白話微積分

你可以做得更好！

在多年來與同學的教學互動中，筆者深深覺得，許多人微積分這門學科表現之所以不夠理想，往往並非天資極度不佳或學習態度不良，而是沒有抓到微積分各主題中的精神，對其印象還停留在抽象符號操作，於是不得其門而入。然而透過我的闡釋，使同學明白微積分中各個主題在做什麼後，往往恍然大悟，能開始上手。

因此我在民國101年開始寫作微積分教學，希望幫助更多同學了解微積分在說什麼。盡可能用淺顯易懂的方式，提供一些對微積分的感覺，使大家不再只是操作無感的符號。在本書中先說明微積分的用處、盡可能生動地介紹各主題概念的由來、談一點點微積分發展史、點出微積分學的精神，並提供解釋詳細的解題步驟，讓同學對於微積分能有比較清楚的圖像。

數學並非純粹是抽象智力遊戲，多是出於實用需要而發展，在微積分這門學科更是如此。筆者深深相信，正如著名數學家項武義老師不斷強調的「大道至簡」、「返璞歸真」，只要好好掌握微積分的思想，你能在這門學科表現得更好！

特別要感謝我的恩師：台大數學系楊維哲老師。我在高中求學階段便讀了老師的著作，大一時修了老師所開設的「微積分優」，更是大受啟發。我對於微積分的許多特別的看法、教學方式，其實大多是來自老師的教學，當時「楊氏微積分」就深深植入我腦中。

除了學問方面以外，在我大學及研究所期間，老師亦提供了非常多幫助。包括給予我經濟上的扶助，還有栽培機會。在我升大三暑假時，老師就讓我擔任他的暑修微積分助教，而後又因有了這項工作經驗，我得以擔任台大教學發展中心的微積分課輔諮詢小老師，使我有四年時間非常大量地接觸台大的同學。面向大一到大五，甚至碩班博班同學；除了修課學生，還有準備研究所、高普考的，也有人是為了學物理，甚至論文裡的數學；除了本地生，也有馬來西亞、美國、德國、以色列、韓國、海地、聖盧西亞等等各種外籍生。解決他們各式各樣微積分問題，致使我大大長進。

這樣回顧起來，沒有老師對我的恩助，絕對不可能有今天這本書。因此我要鄭重地說聲：老師，非常感謝你！

老師經常強調：比起資優，態度優才是優。我的天分平平，但做事與學習的態度得老師讚賞，而我現在能對同學們做出一些貢獻，可算無愧於老師的大力栽培了！也藉此勉勵各位讀者，不要因自認天分不如人就輕易放棄！

你可以做得更好！

在多年來與同學的教學互動中，筆者深深覺得，許多人微積分這門學科表現之所以不夠理想，往往並非天資極度不佳或學習態度不良，而是沒有抓到微積分各主題中的精神，對其印象還停留在抽象符號操作，於是不得其門而入。然而透過我的闡釋，使同學明白微積分中各個主題在做什麼後，往往恍然大悟，能開始上手。

因此我在民國101年開始寫作微積分教學，希望幫助更多同學了解微積分在說什麼。盡可能用淺顯易懂的方式，提供一些對微積分的感覺，使大家不再只是操作無感的符號。在本書中先說明微積分的用處、盡可能生動地介紹各主...

1　極限與連續
1.1 微積分的起源
1.2 數列的極限
1.3 連續函數與函數的極限
1.4 極限的嚴格定義
　1.4.1 極限的定義
　1.4.2 用極限定義作證明
1.5 連續函數的性質
1.6 自然指數與自然對數
　1.6.1 自然指數
　1.6.2 自然對數
　1.6.3 利用e的定義解極限
　1.6.4 e之趣談

2　微分
2.1 微分的定義
2.2 導數的性質與冪函數的導函數
2.3 三角函數與指對數函數的導函數
2.4 高階導數
2.5 連鎖規則
2.6 單側導數
2.7 隱函數的求導
2.8 反函數的求導
2.9 取對數求導法
2.10 參數式求導
2.11 微分( differential )

3　微分的應用
3.1 切線與法線
3.2 變率問題
3.3 漸近線
　3.3.1 水平漸近線
　3.3.2 鉛直漸近線
　3.3.3 斜漸近線
3.4 函數的單調性與凹凸性
　3.4.1 函數的單調性
　3.4.2 函數的凹凸性
3.5 極值問題
　3.5.1 一階檢定法
　3.5.2 二階檢定法
3.6 繪製函數圖形
3.7 微分均值定理
3.8 羅必達法則
　3.8.1 羅必達法則的使用介紹
　3.8.2 羅必達法則的誤用探討

4　積分
4.1 積分的定義
4.2 積分的基本性質
4.3 微積分基本定理
　4.3.1 微積分基本定理第一部分
　4.3.2 微積分基本定理第二部分
4.4 不定積分
4.5 曲線間所圍面積

5　積分技巧
5.1 分部積分
5.2 變數代換
5.3 參變代換
5.4 三角代換
5.5 有理函數的積分：部分分式法
5.6 三角函數的積分
　5.6.1 三角函數的冪次
　5.6.2 含有sin(x) 及cos(x) 的有理式
　5.6.3 巧妙的代換
5.7 瑕積分
　5.7.1 第一類瑕積分（積分範圍無界）
　5.7.2 第二類瑕積分（函數無界）
　5.7.3 瑕積分的斂散性
5.8 積分技巧雜談

6　積分的應用
6.1 曲線弧長
6.2 求體積
6.3 旋轉體體積
　6.3.1 圓盤法
　6.3.2 剝殼法
6.4 旋轉體的表面積

7　特殊函數
7.1 雙曲函數
　7.1.1 雙曲函數的定義
　7.1.2 雙曲函數的基本公式
　7.1.3 雙曲函數的導函數
　7.1.4 反雙曲函數
　7.1.5 反雙曲函數的導函數
　7.1.6 雙曲函數在大一微積分中的應用
7.2 gamma 函數

8　無窮級數
8.1 無窮級數的收斂與發散
8.2 積分審斂法
8.3 比較審斂法
8.4 比值審斂法與根值審斂法
8.5 交錯級數審斂法
8.6 條件收斂與絕對收斂
8.7 冪級數

9　泰勒展開
9.1 泰勒展開：多項式逼近函數
9.2 多項式逼近的應用
9.3 泰勒定理與餘項
9.4 冪級數的和函數

10　極坐標
10.1 極坐標簡介
10.2 極坐標中的常見曲線
10.3 極坐標求面積
10.4 極坐標求弧長

11　多變數的微分學
11.1 多變函數簡介
11.2 多變函數的極限
11.3 偏導數
11.4 全微分
　11.4.1 通俗不嚴謹的討論
　11.4.2 理論探討
11.5 多變數的連鎖規則
11.6 多變數的隱函數求導
11.7 梯度、方向導數與切平面
　11.7.1 梯度的定義
　11.7.2 方向導數
　11.7.3 切平面
11.8 多變函數的極值問題
11.9 拉格朗日乘子法

12　重積分
12.1 二重積分
12.2 三重積分
12.3 重積分的變數代換
12.4 極坐標代換
12.5 圓柱坐標代換
12.6 球坐標代換

1　極限與連續
1.1 微積分的起源
1.2 數列的極限
1.3 連續函數與函數的極限
1.4 極限的嚴格定義
　1.4.1 極限的定義
　1.4.2 用極限定義作證明
1.5 連續函數的性質
1.6 自然指數與自然對數
　1.6.1 自然指數
　1.6.2 自然對數
　1.6.3 利用e的定義解極限
　1.6.4 e之趣談

2　微分
2.1 微分的定義
2.2 導數的性質與冪函數的導函數
2.3 三角函數與指對數函數的導函數
2.4 高階導數
2.5 連鎖規則
2.6 單側導數
2.7 隱函數的求導
2.8 反函數的求導
2.9 取對數求導法
2.10 參數式求導
2.11 微分( differential )

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