學微積分，也學人生

推薦序

另一種師生情緣

　　這本書《學微積分，也學人生》是作者史蒂芬．史特格玆（Steven Strogatz）將他和他的高中老師喬弗瑞（Don Joffray）30幾年來的通信整理而成的。喬弗瑞老師是作者高中的微積分老師，雖然他的微積分程度不是很好，但是熱心教學，願意與學生分享成功或失敗的經驗。他對教學的敬業與忠誠感染了他所教過的每一個學生，作者正是其中之一。

　　從作者轉載的信件看來，大部分時候是喬弗瑞老師向作者提出一個微積分的問題，這些問題通常來自他教學上的需要或是自學時碰到的困難。作者在回信時會幫忙解題並且提出進一步的看法，而喬弗瑞老師總是虛心受教，經常在下一封信中表達由衷的謝意和得到解答的喜悅。

　　這似乎是倒過來的狀況：高中老師向過去的學生請教問題，而學生也不厭其煩地把更精進的學問告訴老師。

　　我在讀這本書時，常常想起小川洋子寫的《博士熱愛的算式》，這兩本書都是從真摯的感情中穿插重要的數學。但是小川的書虛擬的成分較大，不若史特格玆這本書，所有人物都是作者的老師、朋友及親人。此外，本書在書信中討論的問題非常實際，大部分是微積分的經典問題，值得讀者仔細品嚐。

　　由於現行的高中生在高三的時候已經學了微積分，所以高中生和高中老師在閱讀本書時應該會覺得十分親切，即使是不曾學過微積分的讀者，也能感受到喬弗瑞老師活到老學到老的精神，以及作者對老師的大方和體諒。不知道在台灣是不是也能看到這樣的師生關係？

張海潮（台大數學系教授）

導讀

優秀老師示範，偉大老師啟發

　　這本書是當代優秀數學家史蒂芬．史特格茲整理自他和高中數學老師喬弗瑞30年的通信。藉由書信往來，他們討論了許多有趣的微積分問題。

　　先談數學。平心而論，數學科普書中的數學受限於讀者的接受度， 通常不會太令人驚豔，但這本書不同，非常不同。

　　這些回信中的數學非常有品味。史蒂夫回給老師信並不是敷衍帶過或制式化的解法，他不止把問題解釋得清清楚楚，解釋的方法還常令人眼睛一亮：比如用幾何方法證明 是無理數、由一個無窮等比級數的斂散引入傅立葉級數、導出圓周率的公式、高冪次餘弦函數的積分等等。而喬弗瑞老師也不乏佳作，比如用駱駝證明一個正弦函數自我正交的積分式。

　　但是除了這些數學，這本書中我讀到更多數學之外的感動。

　　這本書讓我感動，因為作者史蒂夫在書中誠實地回顧面對老師的心情轉折。他從身為喬弗瑞老師的學生，一路成為頂尖大學的教授；從學生寫信的問好，成為書信討論的筆友和老師，最後成為朋友。這本書讓我感動，也因為喬弗瑞老師在信中誠實面對他自己的數學能力；在信件中，都是史蒂夫在教喬弗瑞老師，而即使已經教了幾十年的微積分，喬弗瑞老師仍然知道他在數學上不會的東西有很多，但他永遠像一個求知若渴的學生，寫信問著困擾他的有趣問題、分享他的發現。反觀對照國內到處充斥半瓶水的王牌名師，就知道如喬弗瑞老師的謙遜與坦誠有多麼困難。

　　就像韓愈說的，弟子不必不如師，師不必賢於弟子，聞道有先後，術業有專攻。

　　我看到歲月的淘洗與無情。隨著年歲愈高，身體狀況走下坡的喬弗瑞老師更頻於通信，如日中天忙碌的史蒂夫卻愈少回信。我更也看到時間淬鍊後純粹的友情。縱使人生賦予種種試煉，他們卻很少在信中透露個人的憂傷，兩人的通信只討論數學，保持著微妙的距離。這是謹慎的信任，這些信件是情緒的釋放，不知不覺，他們成為彼此的重要他人（significant others）。

　　讀這本書時，我不停地回想起我在建中執教時幾個優秀學生的臉孔。我想起高一開學第一個星期，有個學生問我怎麼算一個三重積分（triple integral），高二另一個學生問我什麼是李代數（Lie Algebra），老實說，當時我真的被嚇到了。

　　這些學生現在不少在名校攻讀博士，有哈佛、麻省理工、加州理工、維吉尼亞、柏克萊、等等等。是的，直到現在我們仍然偶爾通信；我們只是在BBS或Gmail上偶爾丟丟水球，不像書中作者與喬弗瑞老師互通信件討論數學。在各自專業的學術上，他們已經各有一片天空。但如同這本書一樣，我完全體會師生關係可延續昇華為一生的朋友。

　　書中有一幕，喬弗瑞老師獲得教師獎，史蒂夫應邀致詞，講沒兩句就在台上泣不成聲。史蒂夫當時一定還不知道，喬弗瑞老師給了他多大的啟發。這是讓我最感動的一幕，一個老師有這樣的學生，夫復何求？

　　平庸的老師背誦，負責的老師講解，優秀的老師示範，偉大的老師啟發。對教育工作者而言，這真是一句非常好的話。

游森棚（高雄大學應用數學系教授）

譯序

微積分中的人生意義

　　經典數學教科書《非線性動力學與混沌》（Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering）的作者、同時也是享譽國際的數學家史特格茲（Steven Strogatz），擅長剖析深奧的數學概念，讓天資不如他那麼優秀的研究生在他的導引下也能一窺數學的堂奧，甚至登堂入室。只可惜「非線性動力學」與「混沌」畢竟過於專業，一般讀者無緣由書中領略他的闡述功力。不過，好消息是，讀者手上這本《學微積分，也學人生》書裡，史特格茲把主題限定在現代數學的基礎學科微積分上，而大多數讀者可能已經修過、正在修習或即將要修習這門課。透過史特格茲與其高中微積分老師喬弗瑞先生30餘年來的書信選輯，加上他深入淺出的串場說明，讀者除了能領略到他超凡的解說功力，也可以深刻體會到兩人對微積分所投注的熱情，以及微積分這門美妙學科本身的基礎性、實用性與趣味性。

　　史特格茲和一般微積分科普書的作者很不一樣，他不會刻意選擇一些非常簡單的題材，將它們說得天花亂墜，讓讀者讀完書後自以為功力大增，直到在學校的正式考試中鎩羽而歸，才知道被科普書作者灌了迷湯。史特格茲所做的是，將一些能讓兩位微積分高手（一位知名數學教授和他的微積分老師）感興趣並願意花時間在書信中深入討論的微積分問題，原汁原味地呈現在讀者面前，並邀請讀者與他們一起來思考。譯者個人以為，這樣的做法將會為科普界注入一股向上提升的新動力，讓科普書未來也可以被當成大學課程的補充教材或進階題庫來使用。

　　一般人對微積分常有以下的反應：「我微積分讀得很辛苦，但人生還不是過得好好的，而且我的不少朋友也都有同感。」言下之意是：微積分難，友誼不難，而人生超簡單。但在這一點上，本書作者的認知似乎剛好相反。兩位微積分高手所討論的微積分問題雖然有些難度，但是這些問題大多能在他們一、兩次的書信往返之間就解決；相較之下，兩人的朋友關係則需要他們花上2、30年的時間才從師生關係慢慢發展出來──從一開始純粹討論數學問題，到試探性地詢問及分享近況，以至於最終卸下身分上的防衛，讓對方看見自己的軟弱，並從朋友的角度彼此提供安慰；而在面對書中所提到的生、老、病、死等人生難題時，史特格茲和他的老師更是只能如同激流中的泛舟客，被動地學習隨波起舞，並且試著接受或享受各自的人生。

　　在本書中，史特格茲無意將友誼或人生看成一個微積分問題，去做精確的分析；相反地，他選擇利用微積分中的一些基礎概念（連續、追逐、相對、無理、隨機、無限、極限、混沌、下坡、分歧等）來隱喻或明喻真實的人生。隨著書中微積分問題一個接一個被解決，作者和他恩師人生中的問題也同時一個個被揭開、被碰觸、被撫癒。在作者的坦白與率真的襯脫下，這些類比幾乎就像鏡像般清晰。然而，鏡子兩側畢竟仍是性質截然不同的事物：解開微積分之謎是一種樂趣，但解開人生之謎反而讓人生變得無趣。

　　且讓我們放下心中定見，好好享受一趟兼具理性與感性、既要追根究底又要學習釋然的嶄新閱讀過程。