數思漫想――漫畫帶你發現數學中的思考力、邏輯力、創造力

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臺灣數學史教育學會理事長

洪萬生

這是一本蠻獨特的數學普及書籍。一方面，作者寫作兼插畫（或創作漫畫），將他自己對於抽象數學的理解發揮得淋漓盡致。另一方面，他的論述與敘事似乎也無意討好「嗜讀」數學的「文青」，而鋪陳一些了無新意的數學知識活動。

這或許多少可以解釋作者何以一開始就企圖說明「什麼是（現代）數學？」他的答案以及在本書中的相關書寫，都呼應了多位數學家／數學普及作家（譬如史都華（Ian Stewart）、德福林（Keith Devlin）的看法，亦即「數學是（探索）模式的科學」（the science of patterns）。因此，（抽象）數學結構的美之呈現，正是本書的題旨，而這當然也區別了本書與許多數學普及書籍的風格。事實上，作者在自序就強調：「本書意圖針對具有不同數學能力的讀者，旨在幫助這些讀者欣賞和享受現代抽象數學的美，並激發他們學習其他數學主題的興趣和思維方式。為了保持讀者的熱情，作者企圖使用很多具體的例子來盡可能地說明一般概念的樣貌。」

那麼，作者究竟如何以具體例證說明現代抽象數學的「美感」？或許我們從本書的目錄，即可略窺它的些許風貌。本書十章依序是：什麼是現代數學？模式的科學、抽象與思想實驗、集合與無限、數學歸納法、代數的結構、模算術、中國的計數、對稱性探索，以及代數系統。其中，第三章「抽象與思想實驗」就是在強調抽象思維的重要性。至於「集合與無限」、「數學歸納法」、「代數的結構」、「模算術」，以及「代數系統」各章，都意在凸顯抽象結構的重要性，以及它們可以展現的「美感」。我們一旦能夠脫離具體層次而進入抽象結構進行思維活動，就可以在具體應用價值之外，「用不同觀點看待事物」或「洞察到他人所沒有想到的類比關係」。譬如說吧，以本書第六章「定義明確的二元運算」（well-defined binary operation）為例（pp. 99, 207），一支棒球隊的三季勝率依序為7/13、6/12 及8/14，因此，三季勝率總結為7/13⊕6/12⊕8/14=21/39，亦即在39場中贏了21場。作者特別指出：由於「數字7/13、6/12 及8/14並不是有理數。6/12≠1/2且8/14≠4/7 。它之所以可以運作，是因為（作為函數的）⊕只有一個映成數」。

至於無限集合之（可）比較（本書第四章），也是抽象思維的一個極為有趣的案例。在其推論過程中，吾人運用簡單可行的抽象思考去掌握模式，就可以讓不可見的世界現身（making the invisible visible）。再有，本書pp. 37-45所介紹的思想實驗（thought experiment）及其例子，譬如「小約翰的思想實驗――環遊世界」、「伽利略的帆船實驗」，以及「愛因斯坦的火車實驗」，都足以說明「思想實驗就是一種抽象思考的方法。它允許我們在想像中檢驗假設或者理論，而不是在實驗室中。」事實上，上述後兩個實驗是科學史上最偉大的兩個案例，對於近代物理學的發展，發揮了巨大的作用。

對於一般讀者或科學文化消費者而言，上一段三個「思想實驗」所涉及的「抽象程度」，實際上遠遠不及本書所介紹的群論（group theory）。在本書第十章（最後一章）「代數系統」中，作者簡要說明「同構」（isomorphism）之意義：「一些群或許表面上看起來並不相同。如果任意兩個群有相同的代數結構（algebraic structures），則它們在實質上是相同的。」他進一步引進「同態」（homomorphism）之概念及其用途：「在群論中，同態的主要用途就是創造一個函數例如φ:A→B ，使得我們可以藉由觀察像或對應域（domain）A的可能。就像是透過實物的照片來推論真正的實物一樣。」還有，他更輔以漫畫點出「同態的核」（the kernel of the homomorphism）之意義：「同態的核，就是對於一幅景象，從不同的觀點來看，會發掘到不同的特徵。」這顯然涉及敘事（narrative）中的比喻（metaphor）之運用，作者的「圖解」難免讓人意猶未盡，希望有心的讀者自行發揮創意。

從群論觀點來看，同態是指兩個群之間保持結構不變的映射或函數。至於同構，則是它的特例，因為其中之函數被要求一對一映成。基於正實數的乘法群與實數的加法群同構之事實，作者說明計算尺――風行於1970年以前、然後被電子計算機取代的計算器――的操作原理。還有，作者自創的諾亞方舟一對小毒蛇被要求繁殖的俏皮比喻，表現了十足風趣的數學驚奇。比喻涉及概念的翻譯或轉換，因此，抽象概念的解說至關緊要。難怪在本書中（尤其是「代數系統」這一章），作者安排相當多的篇幅，來解釋群論等代數結構的相關定義或概念。所有這些，作者甚至輔以插畫或漫畫來強化說明。

如果這些創意書寫還不足以指出（抽象）數學的價值及意義，那麼，請看作者的加碼註記：四元群（quaternion group，一種非交換群）的應用層面很廣，在機器人、電腦動畫、電腦視覺、量子物理以及結晶學的應用，都非常有貢獻。

事實上，本書第八章「中國的計數」主題就是中國餘式定理及其在密碼學上的實際應用，不過，那是在第七章「模算術」理論已經充分鋪陳之後的安排，比較像是呼應作者的「夫子自道」：使用很多具體的例子來盡可能地說明一般概念的樣貌，目的是為了保持讀者的熱情。的確如此！我最喜歡的一個例子，就是作者用以解說「有限差分法的模式」：

在下面的數字中，有一個數字寫錯，請問是哪一個呢？

1 3 6 11 20 31 48 71 101

總之，這是一本不以數學「有用」作為主要訴求的普及書籍。各章內容都鮮少以數學的應用價值為主要考量。這種書寫進路的確與我們科學文化界或教育現場動輒強調數學「如何有用」不無落差，值得我們注意作者的普及關懷所在。事實上，無論本書是否真實呼應作者所期待的中學到大學之「數學銜接」，他針對本書的論述、敘事乃至插畫，的確充滿了個人風格，非常值得我們極力推薦。本書的插畫或漫畫也特別值得一提，因為那些有時充滿數學洞識的漫畫，不但可以拉近數學與圖像世代讀者之距離，同時，也因為它們擁有自我解說（self-explanatory）的功能，而開創了普及敘事的更多可能。因此，本書非常適合大學數學通識（尤其是嗜讀文青所選修的）以及高中多元選修等課程。對於打算隨時複習大學所學數學的中學教師，本書更是絕佳選擇。