追本數源：你不知道的數學祕密

HPM的最佳伴手禮：推薦蘇惠玉的《追本數源》

蘇惠玉老師出版這本HPM專書，較之於我自己的著作出版，我的雀躍與期待絕對是有過之而無不及。這種心情就好比看到年輕後輩終於獨當一面一樣，因此，我想藉此機會欣然分享二十幾年來，開拓HPM這個新興學門的價值與意義。

所謂HPM，原是指一個國際研究群International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，後來，逐漸演變成為一個學門的簡稱。這個學門的主旨，是為了探索數學史與數學教學的關連。事實上，就學門的分類來說，它是橫跨數學史與數學教學（研究）的一門新興學問，也因此，它的理想目標要是連結到數學教育的現實，無非是數學史與數學教學的研究結果之互惠。

HPM與我的直接關係要從一九九六年談起。當年夏天，我前往葡萄牙參加HPM 1996 Braga。那是四年一度的ICME(International Congress on Mathematics Education)之衛星會議，在會場我得以認識John Fauvel（英國數學史家）與Jan van Maanen（荷蘭數學史家），他們分別是1996−2000、2000−2004年間的HPM主席。由於下一屆ICME 2000即將在東京舉行，所以，他們希望我承辦HPM 2000。這是HPM的國際慣例，顯然大家都希望ICME與HPM分別在鄰近國家舉行。或許是基於數學史同行的某種默契吧，我沒有經過太多考量就承擔下來。

我當年所以決定接手，多半由於我年少時的數學普及夢想所引發的數學史研究志業。記得我在1981年出版的《中國π的一頁滄桑》自序中，就特別引述數學史家Morris Kline懷抱HPM精神的證詞：「循著歷史的軌跡介紹數學，這種方式是獲得理解、深入體會的最佳途徑。」現在，既然有這種機緣籌備此一盛會，就當作一種HPM實踐吧。另一方面，我有把握屆時好多學生可以提交學術報告，撐起在地的所謂「主場優勢」，同時他們也會樂意擔任HPM會議的志工。事實上，我的學術生涯最值得驕傲的一件事，就是在1991年榮獲科學史博士學位之後，有幸指導相當多位非常優秀學生（如蘇惠玉等人）撰寫數學史相關論文，他們大都從大四開始選修我開授的「數學史課程」，因而深深地被這門學問所吸引。

西元兩千年七月，HPM 2000 Taipei如期舉行，也如預期地博得好評。不過，在所有的行政資源支援中，最具有意義的一項，就是我也從當時的國科會獲得些許補助，得以創辦《HPM通訊》1，藉以推動在地的HPM，並分享HPM的研究成果以及相關資訊。至於這個刊物的主編，就邀請蘇惠玉擔任，從1998年10月一直到今天，她可以說是臺灣HPM的永遠志工。

由於惠玉的堅持與慧識，這份小眾刊物維持了我們臺灣HPM伙伴的學習動能。近二十年來，我們在數學史研究與HPM上的實踐，都在這個通訊上留下了珍貴的點點滴滴。業師道本周(Joseph Dauben)甚至以「通訊團隊」稱呼我們這一組數學史的愛好者。事實上，有許多伙伴都是由於惠玉的不時敦促，而在這個刊物上留下深具紀念性的文章，其中，當然包括惠玉本人的長期耕耘成果。

這些成果的精緻版本，其中就有部分收入這本《追本數源》。全部的這二十七篇「你不知道的數學祕密」，大致可分為四類。在這四類中，第一類所包括的單元（第1−15篇）有：

(1)數學概念：無理數、虛數、對數、費式數列、黃金分割比、

向量（含複數）、巴斯卡三角形（含巴斯卡傳記）；

(2)數學公式：餘弦定律、海龍公式、歐拉最美的數學公式；

(3)數學理論：三角學、圓錐曲線、機率初步；

(4)數學方法：數學歸納法、三次方程式解法（及優先權之爭辯）、高斯消去法的預備。

其中，〈機率初步〉（第9篇）可以「抽出」與〈機率論發展的第二樂章〉（第19篇）及〈統計學的興起與發展〉（第20篇）並列，合為第二類。另外，第16−18篇主題都是天文學的數學模型，可單獨成為第三類。至於第22−27篇等六篇，則是有關微積分的故事，我將它們歸屬為第四類。

（我的）上述分類多少忽略了年代學因素，不過，如此會比較方便我們推薦這些材料作為「特定的」教學用途。基於此一考量，首先，我要鄭重推薦第二類，因為在這三篇文章中，惠玉從數學史切入，為我們呈現了機率與統計之關係的一個簡要輪廓，譬如，她評論說：「當數學家由觀察事件發生的機率，推論事件真實機率的近似值時，就需要用到統計了。」這對於想要釐清所謂的「統計思考」之意義的老師（譬如我自己）來說，尤其是不可多得的參考教材。

另一方面，第四類文章可充當微積分特色課程之教材。惠玉從有關無窮概念的問題談起，總共處理了它們的三個面向：芝諾悖論(Zeno paradox)、潛在無窮與實在無窮（之對比），以及不可分量(indivisible)與無窮小量(infinitesimal)。然後，再以另三則故事來說明微積分的誕生，其中涉及數學家除了牛頓與萊布尼茲之外，還論及沃利斯(Wallis)及費馬所扮演的過渡角色。不過，最重要的數學史洞識，莫過於她引述數學史家凱茲(Victor Katz)的見解，說明何以我們會將牛頓與萊布尼茲並列為微積分的發明人。這對於喜歡「提問」並「告知」「誰率先發明○○○？」的人來說，頗有醍醐灌頂之功！因為唯有深入（知識的及歷史的）脈絡，我們才能判斷此類提問是否恰當？或者，即使問題有意義，是否還適合簡單的回答？

再有，本書第三類文章針對「西方歷史上的數學與天文之關係」，提出了非常詳盡的解說與圖示。惠玉深入相關原典史料所進行的論述與敘事，說明她打算為這一類特色課程，提供一個相當前瞻的參照，讓高中教師同行借鏡。她的故事始於托勒密的《大成》，經歷哥白尼天文學革命，終於克卜勒的行星三大運動定律。針對克卜勒最終發現橢圓的天文（物理）意義，惠玉給了十分動人的評論：「如果當初克卜勒沒能打破一千多年來對圓形軌道在哲學、美學與宗教上的『盲目』信念，或許我們現在還體會不到這個宇宙簡單、純粹與和諧之美。」

最後，我們回到本書第一類文章。這一類所涉及的，都是HPM「曝光率」最高的單元。也因此，這些故事要說得別出心裁，尤其需要數學史、HPM的素養與功力，甚至是數學知識本身的洞察力。譬如說吧，惠玉在〈有意思的餘弦修正項〉（第11篇）一文中，針對畢氏定理vs.餘弦定理之對比，就提出了非常有趣的觀察：「一般定理的出現都有其脈絡，當數學家們發現了直角三角形三邊所作的正方形有著畢氏定理這樣的關係時，接下來感興趣的課題自然而然就是非直角三角形時是否保持一樣的關係？或是要作如何的修正？從特例到通例，從熟悉的已知推廣到未知，餘弦定理的出現脈絡為數學定理的發現做了個很好的示範。」

還有，在〈圓錐曲線的命名〉（第15篇）一文中，對比高中數學教材僅從代數面向來看待拋物線、橢圓與雙曲線，惠玉從「問題的起源、名稱的由來以及表徵方式」，重新考察這三個曲線，從而進一步發現「正焦弦」在「徒然」計算之外的重大意義。原來這個線段的長度，都出現在阿波羅尼斯圓錐截痕(conic sections)的表徵之中。因此，針對圓錐截痕的不同定義方式，她明確指出：「仔細觀察就可發現它們都有個相同不變的形式，那就是相等（parabola，拋物線）、超過（hyperbola，雙曲線）與短少（ellipse，橢圓）。藉由這個因性質而起的名字由來，圓錐截痕（圓錐曲線）的觀念得以整合成一體，而不再只是零碎的三個不相關曲線而已。」

這個有關正焦弦的故事，在數學與數學史兩方面都深具洞識，是數學教師專業發展中不可多得的範例。惠玉在《HPM通訊》發表後沒多久，我在MAA所發行的Convergence線上期刊上2，也發現類似的論述，「德不孤必有鄰」，充分見證惠玉乃至於臺灣團隊伙伴的HPM之國際化視野。

總之，無論從教師專業實作成果，或是數學史甚至是HPM研究來看，本書都忠實地反映作者的深厚學養。它字字珠璣，筆調溫暖，而且洋溢著數學知識活動的練達反思。所有這些，都保證了它的HPM跨界（譬如國界）可能性。因此，本書將是HPM的最佳伴手，也是HPM伙伴獻給臺灣數學教育界的最佳禮物。透過它，我們一定可以想像數學教育的更美好未來！

洪萬生

國立臺灣師範大學數學系退休教授

2017年11月寫於木柵仙跡巖末端

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1 http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/hpmletter.htm。

2 MAA是Mathematical Association of America的縮寫。Convergence是由這個團體所發行的HPM期刊。

HPM的最佳伴手禮：推薦蘇惠玉的《追本數源》

蘇惠玉老師出版這本HPM專書，較之於我自己的著作出版，我的雀躍與期待絕對是有過之而無不及。這種心情就好比看到年輕後輩終於獨當一面一樣，因此，我想藉此機會欣然分享二十幾年來，開拓HPM這個新興學門的價值與意義。

所謂HPM，原是指一個國際研究群International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，後來，逐漸演變成為一個學門的簡稱。這個學門的主旨，是為了探索數學史與數學教學的關連。事實上，就學門的分類來說，它是橫跨數學史與數學...

我是一個高中數學教師。在教師工作的同時，我把數學當成興趣在參與著。在臺師大數學系就讀期間，前三年只覺得數學是一門非常符合邏輯的學科，這種理性、工整的美感讓我學習得相當愉快。不過大四時修習的〈科學教育〉與〈數學史〉這兩門課卻完全讓我進入了另一個世界。洪萬生老師的課真的不輕鬆，這輩子第一次感受到學習不足的焦慮，數學史的書念得不夠多，知道的太少，找不到看問題的角度等等，每一次上完課都激勵自己要發憤圖強，要花更多時間在相關書籍的閱讀上，雖然上課很焦慮，卻也是我當時學習動力的來源。

從研究所畢業進入高中教書之後，參與過許多數學史應用在教學上的相關研究與計畫，也將這些成果實地應用在教學上。二十年之後，我對這個領域投入的熱情似乎沒有減少，堅持的信念也沒有改變，亦即利用數學史與相關的媒介讓學生對數學有興趣，以及幫助學生的數學學習。時間流逝的同時，教學現場的氣氛與方法也跟著變化，數學史應用在教學上也有了不同的方向。因應新課綱即將實施的數學教學，數學史的應用彷彿有了新的生命力一般，近幾年發展得更加蓬勃。教書經驗的累積以及持續參與的研究與工作計畫，讓我感覺有如「神功附體」，可以有不同的課程設計以因應多元特色課程的開課需求，甚至有能力將這樣的設計推廣給其他數學教師使用。

這本書的寫作動機，源自於多年前和同學討論的一個想法，希望將高中數學課程中相關的數學史內容作完整的介紹。幾年過去之後，我們還是忙碌的生活著，似乎湊不出時間將計畫付諸實現。前幾年剛好有出版社希望我寫一些跟高中數學相關的閱讀素材，可以讓他們放在網路上供師生閱讀使用，這項工作變成我完成這本書的重要契機。雖然本書的內容皆與高中課程有關，可以配合相關單元內容閱讀，當成是高中數學的輔助材料來學習；不過我將數學放在脈絡化的情境中來敘述，即使數學不是很懂，也可從脈絡中來閱讀數學故事，認識數學知識在發展過程中，關於「人」的面向如何產生決定性的作用，讓你感受理性的數學中充滿人類感性的一面。同時，本書的內容也可以當成多元選修課程的素材，在高中數學相關的選修課程中，作為輔助課程學習的教材，在課本生硬的學習過程裡，增加一點動機、連結與趣味。

如果拿掉數學史的相關寫作，我跟普通的女老師沒有兩樣，在學校繁重的班級經營與授課業務之餘，會將剩餘的一點精力與時間拿來與同事喝下午茶、看美日韓劇，靠著這種全臺灣上班族認同的小確幸努力生活著。然而因為對數學的興趣與熱愛，我選擇了將剩餘的時間做最有效的利用，全心全力地思考著數學史素材可以怎麼使用在教學現場，然後再將它從我的腦子裡組織出來變成一篇篇的數學史相關故事與教案設計。有時候工作壓力很大，時間很少，不過我一直警惕自己，不可以忘了身分，我是學校的數學教師，一切以學校工作為優先，這麼多年努力在工作與休閒之間平衡著。這本書的出版是我自許是個文藝青年時的夢想實現，特別感謝恩師洪萬生教授帶領我進入這個圈子，這麼多年持續的指導與愛護。這本書也記錄著我這幾年來閱讀研究的歷程，希望透過這本書分享我對數學的熱愛，可以不是數學老師也能感受到數學的奇妙樂趣。

蘇惠玉

2017年10月

我是一個高中數學教師。在教師工作的同時，我把數學當成興趣在參與著。在臺師大數學系就讀期間，前三年只覺得數學是一門非常符合邏輯的學科，這種理性、工整的美感讓我學習得相當愉快。不過大四時修習的〈科學教育〉與〈數學史〉這兩門課卻完全讓我進入了另一個世界。洪萬生老師的課真的不輕鬆，這輩子第一次感受到學習不足的焦慮，數學史的書念得不夠多，知道的太少，找不到看問題的角度等等，每一次上完課都激勵自己要發憤圖強，要花更多時間在相關書籍的閱讀上，雖然上課很焦慮，卻也是我當時學習動力的來源。

從研究所畢業進入高中教...

《鸚鵡螺數學叢書》總序 i
推薦序 v
序 x

篇1 無理數的祕密 1
篇2 無法捨棄的 8
篇3 數學武林地位爭奪戰──三次方程式公式解的優先權之爭 15
篇4 拯救數學家壽命的發明 21
篇5 歷史悠久的兔子家族與最美的比例之關係 29
篇6 美妙的費氏數列與黃金分割比 36
篇7 數學歸納法的時光之旅 48
篇8 巴斯卡其人其事 58
篇9 機率初步 66
篇10 三角學之開端 73
篇11 有意思的餘弦修正項 81
篇12 海龍公式大解密 90
篇13 從複數到向量──一段奇妙之旅 98
篇14 高斯消去法之前 109
篇15 圓錐曲線的命名 121
篇16 天文學中的數學模型Ⅰ──托勒密的本輪勻速點模型 133
篇17 天文學中的數學模型Ⅱ──哥白尼的日心模型 143
篇18 天文學中的數學模型Ⅲ──克卜勒的行星運行模型 151
篇19 機率論發展的第二樂章 164
篇20 統計學的興起與發展 177
篇21 歐拉與最美的數學公式 189
篇22 關於無窮的問題Ⅰ—芝諾悖論 203
篇23 關於無窮的問題Ⅱ──潛在無窮與實在無窮 211
篇24 關於無窮的問題Ⅲ──不可分量與無窮小量 222
篇25 微積分誕生的故事Ⅰ──沃利斯與費馬 235
篇26 微積分誕生的故事Ⅱ──艾薩克‧牛頓 252
篇27 微積分誕生的故事Ⅲ──萊布尼茲與優先權之爭 268

參考文獻 284
圖片來源 291

《鸚鵡螺數學叢書》總序 i
推薦序 v
序 x

篇1 無理數的祕密 1
篇2 無法捨棄的 8
篇3 數學武林地位爭奪戰──三次方程式公式解的優先權之爭 15
篇4 拯救數學家壽命的發明 21
篇5 歷史悠久的兔子家族與最美的比例之關係 29
篇6 美妙的費氏數列與黃金分割比 36
篇7 數學歸納法的時光之旅 48
篇8 巴斯卡其人其事 58
篇9 機率初步 66
篇10 三角學之開端 73
篇11 有意思的餘弦修正項 81
篇12 海龍公式大解密 90
篇13 從複數到向量──一段奇妙之旅 98
篇14 高斯消去法之前 1...