有理數及其運算

名人推薦：顏啟麟

數學被稱為科學之母，是因為它不僅有它自己的專業性，而且也是學習自然科學、應用科學與社會科學之必要工具，其更是培養獨立思考、增進解題能力與邏輯推理之重要素材。所以世界各國教育家咸認數學是學生學習之基本素養，也作為進一步學習的重要基礎指標，故在所有入學甄選之中，除語文能力外，必有數學能力之評量。

潘振輝先生與我既是同鄉，也是多年同校及同班的同學，我與他有非常深刻的交往。他擔任數學教師已超過四十年的時間，由小學、初中、高中一直到技術學院的課程，皆曾任教。因此，潘老師對台灣這些年的數學...

介紹正分數的記號



（1）為正整數， 1 n 所表示的意義

正整數有1、2、3、…、 、…中，2是兩個1合併的結果或說2是1的2倍；2是兩個2合併的結果或說4是2的2倍；6是兩個3合併的結果或說6是3的2倍；…

( a ) 當 2是1的2倍、4是2的2倍、6是3的2倍、… 時，表示2可分成兩

個1、4可分成兩個2、6可分成兩個3、… 。反過來說 1是2的一半、2是4的一半、3是6的一半、…。這時候、就把一半的概念叫做二分之一，記為 1 2 。即1是2的一半、2是4的一半、3是6的一半、… ，也可說成 1是2的 1 2 、2是4的 1 2 、3是6的 1 2 、… 。

可知：把 2作平分得1；4作平分得2；6作平分得3；… ，會有1是2的 1 2 、2是4的 1 2 、3是6的 1 2 、…

【註】2是1的2倍，把 2作平分得1與1是2的 1 2 都表示同一件事三種不同說法。但1是2的 1 2 說法中的 1 2 ，提出不同於正整數的新記號 1 2 。



( b ) 同理，當 3是1的3倍、6是2的3倍、9是3的3倍、… 時，表示3可分成三個1、6可分成三個2、9可分成三個3、… 。反過來說 1是3的 1 3 、2是6的 1 3 、3是9的 1 3 。一般情形， 為正整數且 n為 1的 n倍，記為 1是n的 1 n

可知：把 3作三等分得1；6作三等分得2；9作等分得3；… ，會有1是3的 1 3 、2是6的 1 3 、3是9的 1 3 、… 。把 n作n等分得1，會有1是n的 1 n

【註】先提出新記號 1 3 。進一步，把 8作 4等分得 2叫做 2是8的 1 4 ， …。得

出把 n作n等分得1，叫做 1是 n 的 1 n

但是，任一正整數 n可以作平分嗎 ? 如果把3作平分，5作平分，9作平分，…，可得什麼結果 ? 又任一正整數 n可作3等分嗎 ? 或可作4等分嗎 ? …

（2） 0、1、2、…、到 ，分別除以 的意義

（a） 從數線上看，取原點O對應0，在右方另取點A對應1。線段 取點B、C作3等分，得 = = = 1 3 。規定O點代表 0 3 = 0，由點O右移1個 1 3 到達B點代表 1 3 ﹔右移2個 1 3 到達C點代表 2 3 ；右移3個 1 3 到達A點代表 3 3 = 1。對 、 與 分別取中點P、Q與R，使得 = = = = = = 1 6 。使O、P、B、… R、A分別對應 0 6 = 0、 1 6 、 2 6 、…、 5 6 、 6 6 = 1。如下圖：

O P B Q C R A



0 3 = 0 1 6 2 6 =1 3 3 6 = 1 2 4 6 =2 3 5 6 6 6 =3 3 = 1

（圖1-6）

（b） 從數線上看，取原點O對應0，右方取點A對應1且定 = 1。由O到A取n－1 點B1、B2、B3、…、 、 將線段 作n等分法，得 = = … = = 1 n 。線段 上的n + 1點O、B1、B2、B3、…、 、 、A分別對應 0 n = 0、 1 n 、 2 n 、 3 n 、…、 、 n n = 1。如下圖：

O … A



0 n =0 1 n 2 n 3 n … n n =1

（圖1-7）





例：將面積為1的長方形作3等分，得3個同面積的小長方形

○1 對1個長方形的面積為1，得1個小長方形A的面積是 1 3 = 1 ÷ 3

○2 2個相同長方形的面積為2，上下並排作3等分，每1等分恰好2個小長方形A，其面積為 2 3 ，即是2 ÷ 3 = 2 3 或將2平分成3份中的1份

○3 3個相同長方形的面積為3，上下並排作3等分，每1等分恰好3個小長方

形A，其面積 3 3 即是3 ÷ 3 = 3 3 或將3平分成3份中的1份

○4 同理，將4平分成3份中的1份。記為4 ÷ 3 = 4 3 。可參考下列四圖





可知：1作3等分的1等分是 1 3 = 1 ÷ 3。2作3等分的1等分是 = 2 ÷ 3

3作3等分的1等分是 3 3 = 3 ÷ 3。 4作3等分的1等分是 4 3 = 4 ÷ 3

因此，任一正整數 n可以作平分的結果，記為。任一正整數 n可以作三等分的結果，記為。任一正整數 n可以作四等分的結果，記為。…

介紹正分數的記號



（1）為正整數， 1 n 所表示的意義

正整數有1、2、3、…、 、…中，2是兩個1合併的結果或說2是1的2倍；2是兩個2合併的結果或說4是2的2倍；6是兩個3合併的結果或說6是3的2倍；…

( a ) 當 2是1的2倍、4是2的2倍、6是3的2倍、… 時，表示2可分成兩

個1、4可分成兩個2、6可分成兩個3、… 。反過來說 1是2的一半、2是4的一半、3是6的一半、…。這時候、就把一半的概念叫做二分之一，記為 1 2 。即1是2的一半、2是4的一半、3是6的一半、… ，也可說成 1是2的 1 2 、2是4的 1 2 、3是6的 1 2 、…...

本書介紹有理數(分數)的由來、「相等關係」、「次序關係」及運算四則的性質。以邏輯推理法則，儘量避免未經證明的性質不得提前使用，由整數逐步作平分導出分數。但分數的進展過程較整數為複雜，中途需藉助於多種方法，以附註方式插入說明

本書內容先把整數作平分推導出有理數的存在性、多樣性及稠密性。接著說明其加法與減法都是由有理數作變形而返回到整數的操作。對相同有理數做累加或做平分的方式推導出“乘法”與其反運算“除法”。明顯看出“乘法”與“除法”可互換的，即是一體的兩面。利用分數的運算方法介紹有關有理係數多項式、分式 (有理式)的運算及其方程式、不等式等解法。由相同有理數相乘、相除，詳細說明有理數為底的整數指數所表示的意義。為了介紹小數表示法及無窮小數的意義，先介入數列與級數並討論無窮數列與級數的收斂性。

各章、節中，除介紹有理數的性質外，皆依各種性質設計例題，並以各例題的難易度調整其先後順序 －－ 由易而難。每一段落都附有相關的練習題做為複習，以增進學習效果。各練習題的詳解，寫成另外附冊。

承蒙景文科技大學陳達元教授的電腦技術指導、小兒潘建安先生修正版面。屏東教育大學黃金鐘教授討論內容及增補，特此一併感謝。

本書介紹有理數(分數)的由來、「相等關係」、「次序關係」及運算四則的性質。以邏輯推理法則，儘量避免未經證明的性質不得提前使用，由整數逐步作平分導出分數。但分數的進展過程較整數為複雜，中途需藉助於多種方法，以附註方式插入說明

本書內容先把整數作平分推導出有理數的存在性、多樣性及稠密性。接著說明其加法與減法都是由有理數作變形而返回到整數的操作。對相同有理數做累加或做平分的方式推導出“乘法”與其反運算“除法”。明顯看出“乘法”與“除法”可互換的，即是一體的兩面。利用分數的運算方法介紹有關有理係數多項式、...

第一章 什麼是有理數
1-1 分數 1-2 有理數 1-3 有理數的相等關係 1-4 有理數的次序關係

第二章 有理數的加、減法及其特性
2-1 有理數的加法 2-2 有理數的減法 2-3 加、減法的基本性質 2-4 加、減法的定理

第三章 有理數的乘法與除法
3-1 有理數如何相乘 3-2 有理數的乘法 3-3 乘法的基本性質 3-4 乘法定理 3-5比與比例

第四章 有理數乘、除法的特性
4-1 有理數的除法 4-2 除法的基本性質 4-3 除法定理 4-4 有理式 4-5 繁分數

第五章 有理數的四則運算
5-1 乘法公式 5-2 次序關係 5-3 有理數的稠密姓 5-4 線坐標系

第六章 整數指數
6 -1 整數作為指數 6 -2 以有理數為底的整數指數 6 -3 有理數為底數的次序關係

第七章 有理數列與級數
7-1 數列 7-2 級數 7-3 無窮數列的收斂性 7-4 無窮級數的收斂性

第八章 有理數的小數表示法
8-1 小數的由來 8-2 小數表示法的分類 8-3 化分數為小數 8-4 化小數為分數
8-5 有限小數的運算 8-6 小數的應用 8-7 面積與體積

第一章 什麼是有理數
1-1 分數 1-2 有理數 1-3 有理數的相等關係 1-4 有理數的次序關係

第二章 有理數的加、減法及其特性
2-1 有理數的加法 2-2 有理數的減法 2-3 加、減法的基本性質 2-4 加、減法的定理

第三章 有理數的乘法與除法
3-1 有理數如何相乘 3-2 有理數的乘法 3-3 乘法的基本性質 3-4 乘法定理 3-5比與比例

第四章 有理數乘、除法的特性
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