們的語言(就像很少數的其他語言)沒有關於直線、角或其他幾何概念的詞。由於數學的存在只有5,000年，這個特殊的社會提供了關於我們的過去獨特的一瞥。
這樣一來，我們的文化和皮拉罕文化之間就有著巨大的差異。他們並不在意記錄東西的價值，知道現在的時間，或者有沒有足夠的錢撐到月底。他們沒有貨幣，而是以貨易貨。這一切之所以可能，是因為他們的群體很小。每個人彼此相識，只有活著的人才重要。他們也不追蹤家譜；一個人若是死了，一旦所有認識他的人都死了，他也就被遺忘了。皮拉罕人的生命只聚焦當下的時空。
在這樣一個文化中，對數學並沒有什麼需求。在皮拉罕人的堅持要求下，有段時間艾弗列特嘗試要教他們數學，卻徹底失敗了。八個月的時間，每天艾弗列特教他們數字和幾何形狀，要他們畫一條直線，或者把1到5依序排列。然而，那段時間內，他完全教不會他們任何數學知識。
他們只是沒有學習數學的能力？或許他們還是行的，可是皮拉罕人對於外來的知識似乎不感興趣。他們不相信問題的答案會有對有錯。當艾弗列特提示數學問題的答案可能不對時，他們畫一些符號，或隨便寫下幾個數字。有時候，他們完全不理數學，逕自談論那天發生的事。就算叫他們連著畫兩條直線，對他們而言也算太超過了。
聽起來很像以前我自己的數學課，除了皮拉罕人是自願上課的。雖然在數學的學習上沒有什麼進展，艾弗列特總是會做些爆米花，這是讓大家聚在一起，知道彼此近況的好機會。或許這和我高中的時候沒什麼太大差別。

一個距離皮拉罕很遠的島
這個世界上只剩下很少的文化不使用數學，皮拉罕是個極端的例子，他們根本沒有數字相關的詞。但是在巴布亞新幾內亞(Papua New Guinea)，有一些部族是有那些詞語，不過幾乎不使用。他們沒有用到數學，卻也生存下來了。
羅伯達(Loboda)人住在諾曼比(Normanby)，巴布亞新幾內亞較大島嶼東面的一個小島。他們使用身體的部分來計數，例如在他們的語言中，「6」的字面意思就是「一隻手再加上另外一隻手的一根手指頭」。但是並沒有什麼用處，因為在我們用到數字的情況下，他們覺得沒有理由需要這麼做。
以貨幣為例，我們用錢來買東西，每件物品都有一個數字代表的價錢。羅伯達人也有貨幣：硬幣和紙鈔，他們可以用來交換歐元或英鎊，但是不能在社交場合中以金錢作為禮物。他們收到一份禮物，稍後必須要回贈完全一樣的禮物；如果鄰居在一個場合中送給他一籃番薯，他必須在後續場合中回贈一籃一模一樣大小的番薯。不能是金錢或其他同等價值的東西，必須是數量剛剛好的番薯。
對我們而言，「數量剛剛好」是指番薯的數目一樣多，羅伯達人從來不數籃子裡番薯的個數，他們只是大約估計一下。他們看看籃子是全滿，還是半滿。如果沒有全滿，你可以多少再加一些，讓它看起來沒有什麼差異。
其他的情況中，羅伯達人也不用數字。當我們談到年紀、長度或時間時，很快就會訴諸數字：幾歲，幾公分或幾英吋長，或幾分鐘前發生了什麼事。羅伯達人當然也談論這些事，但他們會通過與他們熟悉的東西做比較，來描述某個東西有多長，例如一條鍊子是前臂的長度。聽起來類似我們的英呎(foot)，只不過並不是用來作量度的單位。對他們而言，兩腳長或兩前臂長都是無稽之談，如果東西比一個前臂還長，他們就和其他的東西作比較。
描述某個人的年紀，羅伯達人會說跟嬰兒、孩童等一樣大。時間的描述也一樣，例如，需要的時間和從村子到下一個島的旅程一樣久。沒有數字，他們也活得好好的。
巴布亞新幾內亞的另一個部族尤普諾人(Yupno)對此絕對表示同意。他們的村落在瑪當(Madang)省2,000多公尺的山上。和羅伯達人一樣，他們也用身體的部分來做計數。要表達一個數字，就說出對應的身體部位的名稱或者指一指那個部位。這種計數系統對男性來說沒什麼困難，但有些部位對女性而言就有點尷尬了。

尤普諾人的計數系統
尤普諾人也會用枝條來計數，一次一條的放下。因為他們居住的地方並不那麼偏僻，部族裡大多數的年輕人都受過一些西方教育，他們用類似英語的巴布亞皮欽語來數數。
尤普諾人因此有三種計數的方法，但卻不是經常使用。他們給每樣東西一個固定的價值，但並非以多少個硬幣來表示。他們把貨品擺成一堆堆，每堆價值都是一枚10托伊的硬幣，托伊是巴布亞新幾內亞的貨幣中較小的單位。一堆菸草要比一堆食物之類的來得小堆，你不能只買一根香蕉，你必須買和那枚硬幣一樣價值的一堆香蕉。這讓他們免於找零的麻煩，因此幾乎不怎麼需要計數。
不過有個非常重要的例外，那就是嫁妝。尤普諾人的嫁妝主要是豬隻和金錢，而他們有兩種計算方式。他們大聲地數，有些用身體部位，有些則用枝條。這麼一來就免除了混淆，畢竟每個人計數的方式不同。例如，如果由手直接就到耳朵，那麼右耳表示12，而不是圖中所示的22。這個時候，枝條就是個追蹤記錄的好方法。
既然尤普諾人花那麼大力氣數清楚嫁妝，研究人員想或許可以利用嫁妝來教他們數學。他們問部族裡的一個老人，「你需要19頭豬來作嫁妝，你已經有了8頭，你還再需要幾頭？」答案出人意料之外：「朋友啊，我沒錢再買一個老婆了。我到哪裡去找那8頭豬？再說，我也老了，沒那個精力了。」

量度沒有必要！
總而言之，這些部族不使用數字，也能存活。可是，難道他們量度東西也不需要數字嗎？他們難道不需要起碼懂點數字、長度、距離來建造東西或找到道路？顯然沒這個需要。皮拉罕人、羅伯達人、尤普諾人，還有很多其他文化，不靠數學也能做這些事。
有一些巴布亞新幾內亞的部族會建造獨木舟。由於這個國家就是由島嶼組成，他們也沒有別的選擇。至少在以前，這是他們由一個島到另一個島唯一的旅行方式。尤普諾人居住在山上，他們沒有這個需求，但是沿著海岸的部族就需要堅固的船隻，才不至於在海上突然沉沒。他們建造時，沒有標準量度的藍圖，以及樹幹厚度的規定，他們靠的是經驗，把新建的獨木舟和從前的作比較。
他們以簡單的量度方式來支持他們的經驗，不是捲尺或直尺，而是前臂，或者像基里維納群島 (Kiriwina islands)上的人們，用的是姆指及手掌。這讓基里維納群島上的人們在量度上更為精確。也該如此，因為這些島嶼很小，人們多半時間都在海上，因此他們對量度獨木舟十分謹慎，雖然他們從不改變基本形狀。
比起獨木舟的大小及形狀，更為重要的是木頭的厚度。如果太薄，很容易受損；太厚，則獨木舟的載重量就減少。巴布亞新幾內亞的部族並非用什麼精確的方法來測量木頭的厚度，他們有些用腿，有些發現可以用快速的一擊，聽出木頭是否夠厚，因而獨木舟是安全的。通常在下水之前，他們並不知道獨木舟的載重量。
島上還是需要建造各式各樣的東西，例如跨過河流或山谷的橋梁。顯然你在事前無法測試一座橋，或從它的形狀判斷它是否安全。這些人如何知道一座橋是否足夠堅固，還是一個謎。他們這麼做，已經有很長的時間了，沒有人記得他們的祖先是如何開始這麼做的。
科瓦比人(Kewabi)住在主島中部，他們完全不靠精確的度量，就能建造橋梁。他們估計從河流一岸到另一岸的距離，找尋看起來夠長的樹幹，承擔橋梁重量的柱子也是這麼選的。就像舊金山的金門大橋，靠的也是柱子及纜索，這些柱子伸出橋面。然後他們得用夠長、夠粗的繩索，等等。科瓦比人憑藉良好的估計能力及累積的經驗，在建造橋梁方面毫無問題。
許多巴布亞新幾內亞的部族也靠著結合估計和經驗，建造他們的住家。然而，他們的做法差異甚大，例如有些建造方形的房子，有些只建圓形的。
卡得人住在巴布亞新幾內亞東部的芬什港，他們建造的房子是長方形的。他們先做出兩條繩子，一條是房子的長度，一條是寬度。當他們收集建築材料時，就用繩子來看是否足夠了。這樣省了不少事，也不用砍伐比需求還多的樹。
並不是所有的部族都是精確的建築者。瑪當省的一個部族建造時不用繩子，也不用其他輔助測量的工具。他們有他們的標準流程：先在一個長方形中豎起9到12根柱子，差不多等距排列，作為房子的基礎。然後只憑他們的估計能力，在柱子上建造房子，。
卡韋夫村(Kaveve)中的人，也把房子建在柱子上，不過是圓形的。入口是一個圓孔，就在圓形地板的邊緣，中間留有火爐的空間。他們用繩子來制訂出兩個圓的大小。圓孔入口要盡量的小，以防氣流。因此他們丈量村子裡最胖的人，只要他能夠穿過，那就足夠了。卡韋夫的人的確用到度量，不過範圍非常侷限。沒有人計算需要多少木料，也不管面積是多少，他們就收集建材，憑著直覺進行建造。繩子告訴他們每樣東西要有多大，僅此而已。不靠數學，也能蓋房子、造橋梁和獨木舟。

處理小數量
因此，有各種不同文化，幾乎不使用數學。就算會用，就算有數字系統，他們也沒有使用的需要。他們能夠相當準確的估計長度和數量，這樣就省了很多時間和麻煩。可是，這怎麼可能呢？是什麼讓我們不用數學而能夠進行貿易、供給食物、建造橋梁?最近幾十年，科學已經找到這個問題的答案。我們使用大腦的某個部分來處理數量。這就是為什麼就算我們從沒學過其背後的數學原理，還是能夠估計長度，或識別正方形。
大腦中處理數量的部分可以清楚地分為三個部分。第一部分處理小於4的量，也就是說，我們可以馬上看出1個蘋果和2個蘋果的差異。另外一部分處理較大的數量，第三部分則是對幾何圖形的認知。這就是以前從未看過地圖的人，怎麼會利用它來規劃由A地到B地路線。
即使是嬰兒時期，我們也能輕鬆地處理小數量。我們天生就能分別1和2。當然，指的不是這兩個數字，而是一個東西和兩個東西。例如，如果嬰兒看著畫有一個點的一張紙一段時間後，突然看到一張畫有兩個點的紙，會露出驚訝的神情。他們的驚訝神情顯示出他們明白他們看的是另外一個東西。科學家可以由嬰兒觀看那張紙時間的長短，來知道這件事。嬰兒很快就會對同一個影像失去興趣，但是如果是不同的影像，就會觀看久一點。
這讓研究人員能更深入探索嬰兒對周遭世界的期待，而且得到了令人驚奇的結果。例如，嬰兒似乎已經知道加減。如果你給嬰兒看了兩個洋娃娃，然後拿走一個，嬰兒期待只會有一個剩下。如果開始有兩個洋娃娃，拿走了一個，居然還有兩個洋娃娃在那裡，嬰兒就會很驚訝。在他們學習數學之前，顯然已經知道2 1 =1而非2。
當然，嚴格說來，這並不正確。我們現在知道令嬰兒驚訝的是，有一個洋娃娃突然出現，而他們之前全然不知。如果他們看到1 + 1 = 1，同樣會覺得驚奇。這時候他們的驚訝是一個洋娃娃不見了，而他們居然不知道。這是因為我們大腦中有一個部分追蹤記錄事物，像是什麼顏色、多大之類的。當我們專注在某個事物上時，我們會記錄那個事物，嬰兒也是一樣，因此他們會注意到某樣東西突然不見了或突然出現在他們確定之前並無東西的地方。
我們的腦子只能這麼詳細地記錄很少數量的東西，對嬰兒來說最多是3個，超過這個數目，他們就很困惑了。在一個實驗中，嬰兒需要從兩個東西中選擇一個。他的左邊是一個盒子，裡面有1塊餅乾。他們目睹餅乾放進盒子裡，因此他們知道是有1塊。他們右手邊的一個盒子裡有4塊餅乾，他們也看到餅乾被放入。那麼，他們會選哪一個盒子？他們會爬向哪一邊？
說也奇怪，他們並不是永遠選擇右邊的盒子。我們一般會認為能分辨1塊餅乾和3塊餅乾差異的嬰兒，應該能夠分辨1塊和4塊的差異，事實上並非如此。如果右邊的盒子裡有4塊餅乾，他們完全不清楚哪一個盒子的餅乾比較多，他們只是隨便的選。大腦中分辨小數目的部分超載了，於是放棄了。在22個月大之前，幼童並不能分辨1和4的差異。
22個月左右的突破性發展，不是因為大腦突然能夠同時處理四樣事物。成年人或許能夠做得到，但即便如此，同時追蹤四樣事物也是一種挑戰。我們並不知道究竟是什麼原因，或許是和語言有關。如果孩子的母語區分單數和複數，他們就能更快掌握1與4的差異。例如，日本的孩子要花較長的時間來分辨這種差異，因為日文中並沒有單複數的分別，但稍後他們就會追上。而說荷蘭語、德語的孩子，要花更長的時間學會比10大的數字；德文中，24讀成「四和二十」，而日文和英文一樣，讀成「二十和四」，這讓孩子在成長時，能夠明白數字如何進展。在法文就更困難了，九十讀成「四個二十加十」。
因此語言對數字學習相當重要，不過，最重要的還是分辨一個東西和多個東西，或許這就是孩童學會「一」這個詞含義的基礎。孩子們會順口溜的念著「1, 2, 3」等等，但是當你叫他給你一個玩具時，他就給你隨便一個數目的玩具，不管你教他一個一個的數了多少遍。
這就是我們如何由與生俱來的知識累積更多知識的方式。當我們學會了「一」的意思時，我們也學會了「二」就是「一和另外的一」。這一切之所以可能做到，最終還是因為我們大腦中管理小數量那部分的作用——非常方便，尤其是在學習準確數字上。在本章前面所介紹的文化中，大腦處理大數量的那個部分，更為重要。

第三章沒有數字的生活(摘錄)
在蔚藍的天空下，有個人正駕著船，沿著亞馬遜雨林心臟地帶的邁西河(Maici)順流而下。河岸上有個小部落，幾乎從未與外面的世界有過接觸。這個人每年都會來一次，希望帶回去盡可能多的巴西堅果、橡膠和其他的天然物產。他的船上照例滿載著威士忌、菸草，還有更多的威士忌，來做交易。
和皮拉罕人(Piraha)做生意是一種挑戰。他們和外界做了200年的生意，仍然只懂幾句葡萄牙語。幸運的是那已經足夠讓這個人得到自己想要的東西：價值不菲的巴西堅果和橡膠，其價格足以讓其他商人妒羨不已。然而，價格差異幅度極大...

導 引
讓我們回到從前吧。我目光呆滯地望著我的數學老師，數位黑板上有一串的公式，還有一條彎彎曲曲的線和幾條直線交在一起，就像每一個高中畢業班必修數學的學生，我得弄清楚這些公式和圖形的意思。為什麼？我的狀況是，我想念天文專業，那時候我並不知道自己太缺乏耐性，沒法子做好這件事。但是，如果我那時候就知道了，而且還知道最終我從事的工作幾乎完全用不上任何計算，又會如何呢？我在谷哥(Google)上鍵入下面的問題：數學有什麼用處？
谷哥給出的搜尋結果中第一個是一篇荷蘭日報上關於畢氏定理的文章，還有關於如何切割披薩的文章。有夠具體了，但這只顯示了數學的一個小小用途。沒有數學，我根本沒辦法用谷哥來找尋我那個問題的答案，也可能找到的答案根本和我的問題無關。像谷哥這樣的搜尋引擎，只有仰賴數學，才能發生作用。我的意思並不是指電腦靠0與1來運行，谷哥用了巧妙的數學來尋找與我的問題相關的答案。在1998年谷哥創始人謝爾蓋‧布林(Sergey Brin)和賴利‧佩吉(Larry Page)設計了這個方法之前，任何人在搜尋欄鍵入例如比爾‧柯林頓(Bill Clinton)時，得到的第一個結果會是一張他的相片和一則當日笑話。就算你在雅虎(Yahoo)上搜尋“Yahoo”，這個搜尋引擎本身不會出現在前面十個結果當中。好在這樣的事情不會再發生，我們得好好感謝數學。
然而今日很多人仍然有著和我高中時一樣的感覺；對他們而言，數學就是滿黑板難以理解的公式，離開學校後再也用不上。難怪很多人覺得數學根本不知所云，又毫無用處。事實卻非如此，數學在現代社會扮演很重要的角色，任何人的眼光如果能夠超越公式，數學要比我們認為的容易理解。谷哥選擇搜尋結果的方式正顯示出數學在我們日常生活中的影響力有多大，不管是正面還是負面的。像谷哥、臉書(Facebook)、推特(Twitter)一類的數位平台是可以強化現有的意見和觀點的。今日我們經常無可避免地要面對假新聞。所以會如此，一部分是由於這些平台運作的方式。如果我們了解這些網路平台如何強化我們的觀點，以及為什麼很難改變這些平台的運作模式，我們就能更好的打擊假新聞。
本書中，我想讓大家看看數學多麼有用。某種意義下，現在的我對數學已有更好的了解，我想針對的是年輕時的我，還有那些和我年輕時一樣，認為數學的計算困難，與生活無關，以及為了無須再碰數學而暗樂的人們。由於我已從事數學哲學的專業工作，常常思考數學如何發生作用以及我們如何學習相關知識，深知不管我們工作中是否用得上，它和我們的關聯深遠。數學不僅僅是公式而已，因此本書中甚少這類題材。如果你想解決某個特定的問題，公式是很有用的，但通常會分散我們對其背後數學想法的關注。
本書中，為了表明數學要比許多人認為的更加相關，而且更加易於理解，我探索了不同領域的數學及其背後的想法。這些數學領域的應用出奇的多，每個人都能明白，尤其當我們不需要考慮數學公式時。以圖論為例：如谷哥之類的搜索引擎，利用圖論來為搜尋的結果排序，它也可用來預測癌症病人對某種治療方式的反應，還可用來研究大城市中的交通流量。
我在本書中探討的其他現代數學領域：統計學和微積分，也是如此。這些課題背後的想法往往出乎意料的簡單，而且比你在學校學習時對它的認知，更加有用得多。幾乎每天在新聞中，我們都可見到統計以犯罪、經濟，政治方面的數據呈現。通常，我們並不很清楚這些數據的實際意義，它們又來自何處。一個世紀前人們已經有充分的理由，對統計數據誤導的危險發出警告。這些警告在今日尤為重要。
和圖論一樣，微積分用處極大，在我們不曾注意時，它已發展出各式各樣的應用。自從工業革命以來，它被用來改善蒸汽機的效率，讓汽車得以自動駕駛，建造高樓大廈等等。如果說有哪個數學領域改變了歷史，那就是微積分。
不過，在我詳細討論數學在現代社會的應用之前，我們先得回到太初之時。這不是說要找尋什麼歷史上複雜的結果，還是古老的數學家，而是探索人類歷史本身。我們每個人生下來就具備一定的數學技巧，就算沒有數學課程，我們也能存活下去。然而，歷史告訴我們，這些與生具備的技巧，在人類聚集而形成的群體變大時，就不夠用了。社會愈變愈大，終會變得不靠數學就無法運作的程度，於是我們得將注意力轉向算術和幾何。有一些文明仍然能夠不靠任何形式的數學而生存，但這些社會必須很小，例如他們沒有村落或城市。數學的抽象化對於很多事情都是必要的，例如社區組織、安全性、建造房舍及其他建築物、調節食物的供應等等。數學使得實際問題簡單化，讓我們更容易管理周遭的世界。
關於數學有什麼用處的問題不是只與數學相關的問題，而是哲學上的問題。這也是為什麼我在本書開始與結束的章節繞了個彎，談一下哲學。一直以來，數學哲學家並不在意什麼公式之類的，他們問的是數學是什麼，如何運作。這類問題有些還沒有答案，但是數學哲學的進展，已經足夠讓我們知道正確的答案會是什麼模樣。
然而，就像大多數的哲學問題一樣，你必須自行決定你對數學的看法，以及哪一個答案最適合你。還有你是否滿意目前對數學的使用方式。例如臉書的優點是否超越它的缺點？這個問題我留給你自己回答。與此同時，我會解釋，哪些數學會用在臉書之類的應用上，為什麼它們會造成我們現在所熟知的那些缺點，而那些缺點又為什麼無法只經由改變其背後的數學想法而解決。

導 引
讓我們回到從前吧。我目光呆滯地望著我的數學老師，數位黑板上有一串的公式，還有一條彎彎曲曲的線和幾條直線交在一起，就像每一個高中畢業班必修數學的學生，我得弄清楚這些公式和圖形的意思。為什麼？我的狀況是，我想念天文專業，那時候我並不知道自己太缺乏耐性，沒法子做好這件事。但是，如果我那時候就知道了，而且還知道最終我從事的工作幾乎完全用不上任何計算，又會如何呢？我在谷哥(Google)上鍵入下面的問題：數學有什麼用處？
谷哥給出的搜尋結果中第一個是一篇荷蘭日報上關於畢氏定理的文章，還有關於如何切割披薩的文...

導引
第一章 數學就在身邊
第二章 分離的世界
第三章 沒有數字的生活
第四章 很久很久以前的數學
第五章 到處都是變化
第六章 把握不確定性
第七章 心靈謎題
第八章 數學有什麼用
參考資料

導引
第一章 數學就在身邊
第二章 分離的世界
第三章 沒有數字的生活
第四章 很久很久以前的數學
第五章 到處都是變化
第六章 把握不確定性
第七章 心靈謎題
第八章 數學有什麼用
參考資料