數學拾穗

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數學拾穗

出版日期：2019-01-31

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圖書名稱：數學拾穗

圖書簡介
2019臺北國際書展
「俯拾即數－－《數學拾穗》新書發表會」
2/13　13:00~14:00　世貿一館　青春沙龍

#蔡聰明教授最新力作 #數學拾穗 #俯拾即數
#拾穗、拾貝…下一本是拾…
#生日過後就11歲了嗎?
#越看越聰明?!越玩越聰明?!
#畢達哥拉斯 #歐氏幾何 #音樂與數學 #費瑪最後定理
#醉月湖面積 #消失的5瓶飲料在何處? #0.999…=1?

本書收集蔡聰明教授近幾年來在《數學傳播》與《科學月刊》上所寫的文章，再加上一些沒有發表的，經過整理就成了本書。
全書分成三部分：算術與代數、數學家的事蹟、歐氏幾何學。

找到一個觀點將一些數學的公式或定理統合起來，這是數學的妙趣之一。

數學的疑惑一則

0.999…<1? 0.999…=1?
這個問題雖然微不足道，但在探討過程中可以幫忙澄清許多數學概念與方法，包括自然數系、數學歸納法、極限、實數系的完備性…

一個數學益智問題

假設一瓶飲料20元，2個瓶蓋可換1新瓶，4個無蓋空瓶也可換1新瓶，請問200元最多可以喝到幾瓶的飲料？

答：理論值為40瓶，而實際上總共可喝35瓶，消失的5瓶在何處？

薛西弗斯的巨石

費瑪最後定理，彷彿是希臘神話中薛西弗斯推動的大石頭，點燃了許多數學家的雄心壯志，
結果都發現有漏洞，甚至證明是錯誤的，於是大石頭又滾回原點。費瑪最後定理是何方神聖？為何這麼吸引人？

音樂與數學

數學的抽象讓人怯步，但音樂與數學卻有密切的關連。
畢達哥拉斯發現兩音的和諧與弦長成簡單整數比有關。畢氏音階是如何定出呢？怎麼用數學解釋泛音之謎呢？

從畢氏學派的夢想到歐氏幾何的誕生

在數學史上，歐氏幾何是第一個公理化的知識系統，由定義與公理出發，推導出一系列的定理。
然而，公理是怎麼得來的呢？為什麼要選取這樣的公理？

幾何的五合一定理

畢氏定理堪稱為「四最定理」：「證明」與「名稱」最多，「最美麗」的公式之一，
也是基礎數學中「應用最廣泛」的定理，畢氏定理更是幾何學的核心。

本書證明五個幾何定理是等價的：
(1)畢氏定理　(2)畢氏逆定理　(3)三角形的餘弦定律　(4)圓內接四邊形的餘弦定律　(5)托勒密定理

數學公式或定理都不是孤立的，而是處在知識網中的某一個連結點上，
要透過推理、類推、歸納、推廣、特殊化等的方法論來編織成知識網。
這個知識網要不斷地錘鍊、更新、整合、延拓，以作為吸納新知的根據地，就像蜘蛛結網捕捉獵物一般。
比起孤立地背記一個公式，一次學習一堆相關的公式不但更有趣，而且還可收到事半功倍的效果。
支離破碎的知識只是背記的負擔，只有連貫的知識才能得到真實的理解與了悟之樂。
作者簡介
一生在臺大數學系從事數學研究與數學教育，最喜愛數學、物理學、哲學與詩。目前已經退休。
平時喜愛旅遊、登山健行、打網球以及從事普及數學的寫作。
雖然寫作是快樂中有辛苦，甚至是甜蜜中有痛苦，但是仍然樂此不疲。
衷心的願望是：幫助年輕學子也喜愛數學，體驗數學的妙趣，並且扭轉他（她）們普遍對數學是面目可憎的刻板印象。
序
筆者收集近幾年來在《數學傳播》與《科學月刊》上所寫的文章，再加上一些沒有發表的，經過整理就成了本書。
全書分成三部分：算術與代數（共有5章）、數學家的事蹟（共有5章）、歐氏幾何學（共有7章）。

本書最長的一篇是第11章〈從畢氏學派的夢想到歐氏幾何的誕生〉，
嘗試要一窺幾何學如何在古希臘理性文明的土壤中醞釀到誕生。
最不一樣的一篇是第9章〈音樂與數學〉，也是從古希臘的畢氏音律談起，
把音樂與數學結合在一起，所涉及的數學從簡單的算術到高深一點的微積分。
其它的篇章都圍繞著中學的數學核心主題，我們特別著重在數學的精神與思考方法的呈現。

本書的讀者對象是高中學生以及對數學特別有興趣的國中學生。
這些學子讀數學要有很清楚的脈絡，拿起教科書仔細讀，把道理讀清楚，想明白，習題都做了（務必要自己想出來）。
這樣就有了最基本的基礎，然後再去作加深、拓廣以及連結的工作。

教科書有其客觀條件的限制，常有無法說清楚或難以發揮的地方，這就需要有相關的補充讀物。
在世界各先進國家，優秀的補充讀物都很充足，甚至寫得比教科書還要有趣且豐富。
我們希望本書也能夠扮演這樣的角色，對學子學習數學有所幫助。

數學的發展，從常量到變量，從有窮到無窮。事實上，數學是研究無窮的學問(the science of infinity)。
它有幾個面向：內容、方法與意義。數學的內容基本上是：數、方程式、函數、圖形與空間的五合一。
這平行類推於現代人類追求：自由、民主、法治、人權、公義的五合一。
大自然把她的祕密以這五種形式隱藏起來，要探索大自然的祕密就要學習這五者。
因此，從小學、國中、高中到大學的數學教育就是學習這五者，不斷地加深與拓廣，
同時也不斷引入新方法與新觀點，讓數學這棵數千年的神木不斷地生長與茁壯。
數學有內在結構之美與外在應用到大自然與宇宙之神奇。

數學是一部最精純的方法論。從比較大域來看有：算術方法（算術四則運算及其應用），代數方法（代數學），
轉化方法（解析幾何，坐標系），向量方法（用向量的四則運算來做幾何），局部化方法（微積分）。
從局部來看有：觀察與歸納，大膽猜測，分析與綜合，類推，推廣與特殊化，…等。
這一切的演繹所用到的三個法寶是：計算、邏輯推理與想像力。

在中學數學裡我們學到的不外是下列的運算：＋、－、×、÷、開方、指數、對數、歐氏算則（即輾轉相除法）、
高斯算則（解一次聯立方程組的消去法）、向量四則（向量的加法、係數乘法、內積與外積）、行列式、矩陣、極限、微分、積分。
有運算就要遵循運算的規則，邏輯推理與計算讓數學變成最精確的學問。

數學大致有下列四個層面：

1. 日常生活的實際應用。基本上這只涉及四則運算而已。

2. 訓練思考，包括計算、邏輯推理、條理清晰與層次井然的組織知識。

3. 探索宇宙、大自然與生命的奧祕，數學是不可或缺的最佳語言。

4. 數學知識結構本身的嚴謹與完美，作為真理的典範（為真理而真理），這有如藝術的經營。

一般人所見的數學僅止於第1層面，這是最淺顯的部分。能夠同時見到第1與第2層面者已屬更上一層樓。
事實上，第3與第4層面才是數學家工作的核心，有如藝術般真正讓數學家、物理學家與哲學家著迷於數學的所在。

在這個資訊昌盛的時代，科技、衛星、電腦與手機都要靠數學來運作，
所有訊息、圖像與影音都用0與1來編碼與傳遞，數字瀰漫在空氣中。
「數學教」的教主畢達哥拉斯，提出「萬有皆數與調和」、「數統治著宇宙」，確實是具有深刻的洞見。

期望本書能夠給讀者帶來啟發的時光。
目次
《鸚鵡螺數學叢書》總序
序　言
第1篇　算術與代數
01　數學發現的樂趣
02　萬有皆整數
03　數學的疑惑一則
04　一個數學益智問題
05　兩個多項式的插值公式

第2篇　數學家的事蹟
06　數學家艾迪胥
07　薛西弗斯的巨石
08　蓋爾芳德論數學
09　音樂與數學
10　數學嘉言錄

第3篇　歐氏幾何學
11　從畢氏學派的夢想到歐氏幾何的誕生
12　幾何的尺規作圖問題
13　三篇方法論的啟示
14　幾何的五合一定理
15　畢氏定理的兩個推廣
16　幾個常用的不等式
17　用行列式統合幾個幾何量