千古圓錐曲線探源

《鸚鵡螺數學叢書》總序   i
推薦序   v
序　文   ix
楔子：本書的源起   xiv
 
第1章　歐氏曲線   2
1.1　坐標與向量   4
1.2　直線與圓的方程式   12
1.3　空間中直線方程式   29
1.4　圓周率、圓的周長與面積   32
1.5　直線與圓的交響曲   36
 
第2章　圓柱曲線   42
2.1　什麼是圓柱曲線   44
2.2　圓的三種刻畫   49
2.3　橢圓的兩種刻畫   54
2.4　圓與橢圓的關係   62
2.5　兩個應用例子   69
 
第3章　圓錐曲線   74
3.1　什麼是圓錐曲線   76
3.2　截痕觀點   81
3.3　焦點觀點   87
3.4　焦準觀點   94
3.5　極坐標方程式   108
3.6　阿基米德與圓錐曲線   113
 
第4章　二次曲線   118
4.1　圖形與方程式   120
4.2　坐標軸的平移與旋轉   128
4.3　二次方程式的標準化   156
4.4　二次曲線的切線與法線   165
4.5　Pappus定理與Pascal定理   174
 
第5章　圓錐曲線的應用   186
5.1　牛頓運動學   188
5.2　拋體運動   193
5.3　反射與光學性質   198
5.4　天體的運行軌道   209

推薦序

　　本書以圓錐曲線為核心主題來開展，內容從歐氏曲線，到圓柱曲線，再到圓錐曲線，最後總結於解析幾何的二次曲線以及各種物理應用，不斷地動態生長連貫擴展，觀念清楚，邏輯的層次井然。

　　古希臘數學約從西元前600年開始，經過三百年的發展，在西元前300年左右於尼羅河出海口的亞歷山卓(Alexandria)成熟，形成希臘數學的黃金時代(the golden age of Greek mathematics)，最主要的代表人物是三位偉大的數學家：歐幾里得（Euclid，約西元前315～前255年）、阿基米德（Archimedes，西元前287～前212年）與阿波羅尼奧斯（Apollonius，約西元前262～前190年）。

　　歐幾里得在約西元前300年寫了13冊的《原本》(The Elements)，創立歐氏幾何學，首度提出公理—演繹的模型(Axiomatic­Deductive Model)，成為往後數學理論的典範。《原本》的內容包括平面幾何、比例論、整數論、不可共度量的分類與立體幾何。他採用綜合的證明方法推導出467個定理，總結了古希臘的數學成就。

　　阿基米德求得圓、拋物弓形的面積，估算圓周率，求柱、錐、球的體積與表面積。他採用窮盡法，配合兩次歸謬法，成功地避開取極限的無窮步驟論證法，這讓他悄悄地來到微積分的大門口，只差臨門一腳的功夫，因而被尊稱為數學之神的阿基米德，但仍然是受到他所處時代的局限。

　　阿波羅尼奧斯著有8卷的《圓錐曲線論》，也採用綜合的證明方法推導出487個定理。這也是一項了不起的成就，讓他贏得「偉大幾何學家」的美名。

　　埃及的托勒密國王問學於歐幾里得，覺得幾何學不易學習，於是問道：學習幾何有沒有捷徑？歐幾里得回答說：世上有專為國王而鋪設的道路，但卻沒有皇家大道通往幾何學。歐氏的綜合演繹法是有局限的，無法施展數學另外半邊的計算功能。一直要等到兩千年後的十七世紀上半葉，笛卡兒（Descartes，1596～1650年）與費馬（Fermat，1601～1665年）提出坐標系的方法，溝通了代數與幾何，後人稱為這就是幾何學的皇家大道，為往後的微積分與物理學奠基。用坐標的新方法重新看圓錐曲線，於是有了二次曲線的理論，更加完備又完美。

　　圓錐曲線的理論，從阿波羅尼奧斯開始，默默為數學與科學打底兩千年。我們可以說，若沒有圓錐曲線，就沒有克卜勒（J. Kepler，1571～1630年）的行星運動三大定律，也沒有微積分，從而沒有近代科學，沒有近代的數學。

　　首先我們綜觀全書的內容，按歷史發展的順序，分成下列四個階段：

　　1.歐氏曲線
　　歐氏平面幾何由直尺與圓規所作出的直線與圓開始，兩者交織出來的圖形世界，是歐氏幾何學研究的主題。我們稱為歐氏曲線，有2種。這是歐氏首度以公理—演繹—證明的方式建構成功的數學系統。雖然簡單，但是內容豐富。

　　2.圓柱曲線
　　接著，用直線與圓動出圓柱曲面，再用平面去交截，所得到的曲線叫做圓柱曲線，總共有4種：一直線、兩平行線、圓與橢圓。只有橢圓是新生的圖形，容易就得到它的刻畫條件。前兩者為退化的圓柱曲線。

　　3.圓錐曲線
　　再來是用直線與圓動出圓錐曲面，再用平面去交截，所得到的曲線叫做圓錐曲線，更豐富，總共有7種：一點、一直線、兩相交直線、圓、橢圓、拋物線與雙曲線。後四種為非退化的圓錐曲線，是我們真正想要研究的對象，分別都得到它們的刻畫條件。注意到，圓柱曲線下的橢圓與圓錐曲線下的橢圓，刻畫條件相同，所以沒有區別。
　　對於非退化的圓錐曲線至少有三種刻畫，有了一種刻畫就可以寫出一種方程式，讓圖形與方程式合一，計算與證明並用。

　　4.二次曲線
　　利用坐標幾何，以上所有的曲線都可以用一般的二元二次方程式統合起來，總共有10種曲線，簡稱為二次曲線，其中非退化的情形仍然只有圓、橢圓、拋物線與雙曲線。
　　代數方程式的統合力雖然超強，但是也帶來了一些麻煩。同一個圖形，因取的坐標系不同，方程式的表現就不同，所以就有標準形。一個二次方程式透過坐標系的平移與旋轉，就可以變成標準形，從而判別出是何種圖形。這裡會牽涉到一點兒線性代數。

　　5.圓錐曲線在物理上的應用
　　最後一章談論圓錐曲線在物理上的應用，主要是光學的應用，反射定律與折射定律，以及天文學的克卜勒行星運動三大定律。這是牛頓（Newton，1643～1727年）探得萬有引力定律的切入點。事實上，任何一條圓錐曲線（包括退化與非退化）都有自然現象的對應。

　　伽利略（Galileo Galilei，1564～1642年）說：
　　自然之書(Book of Nature)恆打開在我們的眼前，它是用數學語言寫成的，所用的符號是三角形、圓形與其他幾何圖形。不懂數學就讀不懂這本書。

　　幾何學(Geometry)的本意是測量土地，三角學(trigonometry)是測量三角形，所以最初三角學是幾何學的幫傭。幾何學不外是研究長度、角度、垂直、投影、切線、面積、體積、表面積。對於圓錐曲線的研究，一路上伴隨著數學方法的演進：從毆氏幾何的綜合法，三角法，到笛卡兒的坐標法，以及更後來的向量法、複數法、變換法。坐標系還分成直角坐標系與極坐標系，都各有優點，這些本書都用心加以呈現。

　　本書把圓錐曲線與二次曲線的概念清楚分辨，沒有混著談。高中教科書對橢圓與雙曲線採用焦點距的定式，對拋物線卻採用焦準式，並且一上來就給出定義，就像魔術師突然從帽子裡抓出小白兔。然而，本書從根源切入圓錐曲線，讓人看清來龍去脈，這是難能可貴處。本書最特別的是，具有有歷史的長程綜觀，還有方法論的連貫。

　　作者任教於成淵高中，對數學執著，帶領科展屢創佳績，拔得頭籌。本人樂於推薦本書給中學生與高中數學教師研讀。
序文

　　希臘人堅持演繹推理是建立數學證明的唯一方法，這是對人類文明最重要的貢獻，它使數學從木匠的工具盒，測量員的背包中解放出來，使得數學成為人們頭腦中的一個思想體系。此後，人們開始靠理性，而不只是憑感官去判斷事物。正是這種推理精神，開闢了西方文明。

　　～美國數學史家莫里斯˙克萊因（Morris Kline，1908～1992年）～

　　一般數學史的書都說幾何學發源於埃及尼羅河畔的土地測量，所以說尼羅河是上天賜給埃及的禮物，幾何是尼羅河賜給人類的禮物，但是本書要指出「燦爛星空」才是幾何學更重要的發源地。

　　自古以來人類仰頭看星空，就有了無垠的想像，看那繁星點點，流星稍縱即逝，月亮是圓的。

　　依序就是「點」、「直線」、「圓」的源起之一，是歐氏幾何學的出發點。

　　到了古希臘時代，人類不再「坐井觀天」，開始窮究「所以然」，提出深奧的問題，並且找尋結果。在短短300年期間，以簡單的點、直線、圓作為基本概念，透過演繹法建立整個幾何學，得到相當卓越的成就。後人說：

　　幾何源於古希臘，天文是幾何的故鄉。

　　這是適切中肯的。

　　本書聚焦於探索圓錐曲線的來龍去脈。目前實施的103高中數學課綱，圓錐曲線屬於弱化單元，僅是簡單陳述圓錐曲線就是平面與圓錐曲面的截痕，甚至真正教學時直接給出焦點以及準線定義，然後就推導出其方程式，得到的知識只是「知其然」，而不知其「所以然」，學生學習起來是既無趣又無聊。

　　圓錐曲線源於古希臘文明，作者本著古希臘人追根究柢以及實事求是的精神，希望道出「圓錐曲線」的所以然，並且著重在闡明數學本身的理路，而不完全在於歷史的考據。

　　事實上，數學是研究數與圖形的學問。算術與代數研究數，幾何學研究圖形，表面上看起來兩者很不同，但是骨子裡卻相通。一個重大的突破是，透過笛卡兒（Descartes，1596～1650年）引入的坐標系，發展出解析幾何學（又叫做坐標幾何學），讓數與形合一。

　　此外，在本書中我們要採取各種觀點來連貫全書的內容：動態、運動、脹縮、變換、……等觀點，使得幾何成為連貫的整體知識，這些正是本書的特色。而解析幾何學的誕生，提供研究行星運動和彗星軌道的數學基礎，萌生微積分與自然科學，打開了通往近代數學與科學的大門。

　　作者任教高中，除了致力於教學之外，最近八年來更投入數學課程的研究，特別獨鍾幾何學的魅力。如今有幸完成這本幾何書，並且編入鸚鵡螺數學叢書裡，內心是歡喜又感激。寫作如走千山萬水，有困頓與喜悅，也有迷惑與甜蜜，只要堅持著、努力著，終究會豁然開朗，痛飲快樂的甘泉。

　　現在的中學數學教育太著重於「零碎解題技巧」以及「不經慎思只求快速解答」的學習文化，常常忽略培養嚴謹推理能力以及探索幾何內在結構之美，更是失去以簡馭繁的數學創新思考歷程。希望這本書的出現，能帶給中學師生一些鼓舞與啟示。

　　此外，讓我們共同窺探大自然的「秋葉」，歌頌著幾何之美～數感、形感、規律感以及美感。

　　在真實的寫作情境裡，作者體悟英國數學家齊斯˙德福林(Keith Devlin)所說：數學讓不可見變成可見。

　　這是一連串建構知識的歷程，不僅讓自己提升專業知能，更可貴的是源源不絕的點子萌生，觸動內心不絕的思緒，激盪著且共鳴著，願永遠追隨數學的足跡。

　　最後，致上誠摯的感謝於默默支持與鼓勵的家人、朋友以及編輯者，特別感謝主編蔡聰明教授不辭辛苦的指導及鼓勵，提供更寬廣的數學視野，除了受益無窮外，更是注入了數學的活水，歌頌著這永恆的理性。