實變函數論（第二版）

本書第一版是２０１１年出版的，在四年多的時間裡，把此書用作教材的廣大讀者和教師，通過各種形式對此書存在的不足向編者提出了許多寶貴的意見和建議，對此我們深表感謝.為了使數學專業和非數學專業的本科生和研究生更好地學習實變函數論。

本書第二版在第一版的基礎上，通過整理和修正，校正了書中出現的錯誤與不妥之處，補充和調整了部分內容和習題，並增加了各章知識點及學法概要和教材所列習題的詳解，使其更適合不同層次的讀者，以達到學以致用的目的.為了知識體系的完整性，部分重要知識和習題需要讀者掌握但由於其證明很抽象、敘述較為繁瑣，我們便在它的前面加了「∗」號，非數學專業的讀者在學習過程中可以跳過這部分知識.

本書由朱文莉擔任主編，由張文燕編寫第６章.

書中不足之處，敬請讀者批評指正.

本書第一版是２０１１年出版的，在四年多的時間裡，把此書用作教材的廣大讀者和教師，通過各種形式對此書存在的不足向編者提出了許多寶貴的意見和建議，對此我們深表感謝.為了使數學專業和非數學專業的本科生和研究生更好地學習實變函數論。

本書第二版在第一版的基礎上，通過整理和修正，校正了書中出現的錯誤與不妥之處，補充和調整了部分內容和習題，並增加了各章知識點及學法概要和教材所列習題的詳解，使其更適合不同層次的讀者，以達到學以致用的目的.為了知識體系的完整性，部分重要知識和習題需要讀者掌握但由於其證明很抽象、敘...

第１章集合與點集(１)
１.１集合及其運算(１)
１.１.１集合的基本概念(１)
１.１.２集合的運算(２)
１.１.３集的分解(６)
１.１.４笛卡爾乘積集(７)
１.１.５域(８)
１.１.６集列的極限(９)
習題１.１(１２)
１.２映射與基數(１４)
１.２.１映射的概念(１４)
１.２.２對等(１７)
１.２.３數的進位制簡介(１８)
１.２.４伯恩斯坦定理(２１)
１.２.５有限集、無限集及基數(２２)
習題１.２(２３)
閱讀材料１(２４)
１.３可數集合(２５)
１.３.１可數集的定義(２５)
１.３.２可數集的性質(２５)
習題１.３(３０)
閱讀材料２(３０)
１.４不可數集合(３１)
習題１.４(３５)
第２章ｎ維空間中的點集(３７)
２.１聚點、內點、邊界點、Bolzano-Weierstrass定理(３９)
習題２.１(４２)
２.２開集、閉集與完備集(４４)
２.２.１稠密與疏朗(４４)
２.２.２開集、閉集(４４)
２.２.３開覆蓋、緊集(４８)
２.２.４完備集(４９)
２.２.５Ｂｏｒｅｌ集(５２)
２.２.６點集上的連續函數(５３)
習題２.２(５４)
２.３一維開集、閉集、完備集的結構(５６)
習題２.３(６０)
２.４點集間的距離(６０)
習題２.４(６２)
第３章測度論(６３)
３.１開集的體積(６６)
習題３.１(６９)
３.２點集的外測度(７０)
３.２.１外測度的定義(７０)
３.２.２外測度的性質(７２)
３.２.３內測度(７６)
習題３.２(７６)
３.３可測集及測度(７７)
３.３.１可測集的定義(７７)
３.３.２可測集的運算(７９)
３.３.３可測集列的極限(８３)
３.３.４Ｌｅｂｅｓｇｕｅ(勒貝格)可測集的結構(８５)
３.３.５勒貝格測度的平移、旋轉不變性(８８)
∗３.３.６不可測集(８９)
習題３.３(９０)
３.４乘積空間(９３)
習題３.４(９８)
第４章可測函數(９９)
４.１可測函數的定義及其簡單性質(１００)
４.１.１勒貝格可測函數的定義(１００)
４.１.２勒貝格可測函數的性質(１０３)
４.１.３勒貝格可測函數列的極限(１０６)
４.１.４複合函數的可測性(１１０)
習題４.１(１１０)
４.２可測函數的逼近定理(１１２)
４.２.１Ｅｇｏｒｏｆｆ(葉果洛夫)定理(１１２)
４.２.２Ｌｕｓｉｎ(魯津)定理(１１５)
４.２.３依測度收斂(１２０)
習題４.２(１２４)
第５章積分理論(１２７)
５.１非負函數的積分(１２７)
５.１.１測度有限的集上有界可測函數的積分(１２７)
５.１.２測度有限的集上一般函數的積分(１３３)
５.１.３測度無限的集上的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ積分(１３５)
５.１.４非負可測函數積分的幾何意義(１３５)
５.１.５積分的極限定理(１３６)
習題５.１(１３８)
５.２可積函數(１４０)
習題５.２(１５５)
５.３重積分與累次積分的關係(１５８)
５.３.１非負廣義實值可測函數情形(１５８)
５.３.２可積函數情形(１６０)
習題５.３(１６５)
５.４微分與不定積分(１６６)
５.４.１單調函數(１６７)
５.４.２有界變差函數(１７５)
５.４.３絕對連續函數(１８４)
習題５.４(１９１)
∗第６章ＬＰ空間及抽象測度與積分(１９４)
６.１ＬＰ空間(１９４)
６.１.１ＬＰ空間的定義與不等式(１９４)
６.１.２ＬＰ空間的結構(２００)
習題６.１(２０５)
６.２Ｌ２內積空間(２０７)
６.２.１內積正交系(２０７)
６.２.２廣義Fourier級數(２０８)
６.２.３Ｌ２(Ｅ)中的線性無關組(２１０)
習題６.２(２１３)
６.３抽象測度與積分(２１４)
６.３.１集合環上的測度及擴張(２１４)
６.３.２可測函數及其積分(２１６)
習題解析(２２０)
附錄:各章知識點概要(２８９)

第１章集合與點集(１)
１.１集合及其運算(１)
１.１.１集合的基本概念(１)
１.１.２集合的運算(２)
１.１.３集的分解(６)
１.１.４笛卡爾乘積集(７)
１.１.５域(８)
１.１.６集列的極限(９)
習題１.１(１２)
１.２映射與基數(１４)
１.２.１映射的概念(１４)
１.２.２對等(１７)
１.２.３數的進位制簡介(１８)
１.２.４伯恩斯坦定理(２１)
１.２.５有限集、無限集及基數(２２)
習題１.２(２３)
閱讀材料１(２４)
１.３可數集合(２５)
１.３.１可數集的定義(２５)
１.３.２可數集的性質(２５)
習題１.３(３０)
閱讀材...