實變函數論(第二版)

第１ 章 集合與點集 (１)
１. １ 集合及其運算  (１)
１. １. １ 集合的基本概念  (１)
１. １. ２ 集合的運算  (２)
１. １. ３ 集的分解  (６)
１. １. ４ 笛卡爾乘積集  (７)
１. １. ５ 域  (８)
１. １. ６ 集列的極限  (９)
 習題１. １  (１２)
１. ２ 映射與基數 (１４)
１. ２. １ 映射的概念 (１４)
１. ２. ２ 對等 (１７)
１. ２. ３ 數的進位制簡介 (１８)
１. ２. ４ 伯恩斯坦定理 (２１)
１. ２. ５ 有限集、無限集及基數  (２２)
習題１. ２  (２３)
閱讀材料１  (２４)
１. ３ 可數集合 (２５)
１. ３. １ 可數集的定義 (２５)
１. ３. ２ 可數集的性質 (２５)
習題１. ３  (３０)
閱讀材料２  (３０)
１. ４ 不可數集合 (３１)
習題１. ４  (３５)

第２ 章 ｎ 維空間中的點集  (３７)
２. １ 聚點、內點、邊界點、Bolzano-Weierstrass 定理  (３９)
習題２. １  (４２)
２. ２ 開集、閉集與完備集  (４４)
２. ２. １ 稠密與疏朗 (４４)
２. ２. ２ 開集、閉集  (４４)
２. ２. ３ 開覆蓋、緊集  (４８)
２. ２. ４ 完備集 (４９)
２. ２. ５ Ｂｏｒｅｌ 集  (５２)
２. ２. ６ 點集上的連續函數 (５３)
習題２. ２  (５４)
２. ３ 一維開集、閉集、完備集的結構 (５６)
習題２. ３  (６０)
２. ４ 點集間的距離 (６０)
習題２. ４  (６２)

第３ 章 測度論  (６３)
３. １ 開集的體積 (６６)
習題３. １  (６９)
３. ２ 點集的外測度 (７０)
３. ２. １ 外測度的定義 (７０)
３. ２. ２ 外測度的性質 (７２)
３. ２. ３ 內測度 (７６)
習題３. ２  (７６)
３. ３ 可測集及測度 (７７)
３. ３. １ 可測集的定義 (７７)
３. ３. ２ 可測集的運算 (７９)
３. ３. ３ 可測集列的極限 (８３)
３. ３. ４ Ｌｅｂｅｓｇｕｅ(勒貝格)可測集的結構  (８５)
３. ３. ５ 勒貝格測度的平移、旋轉不變性  (８８)
 ∗３. ３. ６ 不可測集  (８９)
習題３. ３  (９０)
３. ４ 乘積空間 (９３)
習題３. ４  (９８)

第４ 章 可測函數  (９９)
４. １ 可測函數的定義及其簡單性質  (１００)
４. １. １ 勒貝格可測函數的定義  (１００)
４. １. ２ 勒貝格可測函數的性質  (１０３)
４. １. ３ 勒貝格可測函數列的極限  (１０６)
４. １. ４ 複合函數的可測性  (１１０)
習題４. １  (１１０)
４. ２ 可測函數的逼近定理  (１１２)
４. ２. １ Ｅｇｏｒｏｆｆ(葉果洛夫)定理  (１１２)
４. ２. ２ Ｌｕｓｉｎ(魯津)定理  (１１５)
４. ２. ３ 依測度收斂  (１２０)
習題４. ２  (１２４)

第５ 章 積分理論  (１２７)
５. １ 非負函數的積分  (１２７)
５. １. １ 測度有限的集上有界可測函數的積分  (１２７)
５. １. ２ 測度有限的集上一般函數的積分  (１３３)
５. １. ３ 測度無限的集上的 Ｌｅｂｅｓｇｕｅ 積分  (１３５)
５. １. ４ 非負可測函數積分的幾何意義  (１３５)
５. １. ５ 積分的極限定理  (１３６)
習題５. １  (１３８)
５. ２ 可積函數  (１４０)
習題５. ２  (１５５)
５. ３ 重積分與累次積分的關係  (１５８)
５. ３. １ 非負廣義實值可測函數情形  (１５８)
５. ３. ２ 可積函數情形  (１６０)
習題５. ３  (１６５)
５. ４ 微分與不定積分  (１６６)
５. ４. １ 單調函數  (１６７)
５. ４. ２ 有界變差函數  (１７５)
５. ４. ３ 絕對連續函數  (１８４)
習題５. ４  (１９１)

第６ 章 ＬＰ 空間及抽象測度與積分 (１９４)
６. １ ＬＰ 空間 (１９４)
６. １. １ ＬＰ 空間的定義與不等式 (１９４)
６. １. ２ ＬＰ 空間的結構 (２００)
習題６. １  (２０５)
６. ２ Ｌ２ 內積空間  (２０７)
６. ２. １ 內積正交系  (２０７)
６. ２. ２ 廣義 Fourier 級數  (２０８)
６. ２. ３ Ｌ２(Ｅ) 中的線性無關組  (２１０)
習題６. ２  (２１３)
６. ３ 抽象測度與積分  (２１４)
６. ３. １ 集合環上的測度及擴張  (２１４)
６. ３. ２ 可測函數及其積分  (２１６)
習題解析  (２２０)
附錄:各章知識點概要  (２８９)

 

序

　　本書第一版是２０１１ 年出版的，在四年多的時間裡，把此書用作教材的廣大讀者和教師，通過各種形式對此書存在的不足向編者提出了許多寶貴的意見和建議，對此我們深表感謝.為了使數學專業和非數學專業的本科生和研究生更好地學習實變函數論。

　　本書第二版在第一版的基礎上，通過整理和修正，校正了書中出現的錯誤與不妥之處，補充和調整了部分內容和習題，並增加了各章知識點及學法概要和教材所列習題的詳解，使其更適合不同層次的讀者，以達到學以致用的目的. 為了知識體系的完整性，部分重要知識和習題需要讀者掌握但由於其證明很抽象、敘述較為繁瑣，我們便在它的前面加了「∗」號，非數學專業的讀者在學習過程中可以跳過這部分知識.

　　本書由朱文莉擔任主編，由張文燕編寫第６ 章.
　　書中不足之處，敬請讀者批評指正.